1. 如图，$△ BFD ≌ △ CED$.若$△ ACE$ 的面积为 3，$△ BFD$ 的面积为 2，则$△ ABF$ 的面积为 （）

A.3
B.5
C.7
D.9
（第1题）

1. C

2. 如图，在正方形ABCD中，E，F两点分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，$∠ EAF=45°$。若$∠ BAE=α$，则$∠ FEC$的度数为（）

A.$2α$
B.$90° - 2α$
C.$45° - α$
D.$90° - α$

2. A 解析:由题意,得$∠ABC=∠BAD=∠ADC=90^{\circ }$,$AB=AD$,所以$∠BAE+∠EAF+∠DAF=90^{\circ }$.又$∠EAF=45^{\circ }$,所以$∠BAE+∠DAF=90^{\circ }-∠EAF=45^{\circ }$.将$△ADF$绕点 A 按顺时针方向旋转$90^{\circ }$得到$△ABG$,则$AG=AF$,$∠BAG=∠DAF$,$∠ABG=∠ADC=90^{\circ }$.又$∠ABC+∠ABG=180^{\circ }$,所以 G,B,C三点共线.又$∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=45^{\circ }$,所以$∠EAG=∠EAF=45^{\circ }$.又$AE=AE$,所以$△EAF≌ △EAG$(SAS).所以$∠AEF=∠AEG$.又$∠BAE+∠AEG=90^{\circ }$,$∠BAE=α $,所以$∠AEG=90^{\circ }-α $.又$∠AEG+∠AEF+∠FEC=180^{\circ }$,所以$∠FEC=180^{\circ }-2∠AEG=2α $.

3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ E=90°$，$EF=3\ \mathrm{cm}$，$DE=4\ \mathrm{cm}$，$DF=5\ \mathrm{cm}$；在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=∠ D$，$BC=9\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$AB=15\ \mathrm{cm}$。现有一动点$P$从点$C$出发，沿着三角形的边$CB\rightarrow BA\rightarrow AC$运动，回到点$C$停止，速度为$3\ \mathrm{cm/s}$，另外有一个动点$Q$，与点$P$同时出发，从点$A$开始沿着边$AB\rightarrow BC\rightarrow CA$运动，回到点$A$停止。若在两点运动过程中的某一时刻，恰好$△ BPQ$和$△ DEF$全等，且点$Q$的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$，则$v$的值为 （）

A.5或9
B.5或$\dfrac{27}{7}$
C.5或9或$\dfrac{27}{7}$
D.5或9或$\dfrac{27}{7}$或$\dfrac{96}{19}$

3. C 解析:设运动时间为 t s. 由题意,得点 P 运动到点 B 时,$t=9÷3=3$;当点 P 运动到点 A 时,$t=(9+15)÷3=8$;当点 P 回到点 C 时,$t=(9+15+12)÷3=12$. 因为$∠C=∠E=90^{\circ }$,$∠A=∠D$,且$∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180^{\circ }$,所以$∠B=∠F$. 分类讨论如下:当$0≤ t＜3$,即点 P 在 BC 上时. 此时$BP=(9-3t)\mathrm{cm}$. 若$△QBP≌ △DFE$,则点 Q 在 AB 上,$BQ=FD=5\ \mathrm{cm}$,$PB=EF=3\ \mathrm{cm}$. 所以$9-3t=3$,解得$t=2$. 又$BQ=(15-vt)\mathrm{cm}$,所以$15-2v=5$,解得$v=5$;若$△QBP≌ △EFD$,则点 Q 在 AB 上,$BQ=FE=3\ \mathrm{cm}$,$BP=FD=5\ \mathrm{cm}$. 所以$9-3t=5$,解得$t=\dfrac {4}{3}$. 又$BQ=(15-vt)\mathrm{cm}$,所以$15-\dfrac {4}{3}v=3$,解得$v=9$;当$3≤ t＜8$,即点 P 在 AB 上时. 此时$BP=(3t-9)\mathrm{cm}$. 若$△QBP≌ △EFD$,则点 Q 在 BC 上,$BQ=FE=3\ \mathrm{cm}$,$BP=FD=5\ \mathrm{cm}$. 所以$3t-9=5$,解得$t=\dfrac {14}{3}$. 又$BQ=(vt-15)\mathrm{cm}$,所以$\dfrac {14}{3}v-15=3$,解得$v=\dfrac {27}{7}$;若$△QBP≌ △DFE$,则点 Q 在 BC 上,$QB=DF=5\ \mathrm{cm}$,$BP=FE=3\ \mathrm{cm}$. 所以$3t-9=3$,解得$t=4$. 又$BQ=(vt-15)\mathrm{cm}$,所以$4v-15=5$,解得$v=5$. 当$8≤ t≤ 12$,即点 P 在 AC 上时,此时$9≤ BP≤ 15$. 所以不存在$△BPQ$和$△DEF$全等. 综上,点 Q 的运动速度为 5 cm/s 或 9 cm/s 或$\dfrac {27}{7}\ \mathrm{cm/s}$.

4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=60°$,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线$BD$,$CE$相交于点$O$,$BD$交$AC$于点$D$,$CE$交$AB$于点$E$.若$△ ABC$的周长为$20$,$BC=7$,$AE:AD=4:3$,则$AE$的长为 ()

A.$\dfrac{18}{7}$
B.$\dfrac{24}{7}$
C.$\dfrac{26}{7}$
D.$4$
（第4题）

4. B 解析:在 BC 上截取$BH=BE$,连接 OH. 因为 BD 平分$∠ABC$,CE 平分$∠ACB$,所以$∠ABD=∠CBD=\dfrac {1}{2}∠ABC$,$∠ACE=∠BCE=\dfrac {1}{2}∠ACB$. 因为$∠A=60^{\circ }$,所以$∠ABC+∠ACB=180^{\circ }-∠A=120^{\circ }$. 所以$∠CBD+∠BCE=\dfrac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)=60^{\circ }$. 所以$∠BOC=180^{\circ }-(∠CBD+∠BCE)=120^{\circ }$. 所以$∠BOE=180^{\circ }-∠BOC=60^{\circ }$,$∠COD=180^{\circ }-∠BOC=60^{\circ }$. 又$BO=BO$,所以$△EBO≌ △HBO$(SAS). 所以$∠BOH=∠BOE=60^{\circ }$. 所以$∠COH=∠BOC-∠BOH=60^{\circ }$. 所以$∠COD=∠COH$. 又$OC=OC$,所以$△COD≌ △COH$(ASA). 所以$CD=CH$. 又$BC=7$,所以$BE+CD=BH+CH=BC=7$. 因为$△ABC$的周长为 20,所以$AB+AC+BC=20$. 所以$AB+AC=13$. 所以$AE+AD=AB-BE+AC-CD=(AB+AC)-(BE+CD)=6$. 因为$AE:AD=4:3$,所以$AD=\dfrac {3}{4}AE$. 所以$AE+\dfrac {3}{4}AE=6$,解得$AE=\dfrac {24}{7}$. 则 AE 的长为$\dfrac {24}{7}$.

5. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC。若AC=8，则四边形ABCD的面积为。

5. 32 解析:因为$∠BAD=∠BCD=90^{\circ }$,所以$∠ABC+∠ADC=360^{\circ }-∠BAD-∠BCD=180^{\circ }$. 过点 A 作$AE⊥AC$,交 CB 的延长线于点 E,则$∠CAE=90^{\circ }$,$∠ABC+∠ABE=180^{\circ }$. 所以$∠ADC=∠ABE$,$∠BAD=∠CAE$. 所以$∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC$,即$∠DAC=∠BAE$. 又$AD=AB$,所以$△ADC≌ △ABE$(ASA). 所以$AC=AE$,$S_{△ADC}=S_{△ABE}$. 又$AC=8$,所以$AE=8$,即$S_{△ACE}=\dfrac {1}{2}AC· AE=32$. 又$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=S_{△ABC}+S_{△ABE}=S_{△ACE}$,所以$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=32$.

6. 如图,在边长为6的等边三角形ABC中,F是边AC的中点,D是线段BF上的动点,连接AD,在AD的右侧作等边三角形ADE,连接CD,CE,EF.有下列说法:① $BF\bot AC$;② $∠ DEC=∠ DCE$;③ $AE=CD$;④ $△ ADE$周长的最小值为9;⑤ 当$△ AEF$的周长最小时,$∠ AFE=60°$;⑥ $∠ ACE$的大小随着点D的移动而变化.其中正确的是.(填序号)

6. ①②③④ 解析:因为$△ABC$是等边三角形,F 是边 AC 的中点,所以$∠ABC=∠ACB=∠BAC=60^{\circ }$,$BF⊥AC$. 故①正确;所以$∠ABD=\dfrac {1}{2}∠ABC=30^{\circ }$,BF 是线段 AC 的垂直平分线,即$AD=CD$. 因为$△ADE$是等边三角形,所以$AD=ED=AE$,即$AE=ED=CD$. 故③正确;所以$∠DEC=∠DCE$. 故②正确;因为点 D 在线段 BF 上,所以当$AD⊥BF$,即点 D 与点 F 重合时,AD 的长最小,此时$△ADE$的周长最小. 因为等边三角形 ABC 的边长为 6,F 是边 AC 的中点,所以$AF=3$,即 AD 的长的最小值为 3. 所以$△ADE$的周长的最小值为$AD+DE+AE=3AD=9$. 故④正确;因为$△ABC$,$△ADE$都是等边三角形,所以$AB=AC$,$AD=AE$,$∠BAC=∠DAE=60^{\circ }$,即$∠BAD=∠CAE$. 所以$△BAD≌ △CAE$(SAS). 所以$∠ACE=∠ABD=30^{\circ }$. 故⑥错误;所以$∠BCE=∠ACB+∠ACE=90^{\circ }$,即点 E 在射线 CE(射线$CE⊥BC$)上运动. 如图,作点 A 关于射线 CE 的对称点 M,连接 ME,MC,所以$AE=ME$. 所以$△AEF$的周长为$AF+AE+EF=AF+EM+EF$. 所以当 E,F,M 三点共线,即点 E 与点$E'$重合时,$EF+EM$最小,此时$△AEF$的周长最小. 因为点 A 与点 M 关于射线 CE 对称,所以$AC=MC$,$∠MCE=∠ACE=30^{\circ }$,即$∠ACM=60^{\circ }$. 所以$△ACM$是等边三角形. 又 F 是边 AC 的中点,所以$AF⊥MF$,即$∠AFE'=90^{\circ }$. 故⑤错误. 综上,正确的是①②③④.