1. 甲、乙两人在一条400 m长的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息.已知甲先出发3 s，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离$y$(m)与乙出发的时间$x$(s)之间的函数关系.有下列结论:① 乙的速度为5 m/s;② 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12 m;③ 甲、乙两人之间的距离超过32 m的时间范围是$44＜x＜89$;④ 乙到达终点时，甲距离终点还有68 m.其中正确的个数是（）

A.4
B.3
C.2
D.1

1. B 解析:由题图,得甲先出发3 s共跑了12 m,所以甲的速度为12÷3=4(m/s),即甲跑到终点所需时间为400÷4=100(s).又当x=80时,y最大,则此时乙到终点.所以乙的速度为400÷80=5(m/s).故①正确;所以乙离开起点后,甲、乙两人第一次相遇所需的时间为12÷(5-4)=12(s),则此时距离起点的距离为12×5=60(m).故②错误;若甲、乙两人之间的距离为32 m,有两种情况,当乙到达终点前,5x-4x=32+12,解得x=44;当乙到达终点后,400-4(x+3)=32,解得x=89.所以甲、乙两人之间的距离超过32 m的时间范围是44＜x＜89.故③正确;因为当x=80时,乙到达终点,此时甲距离终点的路程为400-4×(80+3)=68(m).故④正确.综上,正确的个数是3.

2. 已知直线$y=kx+b$过点$(2,2)$，且与$x$轴负半轴相交.若$m=3k+2b$,则$m$的取值范围为()

A.$3＜m＜4$
B.$3≤ m＜4$
C.$4＜m＜5$
D.$4≤ m＜5$

2. A 解析:因为直线$y=kx+b$过点$(2,2)$,所以$2=2k+b$,即$b=2-2k$.所以$m=3k+2b=3k+2(2-2k)=4-k$,即$k=4-m$,所以$b=2m-6$.又直线$y=kx+b$与$x$轴负半轴相交,所以$\begin{cases}k＞0,\\b＞0,\end{cases}$即$\begin{cases}4-m＞0,\\2m-6＞0,\end{cases}$解得$3＜m＜4$.则$m$的取值范围为$3＜m＜4$.

3. 对于实数$a,b$，我们定义符号$\max\{a,b\}$的意义如下:当$a≥ b$时，$\max\{a,b\}=a$；当$a＜ b$时，$\max\{a,b\}=b$.如:$\max\{4,-2\}=4$，$\max\{3,3\}=3$.若$y$关于$x$的函数为$y=\max\{x+3,-x+1\}$，则该函数的最小值是.

3. 2 解析:联立方程组$\begin{cases}y=x+3,\\y=-x+1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=2.\end{cases}$结合函数图象(图略),易得原函数可化为$y=\begin{cases}x+3(x≥ -1),\\-x+1(x＜-1),\end{cases}$即当$x≥ -1$时,$y=x+3≥ 2$;当$x＜-1$时,$y=-x+1＞2$.所以该函数的最小值是2.

4. 如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中.若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向左平移3个单位长度后所得直线$l'$对应的函数表达式为.

4. $y=\frac{10}{9}x+\frac{10}{3}$ 解析:如图,设直线$l$和八个小正方形的最右边的交点为A,过点A分别作$AB⊥ x$轴,$AC⊥ y$轴,垂足分别为B,C.因为小正方形的边长为1,所以每个小正方形的面积为1,$OB=3$.因为经过原点的一条直线$l$将这八个小正方形分成面积相等的两部分,所以三角形ABO的面积是$8×1÷2+1=5$,即$\frac{1}{2}OB· AB=5$,解得$AB=\frac{10}{3}$.所以$A(3,\frac{10}{3})$.设直线$l$的函数表达式为$y=kx$.又直线$l$经过点$A(3,\frac{10}{3})$,所以$\frac{10}{3}=3k$,解得$k=\frac{10}{9}$.所以直线$l$对应的函数表达式为$y=\frac{10}{9}x$.所以将直线$l$向左平移3个单位长度后所得直线$l'$对应的函数表达式为$y=\frac{10}{9}(x+3)=\frac{10}{9}x+\frac{10}{3}$.

5. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=x+1$和$x$轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形(图中所示的阴影部分),其中一条直角边在$x$轴上,另一条直角边与$x$轴垂直,则第100个等腰直角三角形的面积是.

5. $2^{197}$ 解析:对于$y=x+1$,令$x=0$,得$y=1$.所以$A_1(0,1)$,即$OA_1=1$.又$△ A_1OB_1$是等腰直角三角形,$∠ A_1OB_1=90°$,所以$OB_1=OA_1=1$,即$B_1(1,0)$.又$A_2B_1⊥ x$轴,所以点$A_2$的横坐标为1.又点$A_2$在直线$y=x+1$上,所以$A_2(1,2)$,即$A_2B_1=2$.同理,得$B_1B_2=A_2B_1=2$,$B_2B_3=A_3B_2=4$,$B_3B_4=A_4B_3=8······$所以$B_{n-1}B_n=2^{n-1}$($n$为正整数,且点$B_0$与原点$O$重合).所以第100个等腰直角三角形的直角边长是$2^{99}$,即第100个等腰直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×2^{99}×2^{99}=2^{197}$.

6. 新趋势 推导探究 如图①，直线AB:$y=-x+6$分别与x轴、y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点$C(-3,0)$.
（1）直线BC的函数表达式是；
（2）在直线BC上是否存在点D，使得$S_{△ ABD}=S_{△ AOD}$？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，$D(11,0)$，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA，QD，则$QB-QD$的最大值为.

6. (1) $y=2x+6$ 解析:对于$y=-x+6$,令$x=0$,得$y=6$;令$y=0$,得$-x+6=0$,解得$x=6$.因为直线$AB$:$y=-x+6$分别与$x$轴、$y$轴交于$A$,$B$两点,所以$A(6,0)$,$B(0,6)$,即$OA=OB=6$.设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+b$.将$B(0,6)$,$C(-3,0)$分别代入,得$\begin{cases}b=6,\\-3k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=6.\end{cases}$所以直线$BC$的函数表达式为$y=2x+6$.
(2) 存在. 由(1),得直线$BC$的函数表达式为$y=2x+6$,$OA=OB=6$.又$C(-3,0)$,所以$OC=3$,即$AC=9$.过点$D$作$DE⊥ x$轴于点$E$.因为点$D$在直线$BC$上,所以$D(a,2a+6)$,则$E(a,0)$.所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· OB=27$,$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· DE=9|a+3|$,$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}OA· DE=6|a+3|$.分类讨论如下:① 当点$D$在线段$BC$上,即$-3＜a＜0$时,$0＜a+3＜3$,所以$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=27-9(a+3)=-9a$.若$S_{△ ABD}=S_{△ AOD}$,则$-9a=6(a+3)$,解得$a=-\frac{6}{5}$.则$D(-\frac{6}{5},\frac{18}{5})$;② 当点$D$在$BC$的延长线上,即$a＜-3$时,$a+3＜0$,所以$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=27-9(a+3)=-9a$.若$S_{△ ABD}=S_{△ AOD}$,则$-9a=-6(a+3)$,解得$a=6$(舍去);③ 当点$D$在$CB$的延长线上,即$a＞0$时,$a+3＞0$,所以$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}-S_{△ ABC}=9(a+3)-27=9a$.若$S_{△ ABD}=S_{△ AOD}$,则$9a=6(a+3)$,解得$a=6$.则$D(6,18)$.综上,当点$D$的坐标为$(-\frac{6}{5},\frac{18}{5})$或$(6,18)$时,$S_{△ ABD}=S_{△ AOD}$.
(3) $\sqrt{37}$ 解析:由(1),得$A(6,0)$,$B(0,6)$,$OA=OB=6$.又$D(11,0)$,所以$OD=11$,即$AD=OD-OA=5$.由题意,设$P(m,0)(m＞0)$,则$OP=m$.如图,过点$Q$作$QT⊥ x$轴于点$T$,则$∠ BOP=∠ PTQ=90°$.因为$△ BPQ$是等腰直角三角形,$∠ BPQ=90°$,所以$BP=PQ$,$∠ BPO+∠ QPT=180°-∠ BPQ=90°$.又$∠ QPT+∠ PQT=90°$,所以$∠ BPO=∠ PQT$.所以$\mathrm{Rt}△ BOP≌\mathrm{Rt}△ PTQ$(AAS).所以$OP=TQ$,$OB=TP$,即$TQ=m$,$TP=6$.所以$AT=OP+TP-OA=m+6-6=m$.所以$AT=TQ$.所以$△ ATQ$是等腰直角三角形,$∠ QAT=45°$.所以点$Q$在与$x$轴所夹锐角为$45°$的射线$AQ$上运动(与点$A$不重合).作点$D$关于直线$AQ$的对称点$R$,连接$QR$,$BR$,$AR$.由对称的性质,得$∠ QAR=45°$,$AR=AD=5$,$QR=QD$.所以$∠ RAT=90°$,即$RA⊥ x$轴.所以$R(6,5)$.因为$QB-QD=QB-QR≤ BR$,所以当点$R$在线段$BQ$上时,$QB-QD$的值最大,且最大值为$BR$的长.由勾股定理,得$BR=\sqrt{(0-6)^2+(6-5)^2}=\sqrt{37}$,即$QB-QD$的最大值为$\sqrt{37}$.