1 [2025 吉林长春调研]计算 $8x^3· x^2$ 的结果是()

A.$8x^2$
B.$8x^5$
C.$8x^6$
D.$8x^9$

1. B 【解析】$8x^{3}· x^{2}=8x^{3 + 2}=8x^{5}$. 故选 B.

2 若 $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 10$，$a + b + c = 5$，则 $a + b - c$ 的值是()

A.2
B.5
C.20
D.9

2. A 【解析】由 $a^{2}+2ab + b^{2}-c^{2}=10$，得 $(a + b)^{2}-c^{2}=10$，则 $(a + b + c)(a + b - c)=10$. 因为 $a + b + c = 5$，所以 $5(a + b - c)=10$，解得 $a + b - c = 2$.

3 [2024 江苏常州天宁区期中]如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”. 因为 $16 = 5^2-3^2$，所以 16 就是“幸福数”. 下列数中为“幸福数”的是()

A.520
B.502
C.250
D.205

3. A 【解析】设两个连续奇数分别为 $2a - 1$，$2a + 1$（$a$ 为正整数），则 $(2a + 1)^{2}-(2a - 1)^{2}=(2a + 1 + 2a - 1)(2a + 1 - 2a + 1)=4a× 2 = 8a$. 令 $8a = 520$，解得 $a = 65$，所以 520 是“幸福数”；令 $8a = 502$，解得 $a = 62.75$（不符合题意，舍去），所以 502 不是“幸福数”；令 $8a = 250$，解得 $a = 31.25$（不符合题意，舍去），所以 250 不是“幸福数”；令 $8a = 205$，解得 $a = 25.625$（不符合题意，舍去），所以 205 不是“幸福数”. 故选 A.

4 [2025 湖北武汉质检]若 $2x^4-3x^3 + ax^2 + 7x + b$ 能被 $x^2 + x - 2$ 整除，则 $a:b$ 的值是()

A.-2
B.-12
C.6
D.4

4. A 【解析】设 $2x^{4}-3x^{3}+ax^{2}+7x + b=(x^{2}+x - 2)(2x^{2}+mx + n)$. 因为 $(x^{2}+x - 2)(2x^{2}+mx + n)=2x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+2x^{3}+mx^{2}+nx - 4x^{2}-2mx - 2n=2x^{4}+(m + 2)x^{3}+(n + m - 4)x^{2}+(n - 2m)x - 2n$，所以 $2x^{4}-3x^{3}+ax^{2}+7x + b=2x^{4}+(m + 2)x^{3}+(n + m - 4)x^{2}+(n - 2m)x - 2n$，所以 $\begin{cases}m + 2 = - 3,\\n + m - 4 = a,\\n - 2m = 7,\\- 2n = b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m = - 5,\\n = - 3,\\a = - 12,\\b = 6,\end{cases}$ 所以 $a:b=(-12):6=-2$，故选 A.

5 [2025 江苏南京期中]若 $x^2-5x - 2 = 0$，则 $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)=$.

5. 48 【解析】因为 $x^{2}-5x - 2 = 0$，所以 $x^{2}-5x = 2$，所以 $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)=(x - 1)(x - 4)(x - 2)(x - 3)=(x^{2}-5x + 4)(x^{2}-5x + 6)=(2 + 4)(2 + 6)=48$，故答案为 48.

6 [2025 江苏连云港质检]有两个正方形 A，B，将 B 放在 A 的内部得图(1)，将 A，B 并列放置后构造一个大正方形得图(2). 若图(1)和图(2)中阴影部分的面积分别为 5 和 45，则图(2)中构造的大正方形的面积为.

6. 95 【解析】设两个正方形 A，B 的边长分别为 $x$，$y$. 由题图（1）可得 $(x - y)^{2}=5$，$\therefore x^{2}+y^{2}-2xy = 5$. 由题图（2）可得 $(x + y)^{2}-x^{2}-y^{2}=45$，$\therefore 2xy = 45$，$\therefore x^{2}+y^{2}-45 = 5$，$\therefore x^{2}+y^{2}=50$，$\therefore$ 题图（2）中构造的大正方形的面积为 $(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}+45 = 50 + 45 = 95$，故答案为 95.

7 [2025 福建泉州期中]设 $a_1,a_2,···,a_{2025}$ 是从 1,0,-1 这三个数中取值的一列数，若 $a_1 + a_2+··· + a_{2025}=71$，$(a_1 + 1)^2+(a_2 + 1)^2+···+(a_{2025}+1)^2 = 4007$，则 $a_1,a_2,···,a_{2025}$ 中 0 的个数是.

7. 185 【解析】因为 $(a_{1}+1)^{2}+(a_{2}+1)^{2}+···+(a_{2025}+1)^{2}=4007$，所以 $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+···+a_{2025}^{2})+2(a_{1}+a_{2}+···+a_{2025})+2025 = 4007$. 因为 $a_{1}+a_{2}+···+a_{2025}=71$，所以 $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+···+a_{2025}^{2}=1840$. 设 $a_{1}$，$a_{2}$，$···$，$a_{2025}$ 中有 $x$ 个 1，$n$ 个 0，$y$ 个 $-1$，则 $\begin{cases}x× 1 + n× 0 + y× 1 = 1840,\\x + n + y = 2025,\end{cases}$ 所以 $n = 2025 - 1840 = 185$，所以 $a_{1}$，$a_{2}$，$···$，$a_{2025}$ 中 0 的个数是 185，故答案为 185.

8 [2025 江苏徐州期中]计算：
（1）$(-\frac{1}{2}a^3b^2)·(4b + 8ab^3)$.
（2）$(-3m + 1)(m - 2)$.

8. 【解】（1）$(-\frac{1}{2}a^{3}b^{2})·(4b + 8ab^{3})=(-\frac{1}{2}a^{3}b^{2})· 4b + (-\frac{1}{2}a^{3}b^{2})· 8ab^{3}=-2a^{3}b^{3}-4a^{4}b^{5}$.
（2）$(-3m + 1)(m - 2)=-3m^{2}+6m + m - 2=-3m^{2}+7m - 2$.

9 [2025 江苏无锡调研]先化简，再求值：$(-x + 2y)^2-(2x + y)(2x - y)-3y(x + y)$，其中 $x=-\frac{1}{2}$，$y = 1$.

9. 【解】$(-x + 2y)^{2}-(2x + y)(2x - y)-3y(x + y)=x^{2}-4xy + 4y^{2}-4x^{2}+y^{2}-3xy - 3y^{2}=-3x^{2}-7xy + 2y^{2}$，当 $x = -\frac{1}{2}$，$y = 1$ 时，原式 $=-3×(-\frac{1}{2})^{2}-7×(-\frac{1}{2})× 1 + 2× 1^{2}=\frac{19}{4}$.

10 [2025 江苏南京期中]如图是某圆形景观广场，图中小黑点代表喷水口，其中圆心是广场中心喷水口，小红统计喷水口的数量，发现了一些规律. 每个圆内喷水口的数量从内向外分别记为 $S_1,S_2,S_3,···,S_n$，则 $S_1 = 1$，$S_2=1 + 8 = 9$，$S_3=1 + 8 + 16 = 25$.
(1)$S_4=$，$S_n=$；
(2)小红通过计算发现任意两个连续奇数的平方差是整数 $k$ 的整数倍，写出 $k$ 的最大值，并结合图形简述理由；
(3)任意两个奇数的平方差还满足(2)中的结论吗？请从“数”和“形”两个角度说明理由.
]

10. 【解】（1）由题意可得 $S_{1}=1$，$S_{2}=1 + 8× 1 = 9=(2× 2 - 1)^{2}$，$S_{3}=1 + 8 + 16=1 + 8× 1 + 8× 2 = 25=(2× 3 - 1)^{2}$，所以 $S_{4}=1 + 8× 1 + 8× 2 + 8× 3 = 49=(2× 4 - 1)^{2}$，所以归纳可得 $S_{n}=(2n - 1)^{2}$. 故答案为 49，$(2n - 1)^{2}$.
（2）$k$ 的最大值为 8.
理由：由题图可得 $S_{1}=1^{2}$，$S_{2}=9 = 3^{2}$，$S_{3}=25 = 5^{2}$，$S_{4}=49 = 7^{2}$，$···$，$S_{n}=(2n - 1)^{2}$，$S_{n + 1}=(2n + 1)^{2}$，所以 $S_{2}-S_{1}=3^{2}-1^{2}=8 = 8× 1$，$S_{3}-S_{2}=5^{2}-3^{2}=16 = 8× 2$，$S_{4}-S_{3}=7^{2}-5^{2}=24 = 8× 3$，$···$，$S_{n + 1}-S_{n}=(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)=8n$. 从题图上看，任意两个连续奇数的平方差都对应一个圆环里小黑点的个数，都是 8 的整数倍.
故 $k$ 的最大值为 8.
（3）任意两个奇数的平方差满足（2）中的结论. 理由如下：
从数来说，设两个奇数分别为 $2m - 1$ 和 $2n - 1$（$m$，$n$ 都是正整数，且 $m ＞ n$），所以 $(2m - 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=(2m - 1 + 2n - 1)(2m - 1 - 2n + 1)=4(m + n - 1)(m - n)$. 当 $m$，$n$ 同为奇数或偶数时，$m - n$ 是偶数，此时 $(2m - 1)^{2}-(2n - 1)^{2}$ 是 8 的整数倍；当 $m$，$n$ 为一个奇数，一个偶数时，$m + n - 1$ 是偶数，此时 $(2m - 1)^{2}-(2n - 1)^{2}$ 是 8 的整数倍，所以任意两个奇数的平方差是整数 $k$ 的整数倍，$k$ 的最大值为 8. 从图形来说，任意两个奇数的平方差都对应一个或几个相邻圆环内小黑点的个数，都是 8 的整数倍.