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1 [2025江苏常州期末]如图，左、右托盘中黑球的质量分别为$a$g，$b$g，白球的质量为$c$g，图中体现的数学原理可表示为(
A.若$a ＞ b$，则$a + c ＞ b + c$
B.若$a ＞ b$，则$a ＞ b + c$
C.若$a ＞ b$，则$ac ＞ bc$
D.若$a ＞ b$，则$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c}$
A
)A.若$a ＞ b$，则$a + c ＞ b + c$
B.若$a ＞ b$，则$a ＞ b + c$
C.若$a ＞ b$，则$ac ＞ bc$
D.若$a ＞ b$，则$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c}$
答案
1.A 【解析】由题中左图可知a＞ b,由题中右图可知a+c＞ b+c,即A选项符合题意.故选A.
2 某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中55环，如果他要打破92环(10次射击)的纪录，第7次射击起码要超过(
A.6环
B.7环
C.8环
D.9环
B
)A.6环
B.7环
C.8环
D.9环
答案
2.B 【解析】设第7次射击为x环.因为射击环数最多为10环,所以第8次、第9次、第10次最多射中环数都是10环,所以55+10×3+x＞92,解得x＞7,即第7次射击起码要超过7环,故选B.
3 若$2m + \frac{2}{3}x ＞ 1$与$2 - 3x ＜ 0$的解集是相同的，则$m$的值是(
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{18}$
C.$\frac{3 - 6m}{2}$
D.$\frac{3}{5}$
B
)A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{18}$
C.$\frac{3 - 6m}{2}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
3.B 【解析】由2-3x＜0,得$x＞\frac{2}{3}$,由$2m+\frac{2}{3}x＞1$,得$x＞\frac{3}{2}-3m$,则$\frac{2}{3}=\frac{3}{2}-3m$,解得$m=\frac{5}{18}$.
思路分析 先求出不等式组的解集为a-1＜x≤5,然后根据所有整数解的和为14,列出关于a的不等式组,求出a的取值范围即可求得答案.
思路分析 先求出不等式组的解集为a-1＜x≤5,然后根据所有整数解的和为14,列出关于a的不等式组,求出a的取值范围即可求得答案.
4 若不等式组$\begin{cases}3 ＜ x ＜ m + 2, \\ m - 1 ＜ x ＜ 5\end{cases}$的解集是$m - 1 ＜ x ＜ 5$，则$m$的取值范围是( )
A.$m ≥ 3$
B.$3 ≤ m ≤ 4$
C.$4 ≤ m ＜ 6$
D.$m ≥ 6$
A.$m ≥ 3$
B.$3 ≤ m ≤ 4$
C.$4 ≤ m ＜ 6$
D.$m ≥ 6$
答案
4.C 【解析】因为不等式组$\{\begin{array}{l} 3＜x＜m+2,\\ m-1＜x＜5\end{array} $的解集是m-1＜x＜5,所以m-1≥3,解得m≥4;m+2≥5,解得m≥3;m-1＜5,解得m＜6.综上所述,4≤m＜6,故选C.
5 [2024江苏无锡期中]关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - 1 ＜ 0, \\ x - a ≥ 0,\end{cases}$下列说法正确的是( )
A.若不等式组的解集是$-2 ＜ x ＜ 1$，则$a = -2$
B.若$x = -4$是不等式的一个解，则$a ＜ -4$
C.若不等式组只有3个整数解，则$a = -2$
D.若不等式组无解，则$a ≥ 1$
A.若不等式组的解集是$-2 ＜ x ＜ 1$，则$a = -2$
B.若$x = -4$是不等式的一个解，则$a ＜ -4$
C.若不等式组只有3个整数解，则$a = -2$
D.若不等式组无解，则$a ≥ 1$
答案
5.D 【解析】$\{\begin{array}{l} x-1＜0,①\\ x-a≥ 0,②\end{array} $解不等式①,得x＜1,解不等式②,得x≥a.若不等式组的解集是-2≤x＜1,则a=-2,故选项A说法错误,不符合题意;若x=-4是不等式组的一个解,则a≤-4,故选项B说法错误,不符合题意;若不等式组只有3个整数解,则x可取0,-1,-2,-3＜a≤-2,故选项C说法错误,不符合题意;若不等式组无解,则a≥1,故选项D说法正确,符合题意.故选D.
易错警示
易错警示
6 $\frac{x + y}{2}$减去$-(2x - 3)$所得的差是非负数，用不等式表示为
$\frac{x+y}{2}+2x-3≥ 0$
。答案
6.$\frac{x+y}{2}+2x-3≥ 0$ 【解析】依题意得$\frac{x+y}{2}-[-(-2x-3)]≥ 0$,即$\frac{x+y}{2}+2x-3≥ 0$.非负数包括正数和0,千万不要遗漏0.
7 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x + 3 ≥ x + m, \\ \frac{2x + 5}{3} - 3 ＜ 2 - x\end{cases}$无解，则$\frac{1}{m}$的取值范围是 ______ 。
答案
7.$0＜\frac{1}{m}≤ \frac{1}{5}$ 【解析】解不等式$2x+3≥ x+m$,得x≥m-3,解不等式$\frac{2x+5}{3}-3＜2-x$,得x＜2.因为不等式组无解,所以m-3≥2,所以m≥5,所以$0＜\frac{1}{m}≤ \frac{1}{5}$,故答案为$0＜\frac{1}{m}≤ \frac{1}{5}$.
8 [2024江苏连云港质检]已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - 3y = 4 - t, \\ x + y = 3t,\end{cases}$其中$-3 ≤ t ≤ 1$，若$M = x - y$，则$M$的最大值为 ______ 。
答案
8.3 【解析】$\{\begin{array}{l} x-3y=4-t,①\\ x+y=3t,②\end{array} $①+②得2x-2y=4+2t,即x-y=2+t.因为M=x-y,所以M=2+t,所以t=M-2.因为-3≤t≤1,所以-3≤M-2≤1,即-1≤M≤3,所以M的最大值为3.故答案为3.
9 若整数$a$使得关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x + 15}{2} ≥ x + 3, \\ 4x + 1 ≥ a\end{cases}$有且仅有6个整数解，且使关于$y$的一元一次方程$\frac{2y + a}{3} - \frac{y + a}{2} = 1$的解满足$y ＞ 21$，则所有满足条件的整数$a$的值之和为 ______ 。
答案
9.33 【解析】$\{\begin{array}{l} \frac{x+15}{2}≥ x+3,①\\ 4x+1≥ a,②\end{array} $解不等式①,得x≤9,解不等式②,得$x≥ \frac{a-1}{4}$.由题意得不等式组有解,所以不等式组的解集是$\frac{a-1}{4}≤ x≤ 9$.因为a为整数,不等式组有且仅有6个整数解,所以$3＜\frac{a-1}{4}≤ 4$,解得13＜a≤17.解方程$\frac{2y+a}{3}-\frac{y+a}{2}=1$得y=6+a.因为y＞21,所以6+a＞21,解得a＞15,所以15＜a≤17.因为a为整数,所以a的值为16或17,则16+17=33,故答案为33.
10 [2025山东济南期中]按要求解下列不等式（组）：
（1）解关于$x$的不等式$3 - x ＜ 2(x + 3)$，并将解集用数轴表示出来；
（2）解不等式组：$\begin{cases}5x - 3 ≤ 3x, \\ \frac{x - 3}{3} ＜ \frac{x + 1}{2} - 1,\end{cases}$并写出它的所有整数解。
（1）解关于$x$的不等式$3 - x ＜ 2(x + 3)$，并将解集用数轴表示出来；
（2）解不等式组：$\begin{cases}5x - 3 ≤ 3x, \\ \frac{x - 3}{3} ＜ \frac{x + 1}{2} - 1,\end{cases}$并写出它的所有整数解。
答案
10.【解】(1)3-x＜2(x+3),所以3-x＜2x+6,所以-x-2x＜6-3,所以-3x＜3,所以x＞-1.解集在数轴上表示如下：
(2)$\{\begin{array}{l} 5x-3≤ 3x,①\\ \frac{x-3}{3}＜\frac{x+1}{2}-1,②\end{array} $解不等式①得$x≤ \frac{3}{2}$,解不等式②得x＞-3,所以不等式组的解集为$-3＜x≤ \frac{3}{2}$,所以它的所有整数解为-2,-1,0,1.
11 [2024浙江金华婺城区期中]已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 1 + 2a, \\ x + 4y = 2 + a.\end{cases}$
（1）若$x$，$y$是相反数，求$a$的值；
（2）若此方程组的解满足$-1 ＜ x + y ≤ 3$，求$a$的取值范围。
（1）若$x$，$y$是相反数，求$a$的值；
（2）若此方程组的解满足$-1 ＜ x + y ≤ 3$，求$a$的取值范围。
答案
11.【解】(1)$\{\begin{array}{l} 2x-y=1+2a,①\\ x+4y=2+a,②\end{array} $①+②得3x+3y=3+3a,所以x+y=1+a.因为x,y是相反数,所以x+y=0,即1+a=0,所以a=-1.
(2)因为此方程组的解满足-1＜x+y≤3,所以-1＜1+a≤3,解得-2＜a≤2.
(2)因为此方程组的解满足-1＜x+y≤3,所以-1＜1+a≤3,解得-2＜a≤2.
