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13. 阅读下列材料，解决问题：
材料一：设$[x]$表示不大于$x$的最大整数，如$[3.15]=3$，$[4]=4$。
材料二：求$[\sqrt{2×3}]$的值：$\because 2^2＜2×3＜3^2$，$\therefore \sqrt{2^2}＜\sqrt{2×3}＜\sqrt{3^2}$，$\therefore 2＜\sqrt{2×3}＜3$，$\therefore [\sqrt{2×3}]=2$。
材料三：数字2025构成的巧合：$(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^2=2025$；$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3=2025$。
2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年。
(1)$[-2.1]=$
(2)已知$n$为正整数，化简：$[\sqrt{n(n+1)}]=$
(3)已知$a=[\sqrt{1×2}]+[\sqrt{2×3}]+\dots+[\sqrt{2023×2024}]$，$b=[\sqrt{2025}]$，令$s=\frac{a}{1012}+b$，求$[\sqrt{s}]$。
材料一：设$[x]$表示不大于$x$的最大整数，如$[3.15]=3$，$[4]=4$。
材料二：求$[\sqrt{2×3}]$的值：$\because 2^2＜2×3＜3^2$，$\therefore \sqrt{2^2}＜\sqrt{2×3}＜\sqrt{3^2}$，$\therefore 2＜\sqrt{2×3}＜3$，$\therefore [\sqrt{2×3}]=2$。
材料三：数字2025构成的巧合：$(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^2=2025$；$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3=2025$。
2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年。
(1)$[-2.1]=$
-3
；$[\sqrt[3]{300}]=$6
；$[\sqrt{(-3)×(-2)}]=$2
。(2)已知$n$为正整数，化简：$[\sqrt{n(n+1)}]=$
$n$
（结果用含$n$的代数式表示）。(3)已知$a=[\sqrt{1×2}]+[\sqrt{2×3}]+\dots+[\sqrt{2023×2024}]$，$b=[\sqrt{2025}]$，令$s=\frac{a}{1012}+b$，求$[\sqrt{s}]$。
答案
13.解:(1)$-3$ $6$ $2$ (2)$n$
(3)由(2)得 $a=[\sqrt{1× 2}]+[\sqrt{2× 3}]+\dots+[\sqrt{2\ 023× 2\ 024}]=1+2+\dots+2\ 023=\dfrac{2\ 023×(1+2\ 023)}{2}=2\ 023× 1\ 012$,
$b=[\sqrt{2\ 025}]=[45]=45$,
$\therefore s=\dfrac{a}{1\ 012}+b=\dfrac{2\ 023× 1\ 012}{1\ 012}+45=2\ 068$,
$\therefore [\sqrt{s}]=[\sqrt{2\ 068}]=45$.
(3)由(2)得 $a=[\sqrt{1× 2}]+[\sqrt{2× 3}]+\dots+[\sqrt{2\ 023× 2\ 024}]=1+2+\dots+2\ 023=\dfrac{2\ 023×(1+2\ 023)}{2}=2\ 023× 1\ 012$,
$b=[\sqrt{2\ 025}]=[45]=45$,
$\therefore s=\dfrac{a}{1\ 012}+b=\dfrac{2\ 023× 1\ 012}{1\ 012}+45=2\ 068$,
$\therefore [\sqrt{s}]=[\sqrt{2\ 068}]=45$.
解析
【分析】
解题首先要准确理解新定义$[x]$的含义：$[x]$是不大于$x$的最大整数，即小于等于$x$的整数中最大的那个。
(1) 求负数的取整时，注意“不大于”就是小于等于，$-2.1$小于$-2$，因此不大于$-2.1$的最大整数是$-3$；求带根号的数的取整，先通过平方/立方运算估算根式的整数范围，即可得到取整结果。
(2) 化简$[\sqrt{n(n+1)}]$时，先对根号内的式子放缩，证明$\sqrt{n(n+1)}$介于$n$和$n+1$之间，再结合取整定义得到结果。
(3) 计算$a$时直接用(2)的结论，将原式转化为等差数列求和，再算出$b$的值，代入$s$的表达式求出$s$，最后估算$\sqrt{s}$的范围取整即可。
【解析】
(1) ①$\because$不大于$-2.1$的最大整数是$-3$，$\therefore [-2.1]=-3$；
②$\because 6^3=216$，$7^3=343$，$\therefore 6＜\sqrt[3]{300}＜7$，$\therefore [\sqrt[3]{300}]=6$；
③$\because \sqrt{(-3)×(-2)}=\sqrt{6}$，又$2^2=4＜6＜9=3^2$，$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$，$\therefore [\sqrt{(-3)×(-2)}]=2$。
(2) $\because n$是正整数，$\therefore n^2 ＜ n(n+1)=n^2+n ＜ n^2+2n+1=(n+1)^2$，
$\therefore \sqrt{n^2}＜\sqrt{n(n+1)}＜\sqrt{(n+1)^2}$，即$n＜\sqrt{n(n+1)}＜n+1$，
$\therefore [\sqrt{n(n+1)}]=n$。
(3) 由(2)的结论可得：
$a=[\sqrt{1× 2}]+[\sqrt{2× 3}]+\dots+[\sqrt{2023×2024}]=1+2+\dots+2023$
根据等差数列求和公式得：
$a=\frac{2023×(1+2023)}{2}=2023×1012$
$b=[\sqrt{2025}]=[45]=45$
$\therefore s=\frac{a}{1012}+b=\frac{2023×1012}{1012}+45=2023+45=2068$
$\because 45^2=2025$，$46^2=2116$，$\therefore 45＜\sqrt{2068}＜46$，$\therefore [\sqrt{s}]=45$。
【答案】
(1) $-3$；$6$；$2$ (2) $n$ (3) $45$
【知识点】
新定义运算，无理数的估算，有理数混合运算
【点评】
本题以新定义取整运算为载体，结合实数大小比较、数列求和等知识，考查对新定义的理解能力和知识迁移应用能力，解题的核心是准确把握取整函数的定义，通过放缩法确定无理数的整数范围，再利用规律简化计算，难度适中。
【难度系数】
0.65
解题首先要准确理解新定义$[x]$的含义：$[x]$是不大于$x$的最大整数，即小于等于$x$的整数中最大的那个。
(1) 求负数的取整时，注意“不大于”就是小于等于，$-2.1$小于$-2$，因此不大于$-2.1$的最大整数是$-3$；求带根号的数的取整，先通过平方/立方运算估算根式的整数范围，即可得到取整结果。
(2) 化简$[\sqrt{n(n+1)}]$时，先对根号内的式子放缩，证明$\sqrt{n(n+1)}$介于$n$和$n+1$之间，再结合取整定义得到结果。
(3) 计算$a$时直接用(2)的结论，将原式转化为等差数列求和，再算出$b$的值，代入$s$的表达式求出$s$，最后估算$\sqrt{s}$的范围取整即可。
【解析】
(1) ①$\because$不大于$-2.1$的最大整数是$-3$，$\therefore [-2.1]=-3$；
②$\because 6^3=216$，$7^3=343$，$\therefore 6＜\sqrt[3]{300}＜7$，$\therefore [\sqrt[3]{300}]=6$；
③$\because \sqrt{(-3)×(-2)}=\sqrt{6}$，又$2^2=4＜6＜9=3^2$，$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$，$\therefore [\sqrt{(-3)×(-2)}]=2$。
(2) $\because n$是正整数，$\therefore n^2 ＜ n(n+1)=n^2+n ＜ n^2+2n+1=(n+1)^2$，
$\therefore \sqrt{n^2}＜\sqrt{n(n+1)}＜\sqrt{(n+1)^2}$，即$n＜\sqrt{n(n+1)}＜n+1$，
$\therefore [\sqrt{n(n+1)}]=n$。
(3) 由(2)的结论可得：
$a=[\sqrt{1× 2}]+[\sqrt{2× 3}]+\dots+[\sqrt{2023×2024}]=1+2+\dots+2023$
根据等差数列求和公式得：
$a=\frac{2023×(1+2023)}{2}=2023×1012$
$b=[\sqrt{2025}]=[45]=45$
$\therefore s=\frac{a}{1012}+b=\frac{2023×1012}{1012}+45=2023+45=2068$
$\because 45^2=2025$，$46^2=2116$，$\therefore 45＜\sqrt{2068}＜46$，$\therefore [\sqrt{s}]=45$。
【答案】
(1) $-3$；$6$；$2$ (2) $n$ (3) $45$
【知识点】
新定义运算，无理数的估算，有理数混合运算
【点评】
本题以新定义取整运算为载体，结合实数大小比较、数列求和等知识，考查对新定义的理解能力和知识迁移应用能力，解题的核心是准确把握取整函数的定义，通过放缩法确定无理数的整数范围，再利用规律简化计算，难度适中。
【难度系数】
0.65
