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1. 在一条笔直的公路上的甲、乙两地相距240 km，快、慢两车同时出发，快车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地；慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1 h后，继续按原路原速驶向甲地.在两车行驶过程中，两车距甲地的距离y(单位:km)与两车的出发时间x(单位:h)之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题:
(1)快车速度为
(2)慢车停车之后再次行驶时，距甲地的距离y与出发时间x之间的关系式为
(3)出发
(4)慢车行驶
(1)快车速度为
60
km/h，慢车速度为 30
km/h；(2)慢车停车之后再次行驶时，距甲地的距离y与出发时间x之间的关系式为
y=-30x+270(2≤x≤9)
；(3)出发
7
h，两车第二次相遇；(4)慢车行驶
$\frac{22}{9}$或$\frac{32}{9}$或$\frac{16}{3}$
h，两车相距50 km.答案
(1)60 30 解析:
∵快车从甲地驶向乙地,到达乙地之后,立即按原路原速返回甲地,
∴快车8小时行驶480 km.
∴快车速度为480÷8=60(km/h).
∵慢车从乙地驶向甲地,中途因故停车1 h后继续按原路原速驶向甲地,共用9小时,
∴慢车8小时行驶240 km,
∴慢车的速度为240÷8=30(km/h).
(2)y=-30x+270(2≤x≤9) 解析:慢车从乙地驶向甲地,中途因故停车时距甲地210 km,
∴慢车行驶了240-210=30(km),
∴行驶时间为30÷30=1(h),
∴A(1,210),
∴B(2,210).设直线BF的表达式为$y=k_{BF}x+b_{BF}$,过点B(2,210),F(9,0),
∴$\begin{cases}2k_{BF}+b_{BF}=210,\\9k_{BF}+b_{BF}=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_{BF}=-30,\\b_{BF}=270,\end{cases}$
∴直线BF的表达式为y=-30x+270.
∴慢车停车之后再次行驶时,距甲地的距离y与出发时间x之间的关系式为y=-30x+270(2≤x≤9).
(3)7 解析:根据题意知:D(4,240),设直线DE的表达式为$y=k_{DE}x+b_{DE}$,过点D(4,240),E(8,0),
∴$\begin{cases}4k_{DE}+b_{DE}=240,\\8k_{DE}+b_{DE}=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_{DE}=-60,\\b_{DE}=480,\end{cases}$
∴直线DE的表达式为y=-60x+480.联立方程组$\begin{cases}y=-60x+480,\\y=-30x+270,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=7,\\y=60,\end{cases}$
∴两车出发7 h第二次相遇.
(4)$\frac{22}{9}$或$\frac{32}{9}$或$\frac{16}{3}$ 解析:设直线OD的表达式为$y=k_{OD}x$,
∴$4k_{OD}=240$,解得$k_{OD}=60$,
∴直线OD的表达式为y=60x.联立方程组$\begin{cases}y=60x,\\y=-30x+270,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=180,\end{cases}$
∴两车出发3 h第一次相遇.当2≤x＜3时,根据题意,得-30x+270-60x=50,解得x=$\frac{22}{9}$;当3≤x＜4时,依题意得60x-(-30x+270)=50,解得x=$\frac{32}{9}$;当4≤x＜7时,依题意得-60x+480-(-30x+270)=50,解得x=$\frac{16}{3}$.综上所述,慢车行驶时间为$\frac{22}{9}$h或$\frac{32}{9}$h或$\frac{16}{3}$h时,两车相距50 km.
∵快车从甲地驶向乙地,到达乙地之后,立即按原路原速返回甲地,
∴快车8小时行驶480 km.
∴快车速度为480÷8=60(km/h).
∵慢车从乙地驶向甲地,中途因故停车1 h后继续按原路原速驶向甲地,共用9小时,
∴慢车8小时行驶240 km,
∴慢车的速度为240÷8=30(km/h).
(2)y=-30x+270(2≤x≤9) 解析:慢车从乙地驶向甲地,中途因故停车时距甲地210 km,
∴慢车行驶了240-210=30(km),
∴行驶时间为30÷30=1(h),
∴A(1,210),
∴B(2,210).设直线BF的表达式为$y=k_{BF}x+b_{BF}$,过点B(2,210),F(9,0),
∴$\begin{cases}2k_{BF}+b_{BF}=210,\\9k_{BF}+b_{BF}=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_{BF}=-30,\\b_{BF}=270,\end{cases}$
∴直线BF的表达式为y=-30x+270.
∴慢车停车之后再次行驶时,距甲地的距离y与出发时间x之间的关系式为y=-30x+270(2≤x≤9).
(3)7 解析:根据题意知:D(4,240),设直线DE的表达式为$y=k_{DE}x+b_{DE}$,过点D(4,240),E(8,0),
∴$\begin{cases}4k_{DE}+b_{DE}=240,\\8k_{DE}+b_{DE}=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_{DE}=-60,\\b_{DE}=480,\end{cases}$
∴直线DE的表达式为y=-60x+480.联立方程组$\begin{cases}y=-60x+480,\\y=-30x+270,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=7,\\y=60,\end{cases}$
∴两车出发7 h第二次相遇.
(4)$\frac{22}{9}$或$\frac{32}{9}$或$\frac{16}{3}$ 解析:设直线OD的表达式为$y=k_{OD}x$,
∴$4k_{OD}=240$,解得$k_{OD}=60$,
∴直线OD的表达式为y=60x.联立方程组$\begin{cases}y=60x,\\y=-30x+270,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=180,\end{cases}$
∴两车出发3 h第一次相遇.当2≤x＜3时,根据题意,得-30x+270-60x=50,解得x=$\frac{22}{9}$;当3≤x＜4时,依题意得60x-(-30x+270)=50,解得x=$\frac{32}{9}$;当4≤x＜7时,依题意得-60x+480-(-30x+270)=50,解得x=$\frac{16}{3}$.综上所述,慢车行驶时间为$\frac{22}{9}$h或$\frac{32}{9}$h或$\frac{16}{3}$h时,两车相距50 km.
2. 某高速公路上有A,B,C三地,C地在A,B两地之间,A,B两地相距420千米.甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,沿公路匀速相向而行,分别开往B,A两地.甲、乙两车到C地的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的关系如图所示.
(1)求甲车的速度,并求出图中b的值;
(2)求乙车的速度;
(3)写出y与x的函数关系式.
(1)求甲车的速度,并求出图中b的值;
(2)求乙车的速度;
(3)写出y与x的函数关系式.
答案
(1)由图象知,甲车从A地到B地用时7小时,
∴甲车的速度是$\frac{420}{7}=60$(千米/时),$b=\frac{240}{60}=4$.
(2)
∵甲车的速度为60千米/时,
∴3小时甲车行驶了180千米,此时在距C地60千米处与乙车相遇,
∴乙车已经行驶了180+60=240(千米),
∴乙车的速度为240÷3=80(千米/时).
(3)
∵甲车的速度为60千米/时,b的值为4,
∴当0≤x≤4时,$y_甲=240-60x$;当4＜x≤7时,$y_甲=60(x-4)=60x-240$.综上所述,$y_甲=\begin{cases}240-60x(0≤x≤4),\\60x-240(4＜x≤7).\end{cases}$
∵乙车的速度为240÷3=80(千米/时),
∴$a=180÷80=2.25$,$c=420÷80=5.25$;
∴当0≤x≤2.25时,$y_乙=180-80x$;当2.25＜x≤5.25时,$y_乙=80(x-2.25)=80x-180$.综上所述,$y_乙=\begin{cases}180-80x(0≤x≤2.25),\\80x-180(2.25＜x≤5.25).\end{cases}$
∴甲车的速度是$\frac{420}{7}=60$(千米/时),$b=\frac{240}{60}=4$.
(2)
∵甲车的速度为60千米/时,
∴3小时甲车行驶了180千米,此时在距C地60千米处与乙车相遇,
∴乙车已经行驶了180+60=240(千米),
∴乙车的速度为240÷3=80(千米/时).
(3)
∵甲车的速度为60千米/时,b的值为4,
∴当0≤x≤4时,$y_甲=240-60x$;当4＜x≤7时,$y_甲=60(x-4)=60x-240$.综上所述,$y_甲=\begin{cases}240-60x(0≤x≤4),\\60x-240(4＜x≤7).\end{cases}$
∵乙车的速度为240÷3=80(千米/时),
∴$a=180÷80=2.25$,$c=420÷80=5.25$;
∴当0≤x≤2.25时,$y_乙=180-80x$;当2.25＜x≤5.25时,$y_乙=80(x-2.25)=80x-180$.综上所述,$y_乙=\begin{cases}180-80x(0≤x≤2.25),\\80x-180(2.25＜x≤5.25).\end{cases}$
