1. 已知直角三角形的面积为 $6\ \mathrm{cm}^{2}$,两直角边的差为1 cm,则它的斜边长为cm.

1. 5 解析:设两直角边长分别为x cm和y cm,则$\dfrac{1}{2}xy=6$,$|x-y|=1$,$\therefore xy=12$,$\therefore (x-y)^2=1$,$\therefore x^2+y^2-2xy=1$,$\therefore x^2+y^2=1+2xy=25$,$\therefore$斜边长的平方$=x^2+y^2=25$,$\therefore$斜边长$=5\ \mathrm{cm}.$

2. (2025·沈阳校级月考) 如图, $△ ABC$ 中, $AB = AC = 5$, $BC = 6$, $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$, 分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心, 大于 $\dfrac{1}{2}AC$ 的长为半径作弧, 两弧相交于点 $M$ 和点 $N$, 作直线 $MN$, 交 $AD$ 于点 $E$, 则 $DE$ 的长为 （）


A.$\dfrac{5}{8}$
B.$\dfrac{7}{8}$
C.$\dfrac{13}{8}$
D.$\dfrac{25}{8}$

2. B 解析:$\because$在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,$AD$平分$∠ BAC$,$\therefore DC=\dfrac{1}{2}BC=3$,$AD⊥ BC$,$\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.分别以点$A$和点$C$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}AC$的长为半径作弧,两弧相交于点$M$和点$N$,作直线$MN$,可知$MN$垂直平分$AC$,如图,连接$CE$,$\therefore AE=CE$,$\therefore DE=AD-AE=4-AE$,在$\mathrm{Rt}△ EDC$中,$CE^2=DE^2+CD^2$,$\therefore AE^2=(4-AE)^2+3^2$,解得$AE=\dfrac{25}{8}$,$\therefore DE=AD-AE=\dfrac{7}{8}$,故选B.

3. (2025·苏州校级月考) 如图，$∠ AOB = 90°$，$OA = 25\ \mathrm{m}$，$OB = 5\ \mathrm{m}$，一机器人在点$B$处看见一个小球从点$A$出发沿着$AO$方向匀速滚向点$O$，机器人立即从点$B$出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点$C$处截住了小球（$O$，$C$，$A$在一条直线上），如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程$BC$是 （）


A.12 m
B.13 m
C.14 m
D.15 m

3. B 解析:设$BC=x\ \mathrm{m}$,依题意知$BC=AC=x\ \mathrm{m}$,则$OC=(25-x)\ \mathrm{m}$,在$\mathrm{Rt}△ OBC$中,$OC^2+BO^2=BC^2$,即$(25-x)^2+5^2=x^2$,解得$x=13$,$\therefore BC=13\ \mathrm{m}$.故选B.

4. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，$CM ⊥ MB$，经测量得到如下数据：$AM = 4\ \mathrm{m}$，$AB = 4\ \mathrm{m}$，$∠ MAD = 45°$，$CM:CB = 3:5$，则警示牌的高$CD$为m.

4. 2 解析:设$CM=3x$,则$CB=5x$,由勾股定理可得$CM^2+MB^2=CB^2$,解得$MB=4x$,由题意得$MB=8\ \mathrm{m}$,$\therefore x=2\ \mathrm{m}$,$CM=3x=6\ \mathrm{m}$.$\because ∠ MAD=45°$,$CM⊥ MB$,$\therefore ∠ MDA=∠ MAD=45°$,$\therefore MD=MA=4\ \mathrm{m}$,$\therefore CD=CM-MD=2\ \mathrm{m}.$

5. (随州中考) 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°$,
$AC=8, BC=6, D$ 为 $AC$ 上一点, 若 $BD$ 是
$∠ ABC$ 的平分线, 则 $AD=$.

5. 5 解析:如图,过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$,$\because ∠ C=90°$,$\therefore CD⊥ BC$.$\because BD$是$∠ ABC$的平分线,$CD⊥ BC$,$DE⊥ AB$,$\therefore CD=DE$.在$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ BED$中,$\begin{cases} BD=BD,\\ CD=ED, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BCD≌\mathrm{Rt}△ BED\ (\mathrm{HL})$,$\therefore BC=BE=6$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+6^2=10^2$,$\therefore AB=10$,$\therefore AE=AB-BE=10-6=4$.设$CD=DE=x$,则$AD=AC-CD=8-x$,在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AE^2+DE^2=AD^2$,$\therefore 4^2+x^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,$\therefore AD=8-x=5.$

6. (西宁中考)如图,已知正方形$ABCD$的边长为3,$E,F$分别是$AB,BC$边上的点,且$∠ EDF=$$45^{ \circ }$,将$△ DAE$绕点$D$逆时针旋转$90^{ \circ }$,得到$△ DCM$.若$AE=1$,则$FM$的长为.

6. $\dfrac{5}{2}$ 解析:$\because △ DAE$绕点$D$逆时针旋转$90°$得到$△ DCM$,$\therefore ∠ FCM=∠ FCD+∠ DCM=180°$,$CM=AE=1$,$DE=DM$,$∠ EDM=90°$,$\therefore F,C,M$三点共线,$∠ EDF+∠ FDM=90°$.$\because ∠ EDF=45°$,$\therefore ∠ FDM=∠ EDF=45°$.在$△ DEF$和$△ DMF$中,$\begin{cases} DE=DM,\\ ∠ EDF=∠ MDF,\\ DF=DF, \end{cases}$$\therefore △ DEF≌△ DMF(\mathrm{SAS})$,$\therefore EF=MF$.设$EF=MF=x$,$\because AE=CM=1$,且$BC=3$,$\therefore BM=BC+CM=3+1=4$,$\therefore BF=BM-MF=BM-EF=4-x$.又$EB=AB-AE=3-1=2$,在$\mathrm{Rt}△ EBF$中,由勾股定理得$EB^2+BF^2=EF^2$,即$2^2+(4-x)^2=x^2$,解得$x=\dfrac{5}{2}$,$\therefore FM=\dfrac{5}{2}.$

7. 如图,铁路上 A,B 两点相距 40 km,C,D 为两个村庄,$DA ⊥ AB,CB ⊥ AB$,垂足分别为 A 和B,$DA=24\ \mathrm{km}$,$CB=16\ \mathrm{km}$.现在要在铁路旁修建一个煤栈 E,使得 C,D 两村到煤栈的距离相等,那么煤栈 E 应距 A点 （）


A.20 km
B.16 km
C.12 km
D.无法确定

7. B 解析:设$AE=x\ \mathrm{km}$,则$BE=(40-x)\ \mathrm{km}$,$\because DA⊥ AB$,$CB⊥ AB$,$C,D$两村到煤栈的距离相等,$\therefore AD^2+AE^2=DE^2$,$BE^2+BC^2=CE^2$,$\therefore AD^2+AE^2=BE^2+BC^2$,$\therefore 24^2+x^2=(40-x)^2+16^2$,解得$x=16$,则煤栈$E$应距$A$点$16\ \mathrm{km}$.故选B.

8. (2025·兰州期中)如图,四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片,将其沿 MN 折叠,使点 B落在 CD 边上的 $B'$处,点 A 的对应点为 $A'$,且$B'C=3$,则 AM 的长是.

8. 2 解析:设$AM=x$,连接$BM$,$MB'$,在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,$AB^2+AM^2=BM^2$,在$\mathrm{Rt}△ MDB'$中,$B'M^2=MD^2+DB'^2$.$\because MB=MB'$,$\therefore AB^2+AM^2=BM^2=B'M^2=MD^2+DB'^2$,即$9^2+x^2=(9-x)^2+(9-3)^2$,解得$x=2$,即$AM=2.$