登录
1. (教材例题变式)如果三角形底边是$a$,底边上的高是$h$,那么三角形的面积$S=\dfrac{1}{2}ah$.下列说法错误的是（
A.当$a$为定长时,$S$是$h$的一次函数
B.当$h$为定长时,$S$是$a$的一次函数
C.当$S$确定时,$a$是$h$的一次函数
D.当$S$确定时,$h$是$a$的反比例函数
C
）A.当$a$为定长时,$S$是$h$的一次函数
B.当$h$为定长时,$S$是$a$的一次函数
C.当$S$确定时,$a$是$h$的一次函数
D.当$S$确定时,$h$是$a$的反比例函数
答案
1. C 解析:当 S 确定时,a 是 h 的反比例函数,故 C 选项说法错误。
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确一次函数和反比例函数的定义：一次函数的形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$b$为常数），反比例函数的形式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$k$为常数）。再结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，逐个分析选项中变量间的函数关系，判断是否符合对应函数的定义，从而找出错误选项。
【解析】
解：根据一次函数和反比例函数的定义，结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$分析各选项：
1. 选项A：当$a$为定长时，$\frac{1}{2}a$是不为0的常数，此时$S=(\frac{1}{2}a)h$，符合一次函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，故$S$是$h$的一次函数，A说法正确；
2. 选项B：当$h$为定长时，$\frac{1}{2}h$是不为0的常数，此时$S=(\frac{1}{2}h)a$，符合一次函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，故$S$是$a$的一次函数，B说法正确；
3. 选项C：当$S$确定时，将公式变形为$a=\frac{2S}{h}$，$2S$是不为0的常数，此时$a$与$h$的乘积为定值，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的形式，故$a$是$h$的反比例函数，不是一次函数，C说法错误；
4. 选项D：当$S$确定时，将公式变形为$h=\frac{2S}{a}$，$2S$是不为0的常数，此时$h$与$a$的乘积为定值，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的形式，故$h$是$a$的反比例函数，D说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
一次函数、反比例函数、三角形面积公式
【点评】
本题考查一次函数与反比例函数的定义应用，核心是根据面积公式转化变量关系，准确判断函数类型，属于基础题型，需牢记各类函数的形式，避免混淆变量间的比例关系。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先明确一次函数和反比例函数的定义：一次函数的形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$b$为常数），反比例函数的形式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$k$为常数）。再结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，逐个分析选项中变量间的函数关系，判断是否符合对应函数的定义，从而找出错误选项。
【解析】
解：根据一次函数和反比例函数的定义，结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$分析各选项：
1. 选项A：当$a$为定长时，$\frac{1}{2}a$是不为0的常数，此时$S=(\frac{1}{2}a)h$，符合一次函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，故$S$是$h$的一次函数，A说法正确；
2. 选项B：当$h$为定长时，$\frac{1}{2}h$是不为0的常数，此时$S=(\frac{1}{2}h)a$，符合一次函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，故$S$是$a$的一次函数，B说法正确；
3. 选项C：当$S$确定时，将公式变形为$a=\frac{2S}{h}$，$2S$是不为0的常数，此时$a$与$h$的乘积为定值，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的形式，故$a$是$h$的反比例函数，不是一次函数，C说法错误；
4. 选项D：当$S$确定时，将公式变形为$h=\frac{2S}{a}$，$2S$是不为0的常数，此时$h$与$a$的乘积为定值，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的形式，故$h$是$a$的反比例函数，D说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
一次函数、反比例函数、三角形面积公式
【点评】
本题考查一次函数与反比例函数的定义应用，核心是根据面积公式转化变量关系，准确判断函数类型，属于基础题型，需牢记各类函数的形式，避免混淆变量间的比例关系。
【难度系数】
0.7
2. 下列函数中,变量$y$是$x$的反比例函数的是（
A.$y=\dfrac{x}{3}$
B.$y=\dfrac{3}{x+1}$
C.$y=\dfrac{3}{x}$
D.$y=3x$
C
）A.$y=\dfrac{x}{3}$
B.$y=\dfrac{3}{x+1}$
C.$y=\dfrac{3}{x}$
D.$y=3x$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断变量$y$是否是$x$的反比例函数，需先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，核心特征是表达式中分母为单个自变量$x$，分子为非零常数。接下来逐一分析选项，对比定义即可得出结论。
【解析】
根据反比例函数的定义，逐一分析各选项：
选项A：$y=\frac{x}{3}$可变形为$y=\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
选项B：$y=\frac{3}{x+1}$的分母是$x+1$，不是单个自变量$x$，不符合反比例函数的定义；
选项C：$y=\frac{3}{x}$，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k=3≠0$）的形式，是反比例函数；
选项D：$y=3x$符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义、正比例函数的识别
【点评】
本题考查反比例函数的基础定义，属于概念类基础题，只需牢记反比例函数的标准形式即可快速判断，是学生必须掌握的核心基础知识点。
【难度系数】
0.8
要判断变量$y$是否是$x$的反比例函数，需先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，核心特征是表达式中分母为单个自变量$x$，分子为非零常数。接下来逐一分析选项，对比定义即可得出结论。
【解析】
根据反比例函数的定义，逐一分析各选项：
选项A：$y=\frac{x}{3}$可变形为$y=\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
选项B：$y=\frac{3}{x+1}$的分母是$x+1$，不是单个自变量$x$，不符合反比例函数的定义；
选项C：$y=\frac{3}{x}$，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k=3≠0$）的形式，是反比例函数；
选项D：$y=3x$符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义、正比例函数的识别
【点评】
本题考查反比例函数的基础定义，属于概念类基础题，只需牢记反比例函数的标准形式即可快速判断，是学生必须掌握的核心基础知识点。
【难度系数】
0.8
3. 反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的比例系数是
-3
.答案
3. -3
解析
【分析】首先明确反比例函数的定义，反比例函数的标准形式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），其中$ k $是比例系数。解题时只需将给定的函数与标准形式对比，找出对应的$ k $值即可。
【解析】反比例函数的标准形式是$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $），这里的$ k $为比例系数。题目中的函数为$ y=-\frac{3}{x} $，对比标准形式可得$ k=-3 $，因此该反比例函数的比例系数是-3。
【答案】-3
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数的基础概念，属于简单题型，只要牢记反比例函数的标准形式及比例系数的定义就能正确解答。
【难度系数】0.9
【解析】反比例函数的标准形式是$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $），这里的$ k $为比例系数。题目中的函数为$ y=-\frac{3}{x} $，对比标准形式可得$ k=-3 $，因此该反比例函数的比例系数是-3。
【答案】-3
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数的基础概念，属于简单题型，只要牢记反比例函数的标准形式及比例系数的定义就能正确解答。
【难度系数】0.9
4. 若函数$y=(m+1)x^{2m-4}$是$y$关于$x$的反比例函数，则$m=$
$\dfrac{3}{2}$
.答案
4. $\dfrac{3}{2}$ 解析:
∵函数 $y=(m+1)x^{2m-4}$ 是 y 关于 x 的反比例函数,
∴$m+1≠0,2m-4=-1$,
∴$m=\dfrac{3}{2}$.
∵函数 $y=(m+1)x^{2m-4}$ 是 y 关于 x 的反比例函数,
∴$m+1≠0,2m-4=-1$,
∴$m=\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，可转化为$y=kx^{-1}$的形式。对于给定的函数$y=(m+1)x^{2m-4}$，需满足两个条件：一是$x$的指数为$-1$，二是系数不为$0$，据此列出方程和不等式求解即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，函数$y=(m+1)x^{2m-4}$为反比例函数，需满足：
1. 系数不为$0$：$m+1≠0$；
2. $x$的指数为$-1$：$2m - 4 = -1$。
先解指数方程：
$2m - 4 = -1$
移项得：$2m = 3$
解得：$m = \frac{3}{2}$
再验证系数：当$m=\frac{3}{2}$时，$m+1=\frac{5}{2}≠0$，满足条件。
综上，$m=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的定义，解题关键是牢记反比例函数的表达式形式，注意系数不能为$0$，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，可转化为$y=kx^{-1}$的形式。对于给定的函数$y=(m+1)x^{2m-4}$，需满足两个条件：一是$x$的指数为$-1$，二是系数不为$0$，据此列出方程和不等式求解即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，函数$y=(m+1)x^{2m-4}$为反比例函数，需满足：
1. 系数不为$0$：$m+1≠0$；
2. $x$的指数为$-1$：$2m - 4 = -1$。
先解指数方程：
$2m - 4 = -1$
移项得：$2m = 3$
解得：$m = \frac{3}{2}$
再验证系数：当$m=\frac{3}{2}$时，$m+1=\frac{5}{2}≠0$，满足条件。
综上，$m=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的定义，解题关键是牢记反比例函数的表达式形式，注意系数不能为$0$，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其函数类型.
(1)长为 100 m 的绳子剪下 a m 后，还剩下 b m.
(2)买单价为 10 元的笔记本 x 本，一共用了 y 元.
(3)矩形的面积为 $24\ \mathrm{cm^2}$，相邻两边的长分别是 $x\ \mathrm{cm}$、$y\ \mathrm{cm}$.
(4)家到学校的距离为 480 m，步行上学的平均速度为 $v\ \mathrm{m/min}$，所用时间为 $t\ \mathrm{min}$.
(1)长为 100 m 的绳子剪下 a m 后，还剩下 b m.
(2)买单价为 10 元的笔记本 x 本，一共用了 y 元.
(3)矩形的面积为 $24\ \mathrm{cm^2}$，相邻两边的长分别是 $x\ \mathrm{cm}$、$y\ \mathrm{cm}$.
(4)家到学校的距离为 480 m，步行上学的平均速度为 $v\ \mathrm{m/min}$，所用时间为 $t\ \mathrm{min}$.
答案
5. (1)$b=100-a$,是一次函数.
(2)$y=10x$,是正比例函数.
(3)$y=\dfrac{24}{x}$,是反比例函数.
(4)$t=\dfrac{480}{v}$,是反比例函数.
(2)$y=10x$,是正比例函数.
(3)$y=\dfrac{24}{x}$,是反比例函数.
(4)$t=\dfrac{480}{v}$,是反比例函数.
解析
【分析】
要解决本题，需先根据每个问题中的数量关系，找出两个变量的等量关系，整理得到函数表达式，再结合一次函数、正比例函数、反比例函数的定义判断函数类型：
1. 对于(1)，利用“剩余长度=总长度-剪下长度”的等量关系列表达式；
2. 对于(2)，利用“总价=单价×数量”的等量关系列表达式；
3. 对于(3)，利用“矩形面积=长×宽”的等量关系列表达式，再变形为函数形式；
4. 对于(4)，利用“路程=速度×时间”的等量关系列表达式，再变形为函数形式；
最后根据各类函数的定义判断所属类型。
【解析】
(1) 已知绳子总长为100m，剪下a m后剩余长度为b m，根据“剩余长度=总长度-剪下长度”，可得函数表达式：$b=100-a$；该式符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，其中$k=-1≠0$，因此是一次函数。
(2) 笔记本的总价y等于单价乘以数量，已知单价为10元，数量为x本，因此函数表达式：$y=10x$；该式符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，其中$k=10≠0$，因此是正比例函数。
(3) 矩形面积等于相邻两边长的乘积，已知面积为$24\ \mathrm{cm^2}$，两边长为x cm、y cm，因此有$x· y=24$，变形得函数表达式：$y=\dfrac{24}{x}$；该式符合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$）的形式，其中$k=24≠0$，因此是反比例函数。
(4) 路程等于速度乘以时间，已知家到学校的距离为480m，速度为$v\ \mathrm{m/min}$，时间为$t\ \mathrm{min}$，因此有$v· t=480$，变形得函数表达式：$t=\dfrac{480}{v}$；该式符合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$）的形式，其中$k=480≠0$，因此是反比例函数。
【答案】
(1)$b=100-a$，是一次函数；(2)$y=10x$，是正比例函数；(3)$y=\dfrac{24}{x}$，是反比例函数；(4)$t=\dfrac{480}{v}$，是反比例函数。
【知识点】
一次函数、正比例函数、反比例函数
【点评】
本题为基础应用题，主要考查根据实际问题列函数表达式及判断函数类型，核心是理清实际问题中的数量关系，掌握各类函数的定义，难度较低，适合巩固函数的基础概念。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先根据每个问题中的数量关系，找出两个变量的等量关系，整理得到函数表达式，再结合一次函数、正比例函数、反比例函数的定义判断函数类型：
1. 对于(1)，利用“剩余长度=总长度-剪下长度”的等量关系列表达式；
2. 对于(2)，利用“总价=单价×数量”的等量关系列表达式；
3. 对于(3)，利用“矩形面积=长×宽”的等量关系列表达式，再变形为函数形式；
4. 对于(4)，利用“路程=速度×时间”的等量关系列表达式，再变形为函数形式；
最后根据各类函数的定义判断所属类型。
【解析】
(1) 已知绳子总长为100m，剪下a m后剩余长度为b m，根据“剩余长度=总长度-剪下长度”，可得函数表达式：$b=100-a$；该式符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，其中$k=-1≠0$，因此是一次函数。
(2) 笔记本的总价y等于单价乘以数量，已知单价为10元，数量为x本，因此函数表达式：$y=10x$；该式符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，其中$k=10≠0$，因此是正比例函数。
(3) 矩形面积等于相邻两边长的乘积，已知面积为$24\ \mathrm{cm^2}$，两边长为x cm、y cm，因此有$x· y=24$，变形得函数表达式：$y=\dfrac{24}{x}$；该式符合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$）的形式，其中$k=24≠0$，因此是反比例函数。
(4) 路程等于速度乘以时间，已知家到学校的距离为480m，速度为$v\ \mathrm{m/min}$，时间为$t\ \mathrm{min}$，因此有$v· t=480$，变形得函数表达式：$t=\dfrac{480}{v}$；该式符合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$）的形式，其中$k=480≠0$，因此是反比例函数。
【答案】
(1)$b=100-a$，是一次函数；(2)$y=10x$，是正比例函数；(3)$y=\dfrac{24}{x}$，是反比例函数；(4)$t=\dfrac{480}{v}$，是反比例函数。
【知识点】
一次函数、正比例函数、反比例函数
【点评】
本题为基础应用题，主要考查根据实际问题列函数表达式及判断函数类型，核心是理清实际问题中的数量关系，掌握各类函数的定义，难度较低，适合巩固函数的基础概念。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $y$ 与 $x+1$ 成反比例,且当 $x=-2$ 时,$y=-3$.
(1)求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式.
(2)当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时,求 $y$ 的值.
(1)求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式.
(2)当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时,求 $y$ 的值.
答案
6. (1)设 y 与 x 的函数表达式为 $y=\dfrac{k}{x+1}$. 把 $x=-2、y=-3$ 代入,得 $\dfrac{k}{-2+1}=-3$,解得 $k=3$,
∴y 与 x 的函数表达式为 $y=\dfrac{3}{x+1}$.
(2)当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时,$y=\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}+1}=2$.
∴y 与 x 的函数表达式为 $y=\dfrac{3}{x+1}$.
(2)当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时,$y=\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}+1}=2$.
解析
【分析】
本题是反比例函数的基础应用题，解题思路：（1）根据“y与x+1成反比例”，先设出反比例函数的一般形式，再利用待定系数法，将已知的x、y值代入表达式求出比例系数k，进而得到y与x的函数表达式；（2）将给定的x值代入已求得的函数表达式，计算对应的y值即可。
【解析】
（1）因为y与x+1成反比例，所以设y与x的函数表达式为$ y=\dfrac{k}{x+1} $（k≠0）。把$ x=-2 $，$ y=-3 $代入表达式，得$ \dfrac{k}{-2+1}=-3 $，解得$ k=3 $，因此y与x的函数表达式为$ y=\dfrac{3}{x+1} $。
（2）当$ x=\dfrac{1}{2} $时，将其代入$ y=\dfrac{3}{x+1} $，得$ y=\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}+1}=2 $。
【答案】
(1)$ y=\dfrac{3}{x+1} $；(2)$ y=2 $
【知识点】
反比例函数表达式、待定系数法求函数解析式
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求反比例函数解析式，以及函数值的代入计算，属于基础题型，适合巩固反比例函数的基本知识点。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数的基础应用题，解题思路：（1）根据“y与x+1成反比例”，先设出反比例函数的一般形式，再利用待定系数法，将已知的x、y值代入表达式求出比例系数k，进而得到y与x的函数表达式；（2）将给定的x值代入已求得的函数表达式，计算对应的y值即可。
【解析】
（1）因为y与x+1成反比例，所以设y与x的函数表达式为$ y=\dfrac{k}{x+1} $（k≠0）。把$ x=-2 $，$ y=-3 $代入表达式，得$ \dfrac{k}{-2+1}=-3 $，解得$ k=3 $，因此y与x的函数表达式为$ y=\dfrac{3}{x+1} $。
（2）当$ x=\dfrac{1}{2} $时，将其代入$ y=\dfrac{3}{x+1} $，得$ y=\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}+1}=2 $。
【答案】
(1)$ y=\dfrac{3}{x+1} $；(2)$ y=2 $
【知识点】
反比例函数表达式、待定系数法求函数解析式
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求反比例函数解析式，以及函数值的代入计算，属于基础题型，适合巩固反比例函数的基本知识点。
【难度系数】
0.6
