【生活情境】各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交叉点)上的多边形被称为格点多边形.奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式,即格点多边形内的格点数为$ a $,边界上的格点数为$ b $,格点多边形的面积为$ S $,则$ S=ma+nb-1 $(其中$ m,n $为常数).那么$ m,n $是多少呢?下面我们来进行探究.
【问题提出】观察发现,图中四个图形内的格点数$ a $均为4,但各多边形边界上的格点数$ b $和面积是不同的,请完成下表内容的填写并探究$ m,n $的值.


【问题分析】代入$ a,b $,解关于$ m,n $的二元一次方程组,从而求得$ m,n $的值.
【问题解决】
【问题反思】数学学习中,方法迁移很重要,我们要结合已学方法和知识来解决新问题,透彻理解新概念和新知识.
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解方程组$\begin{cases}6=4m+6n-1,\\7=4m+8n-1,\end{cases}$得$\begin{cases}m=1,\\n=\dfrac{1}{2},\end{cases}$$\therefore S=a+\dfrac{1}{2}b-1.$

【分析】
题目已给出格点多边形面积公式的形式为$S=ma+nb-1$，且已知所有参考图形的内部格点数$a$均为4。解题时首先选取两个不同的格点多边形，分别计算其面积$S$、数出边界上的格点数$b$，将两组$a、b、S$的值代入公式，即可得到两个关于$m、n$的二元一次方程，联立为方程组后求解就能得到$m、n$的取值。
【解析】
选取两个格点多边形，可得第一个多边形边界格点数$b=6$，面积$S=6$；第二个多边形边界格点数$b=8$，面积$S=7$，两个多边形内部格点数$a$均为4。
将两组数值分别代入公式$S=ma+nb-1$，得到方程组：
$\begin{cases}6=4m+6n-1\\7=4m+8n-1\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}4m+6n=7&①\\4m+8n=8&②\end{cases}$
用②式减去①式消去$m$，得$2n=1$，解得$n=\frac{1}{2}$。
将$n=\frac{1}{2}$代入①式，得$4m+6×\frac{1}{2}=7$，计算得$4m=4$，解得$m=1$。
【答案】
$\begin{cases}m=1\\n=\dfrac{1}{2}\end{cases}$，格点多边形面积公式为$S=a+\dfrac{1}{2}b-1$
【知识点】
1. 二元一次方程组的求解
2. 格点多边形面积计算
【点评】
本题以皮克公式的探究为背景，考查二元一次方程组的实际应用，解题核心是准确提取图形中的数值代入公式建立方程组，既锻炼了学生的信息提取能力，也巩固了方程思想的应用，同时渗透了从特殊到一般的数学探究方法。
【难度系数】
0.7