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7 如图，直线$y=-x+m$与双曲线$y=-\dfrac{6}{x}$交于A，B两点，$BC// x$轴，$AC// y$轴与BC交于点C，则$△ ABC$的面积的最小值是
$12$
。答案
12
解析：设$A(a,-a+m),B(b,-b+m)$。因为$BC// x$轴，$AC// y$轴，所以$BC=b-a,AC=-a+m-(-b+m)=b-a$。所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}(b-a)^2=\frac{1}{2}(a+b)^2-2ab$。因为直线$y=-x+m$与双曲线$y=-\frac{6}{x}$交于A，B两点，所以$a,b$为方程$-x+m=-\frac{6}{x}$的解。因为$x≠0$，所以方程变形为$x^2-mx-6=0$。所以$a+b=m,ab=-6$。所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}m^2+12$。因为$m^2≥0$，所以$S_{△ABC}$的最小值为12。
解析：设$A(a,-a+m),B(b,-b+m)$。因为$BC// x$轴，$AC// y$轴，所以$BC=b-a,AC=-a+m-(-b+m)=b-a$。所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}(b-a)^2=\frac{1}{2}(a+b)^2-2ab$。因为直线$y=-x+m$与双曲线$y=-\frac{6}{x}$交于A，B两点，所以$a,b$为方程$-x+m=-\frac{6}{x}$的解。因为$x≠0$，所以方程变形为$x^2-mx-6=0$。所以$a+b=m,ab=-6$。所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}m^2+12$。因为$m^2≥0$，所以$S_{△ABC}$的最小值为12。
8 如图,直线$y=\frac{2}{3}x$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$交于A,B两点,点A的横坐标为3.
(1) 求k的值;
(2) 若双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上有一点C,点C的纵坐标为6,求$△ AOC$的面积.
(1) 求k的值;
(2) 若双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上有一点C,点C的纵坐标为6,求$△ AOC$的面积.
答案
（1）因为直线$y=\frac{2}{3}x$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$交于A，B两点，点A的横坐标为3，所以点A的纵坐标为$y=\frac{2}{3}×3=2$。所以$A(3,2)$。又因为点A在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上，所以$k=3×2=6$
（2）过点C作$CD⊥x$轴于点D，过点A作$AE⊥x$轴于点E。因为点C的纵坐标为6，所以把$y=6$代入$y=\frac{6}{x}$，得$x=1$。所以$C(1,6)$。因为点A，C在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，所以$S_{△OCD}=S_{△AOE}$。所以$S_{△AOC}=S_{△OCD}+S_{梯形AEDC}-S_{△AOE}=S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}×(2+6)×(3-1)=8$
（2）过点C作$CD⊥x$轴于点D，过点A作$AE⊥x$轴于点E。因为点C的纵坐标为6，所以把$y=6$代入$y=\frac{6}{x}$，得$x=1$。所以$C(1,6)$。因为点A，C在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，所以$S_{△OCD}=S_{△AOE}$。所以$S_{△AOC}=S_{△OCD}+S_{梯形AEDC}-S_{△AOE}=S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}×(2+6)×(3-1)=8$
9 如图，直线$y=-\dfrac{1}{3}x+m$与x轴、y轴分别交于B，A两点，与双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$相交于C，D两点，过点C作$CE⊥x$轴于点E.已知$OB=3,OE=1.$
(1) 求直线AB和双曲线对应的函数表达式；
(2) 设F是x轴上一点，使得$S_{△ CEF}=2S_{△ COB}$，求点F的坐标.
(1) 求直线AB和双曲线对应的函数表达式；
(2) 设F是x轴上一点，使得$S_{△ CEF}=2S_{△ COB}$，求点F的坐标.
答案
（1）因为$OB=3,OE=1$，所以$B(3,0)$，点C的横坐标为$-1$。因为直线$y=-\frac{1}{3}x+m$经过点B，所以$0=-\frac{1}{3}×3+m$，解得$m=1$。所以直线AB对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x+1$。把$x=-1$代入$y=-\frac{1}{3}x+1$，得$y=-\frac{1}{3}×(-1)+1=\frac{4}{3}$，所以$C(-1,\frac{4}{3})$。因为点C在双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$上，所以$k=-1×\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}$。所以双曲线对应的函数表达式为$y=-\frac{4}{3x}$
（2）因为$OB=3,CE=\frac{4}{3}$，所以$S_{△COB}=\frac{1}{2}×3×\frac{4}{3}=2$。因为$S_{△CEF}=2S_{△COB}=4$，所以$S_{△CEF}=\frac{1}{2}EF×\frac{4}{3}=4$。所以$EF=6$。因为$E(-1,0)$，所以点F的坐标为$(-7,0)$或$(5,0)$
（2）因为$OB=3,CE=\frac{4}{3}$，所以$S_{△COB}=\frac{1}{2}×3×\frac{4}{3}=2$。因为$S_{△CEF}=2S_{△COB}=4$，所以$S_{△CEF}=\frac{1}{2}EF×\frac{4}{3}=4$。所以$EF=6$。因为$E(-1,0)$，所以点F的坐标为$(-7,0)$或$(5,0)$
10 如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限的图象经过顶点A(m，m＋3)和CD上的点E，且$OB - CE = 1$，过点E的直线交x轴于点F，交y轴于点G(0，－3)，求线段OF的长。
答案
因为$A(m,m+3)$，四边形ABCD是正方形，所以$OB=m$，$AB=BC=m+3$。所以$OC=m+m+3=2m+3$。因为$OB-CE=1$，所以$CE=m-1$。所以$E(2m+3,m-1)$。因为点A，E在反比例函数的图象上，所以$m(m+3)=(2m+3)(m-1)$，解得$m_1=3,m_2=-1$（舍去）。所以$E(9,2)$。设直线GE对应的函数表达式为$y=ax+b$，把$G(0,-3),E(9,2)$代入，则$\begin{cases}b=-3,\\9a+b=2,\end{cases}$所以$\begin{cases}b=-3,\\a=\frac{5}{9}.\end{cases}$所以$y=\frac{5}{9}x-3$。当$y=0$时，$0=\frac{5}{9}x-3$，解得$x=5.4$，所以$OF$的长为5.4
