新趋势 项目式学习 (2025·深圳校级月考)根据以下素材回答问题:
背景:我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤(如图①),其也是中华民族衡重的基本量具之一.
素材1:【杠杆平衡条件】
图②为杆秤称重的示意图,使用时将货物放在秤盘上,用手提起B(相当于支点)处的秤纽,在秤杆上移动秤砣的位置,当秤杆水平平衡时,可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量.其中秤盘质量$m_{0}$克,重物质量$m$克,秤砣质量$M$克,秤纽与秤盘的水平距离$AB为l$厘米,秤纽与零刻线的水平距离$BC为a$厘米,秤砣与零刻线的水平距离$CD为y$厘米,根据杠杆平衡条件可得:$(m_{0}+m)\cdot l= M\cdot (a+y)$.

素材2:【设计杆秤】
老李师傅制作了一个杆秤,他设定$m_{0}= 10$克,$M= 50$克,最大可称重物质量为1000克,零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
素材3:【确定$l和a$的值】
①如图③,当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡;
②如图④,当秤盘放入质量为1000克的重物,秤砣从零刻线移至末刻线时,杆秤平衡.

根据以上的素材,解决下面问题:
(1)求出$l和a$的值.
(2)①$y关于m$的函数表达式为______;
②从零刻线开始,每隔100克在秤杆上找到对应刻线,请写出相邻刻线间的距离是______厘米.
(3)老李师傅的徒弟小周在学习了师傅的作法后,小周自己也另外做了一把杆秤,他称量重40克货物$M$时,秤砣在$H$处秤杆平衡(如图⑤);称量重60克货物$N$时,秤砣在$G$处秤杆平衡(如图⑥).根据图中所给数据,求这把杆秤的最大可称重物质量是多少克.

(1) 由题意得，当 $ m = 0 $ 时， $ 10l = 50a $， $ \therefore l = 5a $。
当 $ m = 1000 $， $ y = 50 $ 时， $ (10 + 1000)l = 50(a + 50) $， $ \therefore 101l - 5a = 250 $，
$ \therefore \left\{ \begin{array} { l } { l = 5 a }, \\ { 101 l - 5 a = 250 }, \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { l = 2.5 }, \\ { a = 0.5 }. \end{array} \right. $
(2) ① $ y = \frac { 1 } { 20 } m $ 解析：由 (1) 知 $ l = 2.5 $， $ a = 0.5 $， $ \therefore 2.5 ( 10 + m ) = 50 ( 0.5 + y ) $， $ \therefore y = \frac { 1 } { 20 } m $。
② 5 解析： $ \because y = \frac { 1 } { 20 } m $， $ \therefore $ 当 $ m = 100 $ 时， $ y = \frac { 1 } { 20 } \times 100 = 5 $， $ \therefore $ 相邻刻线间的距离是 5 厘米。
(3) 由图可知， $ \left\{ \begin{array} { l } { 2.5 ( m _ { 0 } + 40 ) = 11 M }, \\ { 2.5 ( m _ { 0 } + 60 ) = 16 M }, \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { m _ { 0 } = 4 }, \\ { M = 10 }, \end{array} \right. $ $ \therefore 2.5 ( 4 + m ) = 10 ( a + y ) $，当 $ a + y = 26 $ 时， $ 2.5 ( 4 + m ) = 10 \times 26 $，解得 $ m = 100 $。
答：这把杆秤的最大可称重物质量是 100 克。