13. 拉杆箱是人们出行的常用品,采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图,一个某种拉杆箱箱体长 AB = 65 cm,拉杆最大伸长距离 BC = 35 cm,在箱体底端装有一圆形滚轮,当拉杆拉到最长时,滚轮的圆心在图中的 A 处,点 A 到地面的距离 AD = 3 cm,当拉杆全部缩进箱体时,滚轮圆心水平向右平移 55 cm 到 A'处,求拉杆把手 C 离地面的距离(假设 C 点的位置保持不变).

如图所示,过C作CE⊥DN于E,延长AA'交CE于F,则∠AFC=90°.设A'F=xcm,则AF=(55+x)cm.由题可得,AC=65+35=100(cm),A'C=65cm.在Rt△A'CF中,CF²=65²−x².在Rt△ACF中,CF²=100²−(55+x)²,∴65²−x²=100²−(55+x)²,解得x=25,∴A'F=25cm.由勾股定理得,CF²=A'C²−A'F²=60²,∴CF=60cm.又∵EF=AD=3cm,∴CE=60+3=63(cm),∴拉杆把手C离地面的距离为63cm.

14. (1)图①是一个圆柱,它的高为 40 cm,底面周长为 60 cm.如果一只蚂蚁从圆柱下底面的点 A 处沿圆柱的侧面爬到与点 A 相对的上底面的点 B 处,然后爬回点 A 处,那么蚂蚁爬行的最短路程为______cm；

(2)如图②,已知长方体的长 AC = 2 cm,宽 BC = 1 cm,高 AA' = 4 cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从 A 点爬到 B'点,那么需要爬行的最短距离为______cm.

(1)100　解析:把圆柱的侧面展开,展开图如图所示,易知AB=BA',BC=40cm,AC=$\frac{1}{2}$×60=30(cm),在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=50cm,∴蚂蚁爬行的最短路程为AB+BA'=2AB=100(cm).故填100.
(2)5　解析:根据题意，画出示意图如图所示，可能的路径有三种情况:①把正面、右面展开,得图①,AB'²=AB²+BB'²=(2+1)²+4²=25;②把正面、上面展开,得图②,AB'²=AC²+B'C²=2²+(4+1)²=4+25=29;③把左面、上面展开,得图③,AB'²=AD²+B'D²=1²+(4+2)²=1+36=37.∵25＜29＜37,故最短路径应为图①所示，且最短路程是5cm.


技法点拨
解这类题目时，一般采用“化曲为直”的方法，即首先将长方体按照不同的方式展开成平面图形,再利用勾股定理求出每种情况的最短距离进行比较，取其中最短即可得解.

15. (2025·镇江校级月考)如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,AC = 13,BA = 5,点 P 从点 C 出发,以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 C—A—B 运动.设点 P 的运动时间为 t(t ＞ 0).
(1)BC = ______.
(2)求斜边 AC 上的高线长.
(3)①当 P 在 AB 上时,AP 的长为______,t 的取值范围是______.(用含 t 的代数式表示)
②若点 P 在∠BCA 的平分线上,则 t 的值为______.
(4)在整个运动过程中,直接写出△PAB 是以 AB 为一腰的等腰三角形时 t 的值.

(1)12
(2)过点B作BD⊥AC于点D,∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·BC=$\frac{1}{2}$AC·BD,即BD=$\frac{AB·BC}{AC}$=$\frac{5×12}{13}$=$\frac{60}{13}$,∴斜边AC上的高线长为$\frac{60}{13}$.
(3)①3t−13　$\frac{13}{3}$≤t≤6
②$\frac{26}{5}$　解析:点P在∠BCA的平分线上时,过点P作PE⊥AC于E,如图①所示,∵CP平分∠BCA,∠B=90°,PE⊥AC,∴PB=PE.又∵PC=PC,∴Rt△BCP≌Rt△ECP(HL),∴EC=BC=12,则AE=AC−CE=13−12=1.由(2)知AP=3t−13,∴BP=AB−AP=5−(3t−13)=18−3t,∴PE=18−3t.在Rt△AEP中,AP²=AE²+EP²,即(3t−13)²=1²+(18−3t)²,解方程得t=$\frac{26}{5}$,∴点P在∠BCA的平分线上时,t=$\frac{26}{5}$.

(4)t的值为$\frac{8}{3}$或$\frac{119}{39}$.　解析:△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时,有两种情况:当AB=AP=5时,如图②所示,则CP=AC−AP=13−5=8,∴t=$\frac{CP}{3}$=$\frac{8}{3}$;当AB=BP=5时,过点B作BD⊥AC于点D,如图③所示,由(2)知BD=$\frac{60}{13}$,∴AD²=AB²−BD²=5²−($\frac{60}{13}$)²=($\frac{25}{13}$)²,∴AD=$\frac{25}{13}$.∵AB=BP,BD⊥AC,∴AP=2AD=$\frac{50}{13}$,∴CP=AC−AP=13−$\frac{50}{13}$=$\frac{119}{13}$,∴t=$\frac{CP}{3}$=$\frac{119}{39}$.故△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时,t的值为$\frac{8}{3}$或$\frac{119}{39}$.