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4.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点E在AB上,EF//AD,连接DE.
(1)求证:∠BEF= ∠CAD;
证明：∵EF// AD，
∴∠BEF=∠BAD。
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠BEF=∠CAD。
(2)若DE//AC,求证:EF平分∠BED.
证明：由(1)，知∠BEF=1/2∠BAC。
∵DE// AC，
∴∠BED=∠BAC，
∴∠BEF=1/2∠BED，
∴EF平分∠BED。
(1)求证:∠BEF= ∠CAD;
证明：∵EF// AD，
∴∠BEF=∠BAD。
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠BEF=∠CAD。
(2)若DE//AC,求证:EF平分∠BED.
证明：由(1)，知∠BEF=1/2∠BAC。
∵DE// AC，
∴∠BED=∠BAC，
∴∠BEF=1/2∠BED，
∴EF平分∠BED。
答案
证明：(1)$\because EF// AD$，
$\therefore ∠BEF=∠BAD$。
$\because$AD平分$∠BAC$，
$\therefore ∠CAD=∠BAD$，
$\therefore ∠BEF=∠CAD$。
(2)由(1)，知$∠BEF=\frac {1}{2}∠BAC$。
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠BED=∠BAC$，
$\therefore ∠BEF=\frac {1}{2}∠BED$，
$\therefore$EF平分$∠BED$。
$\therefore ∠BEF=∠BAD$。
$\because$AD平分$∠BAC$，
$\therefore ∠CAD=∠BAD$，
$\therefore ∠BEF=∠CAD$。
(2)由(1)，知$∠BEF=\frac {1}{2}∠BAC$。
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠BED=∠BAC$，
$\therefore ∠BEF=\frac {1}{2}∠BED$，
$\therefore$EF平分$∠BED$。
5.(江苏苏州期中)如图,CM是△ABC的中线,BC= 8 cm.若△BCM的周长比△ACM的周长多3 cm,则AC的长为 (
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
5cm
)A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
C [解析]$\because$CM是$△ABC$的边AB上的中线，
$\therefore AM=BM$。
$\because △BCM$的周长比$△ACM$的周长多3cm，
$\therefore BC+BM+CM-(AC+AM+CM)=3cm$，
$\therefore BC-AC=3cm$。
$\because BC=8cm$，
$\therefore AC=5cm$。
$\therefore AM=BM$。
$\because △BCM$的周长比$△ACM$的周长多3cm，
$\therefore BC+BM+CM-(AC+AM+CM)=3cm$，
$\therefore BC-AC=3cm$。
$\because BC=8cm$，
$\therefore AC=5cm$。
6.(江苏徐州中考)如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB= AC,∠A= 50°,折叠该纸片,使点A落在点B处,折痕为DE,则∠CBE= ______°.
15
答案
15 [解析]$\because AB=AC,∠A=50^{\circ }$，
$\therefore ∠ACB=∠ABC=\frac {1}{2}×(180^{\circ }-50^{\circ })=65^{\circ }$。
由折叠的性质可知，$∠ABE=∠A=50^{\circ }$，
$\therefore ∠CBE=∠ABC-∠ABE=65^{\circ }-50^{\circ }=15^{\circ }$。
$\therefore ∠ACB=∠ABC=\frac {1}{2}×(180^{\circ }-50^{\circ })=65^{\circ }$。
由折叠的性质可知，$∠ABE=∠A=50^{\circ }$，
$\therefore ∠CBE=∠ABC-∠ABE=65^{\circ }-50^{\circ }=15^{\circ }$。
7.练思维·推理能力 如图所示,在△ABC中,已知D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且$S_{△ABC}= 8 cm^2,则S_{阴影}= $
2
$cm^2.$答案
2 [解析]$\because$E是AD的中点，
$\therefore S_{△BDE}=\frac {1}{2}S_{△ABD},S_{△CDE}=\frac {1}{2}S_{△ACD}$，
$\therefore S_{△BCE}=S_{△BDE}+S_{△CDE}=\frac {1}{2}(S_{△ABD}+S_{△ACD})=\frac {1}{2}S_{△ABC}=\frac {1}{2}×8=4(cm^{2})$。
又$\because$F是CE的中点，
$\therefore S_{△BEF}=\frac {1}{2}S_{△BCE}=\frac {1}{2}×4=2(cm^{2})$。
$\therefore S_{△BDE}=\frac {1}{2}S_{△ABD},S_{△CDE}=\frac {1}{2}S_{△ACD}$，
$\therefore S_{△BCE}=S_{△BDE}+S_{△CDE}=\frac {1}{2}(S_{△ABD}+S_{△ACD})=\frac {1}{2}S_{△ABC}=\frac {1}{2}×8=4(cm^{2})$。
又$\because$F是CE的中点，
$\therefore S_{△BEF}=\frac {1}{2}S_{△BCE}=\frac {1}{2}×4=2(cm^{2})$。
8.(江苏徐州)已知某三角形的边长均为整数,且其中两边长分别为3和5,则第三边的长可以为______
4
(写出一个即可).答案
4（答案不唯一） [解析]设第三边的长为x，则有$5-3＜x＜5+3$，即$2＜x＜8$。
$\because$该三角形的边长均为整数，
$\therefore$第三边的长可以为3，4，5，6，7。
$\because$该三角形的边长均为整数，
$\therefore$第三边的长可以为3，4，5，6，7。
9.(江苏南京)如图,在直角三角形ABC中,∠ACB= 90°,CD是边AB上的高,AB= 10 cm,BC= 8 cm,AC= 6 cm.
(1)求△ABC的面积;
(2)求CD的长;
(3)若△ABC的边AC上的中线是BE,求△ABE的面积.
(1)△ABC的面积为
(2)CD的长为
(3)△ABE的面积为
(1)求△ABC的面积;
(2)求CD的长;
(3)若△ABC的边AC上的中线是BE,求△ABE的面积.
(1)△ABC的面积为
24cm²
。(2)CD的长为
4.8cm
。(3)△ABE的面积为
12cm²
。答案
解：(1)$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AC\cdot BC=\frac {1}{2}×6×8=24(cm^{2})$。
(2)$\because S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB\cdot CD$，
$\therefore \frac {1}{2}×10CD=24$，
解得$CD=4.8(cm)$。
(3)$S_{△ABE}=\frac {1}{2}S_{△ABC}=12cm^{2}$。
(2)$\because S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB\cdot CD$，
$\therefore \frac {1}{2}×10CD=24$，
解得$CD=4.8(cm)$。
(3)$S_{△ABE}=\frac {1}{2}S_{△ABC}=12cm^{2}$。
