3.下列函数中,与函数$y= x$是同一个函数的是 ()
A.$y= (\sqrt {x})^{2}$
B.$y= \sqrt {x^{2}}$
C.$y= \frac {x^{2}}{x}$
D.$y= (\sqrt [3]{x})^{3}$

D $y=(\sqrt {x})^{2}=x(x≥0),y=\sqrt {x^{2}}=|x|,y=\frac {x^{2}}{x}=$$x(x≠0),y=(\sqrt [3]{x})^{3}=x$.易知与函数$y=x$是同一个函数的是$y=(\sqrt [3]{x})^{3}.$

4.已知函数$y= f(x)的定义域是[-1,3]$,则函数$y= f(2x-1)$的定义域是 ()
A.$[0,2]$
B.$[-1,3]$
C.$[0,4]$
D.$[-\frac {5}{2},0]$

A 因为函数$y=f(x)$的定义域是$[-1,3]$,所以$-1≤$$2x-1≤3$,解得$0≤x≤2$,所以函数$y=f(2x-1)$的定义域是$[0,2].$

5.设集合$A= (-2,10],B= [5,13)$,则$\complement _{\mathbf{R}}(A\cap B)= $______.(用区间表示)

$(-∞,5)\cup (10,+∞)$因为集合$A=(-2,10],B=[5,$13),所以$A\cap B=[5,10]$,所以$\complement _{R}(A\cap B)=(-∞,5)\cup$$(10,+∞).$

6.(北京卷)函数$f(x)= \frac {1}{x}+\sqrt {1-x}$的定义域是______.

$(-∞,0)\cup (0,1]$因为$f(x)=\frac {1}{x}+\sqrt {1-x}$,所以$\left\{\begin{array}{l} 1-x≥0,\\ x≠0,\end{array}\right. $解得$x≤1$且$x≠0$,所以函数$f(x)$的定义域是$(-∞,0)\cup (0,1].$

7.(教材改编题)求下列函数的定义域:
(1)$y= \sqrt {x}+\sqrt {1-x}$;
(2)$y= \frac {1}{|x|-1}$.

解:(1)要使函数有意义,则$\left\{\begin{array}{l} x≥0,\\ 1-x≥0,\end{array}\right. $解得$0≤x≤1$,所以函数的定义域为$[0,1].$
(2)要使函数有意义,则$|x|-1≠0$,解得$x≠\pm 1$,所以函数的定义域为$(-∞,-1)\cup (-1,1)\cup (1,+∞).$

8.已知函数$f(x)= \frac {x^{2}-3x}{\sqrt {2x+1}},g(x)= \frac {\sqrt {2x+1}}{x-3}$,设$h(x)= f(x)\cdot g(x)$.若函数$H(x)= x$,试判断$y= H(x)和y= h(x)$是否是同一个函数,并说明理由.

解:$y=H(x)$和$y=h(x)$不是同一个函数.理由如下:
由题意,得函数$f(x)$的定义域为$(-\frac {1}{2},+∞),g(x)$的定义域为$[-\frac {1}{2},3)\cup (3,+∞),$$\therefore h(x)$的定义域为$f(x)$和$g(x)$的定义域的交集,即$(-\frac {1}{2},3)\cup (3,+∞).$$\because h(x)=f(x)\cdot g(x)=\frac {x^{2}-3x}{\sqrt {2x+1}}\cdot \frac {\sqrt {2x+1}}{x-3}=\frac {x(x-3)}{x-3}=x,$$\therefore h(x)=x,x∈(-\frac {1}{2},3)\cup (3,+∞).$
虽然函数$y=H(x)$和$y=h(x)$的解析式相同,但定义域不同,$H(x)$的定义域为 R,$h(x)$的定义域为$(-\frac {1}{2},3)\cup$$(3,+∞)$,所以$y=H(x)$和$y=h(x)$不是同一个函数.

9.若函数$f(x)= \sqrt {x-2}的定义域为A,B= \{ y|y= 2x^{2},x≠1\}$,则$A\cap B= $ ()
A.$(2,+∞)$
B.$[2,+∞)$
C.$[1,+∞)$
D.$(1,+∞)$

B 由题意,得$A=[2,+∞)$.因为$B=\{ y|y=2x^{2},x≠$$1\} =[0,+∞)$,所以$A\cap B=[2,+∞).$

10.下列各组函数中,是同一个函数的是______.(填序号)
①$f(x)= \frac {x^{2}-1}{x-1}与g(x)= x+1$;
②$f(x)= \sqrt {-2x^{3}}与g(x)= x\sqrt {-2x}$;
③$f(x)= (x-2)^{0}与g(x)= 1$;
④$f(t)= \frac {|t|}{t}与g(x)= \frac {\sqrt {x^{2}}}{x}$.

④ 对于①,$f(x)=\frac {x^{2}-1}{x-1}=x+1$的定义域是$\{ x|x≠$$1\} ,g(x)=x+1$的定义域是 R,定义域不同,故不是同一个函数;对于②,$f(x)=\sqrt {-2x^{3}}=-x\sqrt {-2x}$的定义域是$\{ x|x≤0\} ,g(x)=x\sqrt {-2x}$的定义域是$\{ x|x≤0\} $,对应关系不同,故不是同一个函数;对于③,$f(x)=(x-2)^{0}$$=1$的定义域是$\{ x|x≠2\} ,g(x)=1$的定义域是 R,定义域不同,故不是同一个函数;对于④,$f(t)=\frac {|t|}{t}$的定义域是$\{ t|t≠0\} ,g(x)=\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}=\frac {|x|}{x}$的定义域是$\{ x|x≠0\} $,定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数.

11.(一题多解)已知函数$f(x+1)的定义域为[1,5]$,则函数$f(x-1)$的定义域为______.
(提示:方法1:首先明确函数$f(x+1)和f(x-1)的定义域均指的是该函数中自变量x$的取值范围,然后根据$f(x+1)和f(x-1)$中代数式的取值范围相同进行求解;方法2:根据函数$f(x-1)可以看作是由函数f(x+1)$向右平移2个单位长度得到进行求解)

(一题多解)$[3,7]$方法1:由题意,得$1≤x≤5$,所以$2≤$$x+1≤6$,所以函数$f(x)$的定义域为$[2,6]$.令$2≤x-1≤$6,解得$3≤x≤7$,故函数$f(x-1)$的定义域为$[3,7].$
方法2:函数$f(x-1)$可以看作将函数$f(x+1)$向右平移2个单位长度之后得到的新函数,所以将$f(x+1)$的定义域向右平移2个单位长度可得到$f(x-1)$的定义域.由题意,得$f(x+1)$的定义域为$[1,5]$,所以$f(x-1)$的定义域为$[1+2,5+2]$,即$[3,7].$