18. 如图①所示，已知 $A$，$B$ 为直线 $l$ 上两点，点 $C$ 为直线 $l$ 上方一动点，连接 $AC$，$BC$，分别以 $AC$，$BC$ 为边向 $\triangle ABC$ 外作正方形 $CADF$ 和正方形 $CBEG$，过点 $D$ 作 $DD_1⊥l$ 于点 $D_1$，过点 $E$ 作 $EE_1⊥l$ 于点 $E_1$。
（1）如图②，当点 $E$ 恰好在直线 $l$ 上时（此时 $E_1$ 与 $E$ 重合），试说明 $DD_1 = AB$；
（2）在图①中，当 $D$，$E$ 两点都在直线 $l$ 的上方时，试探求三条线段 $DD_1$，$EE_1$，$AB$ 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点 $E$ 在直线 $l$ 的下方时，请说明三条线段 $DD_1$，$EE_1$，$AB$ 之间的数量关系，并说明理由。

(1)∵四边形 $ CADF $，$ CBEG $ 是正方形，
∴ $ AD = CA $，$ \angle DAC = \angle ABC = 90 ^ { \circ } $，∴ $ \angle DAD _ { 1 } + \angle CAB = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ DD _ { 1 } \perp AB $，∴ $ \angle DD _ { 1 } A = \angle ABC = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle DAD _ { 1 } + \angle ADD _ { 1 } = 90 ^ { \circ } $，∴ $ \angle ADD _ { 1 } = \angle CAB $。
在 $ \triangle ADD _ { 1 } $ 和 $ \triangle CAB $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle DD _ { 1 } A = \angle ABC, } \\ { \angle ADD _ { 1 } = \angle CAB, } \\ { AD = CA, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ADD _ { 1 } \cong \triangle CAB ( AAS ) $，∴ $ DD _ { 1 } = AB $。
(2) $ AB = DD _ { 1 } + EE _ { 1 } $。理由如下：
如图①，过点 $ C $ 作 $ CH \perp AB $ 于点 $ H $，
∵ $ DD _ { 1 } \perp AB $，∴ $ \angle DD _ { 1 } A = \angle CHA = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle DAD _ { 1 } + \angle ADD _ { 1 } = 90 ^ { \circ } $。
∵ 四边形 $ CADF $ 是正方形，∴ $ AD = CA $，$ \angle DAC = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle DAD _ { 1 } + \angle CAH = 90 ^ { \circ } $，∴ $ \angle ADD _ { 1 } = \angle CAH $。
在 $ \triangle ADD _ { 1 } $ 和 $ \triangle CAH $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle DD _ { 1 } A = \angle AHC, } \\ { \angle ADD _ { 1 } = \angle CAH, } \\ { AD = CA, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ADD _ { 1 } \cong \triangle CAH ( AAS ) $，∴ $ DD _ { 1 } = AH $。
同理：$ EE _ { 1 } = BH $，∴ $ AB = AH + BH = DD _ { 1 } + EE _ { 1 } $。
　　　 　
(3) $ AB = DD _ { 1 } - EE _ { 1 } $。理由如下：
如图②，过点 $ C $ 作 $ CH \perp AB $ 于点 $ H $，∵ $ DD _ { 1 } \perp AB $，
∴ $ \angle DD _ { 1 } A = \angle CHA = 90 ^ { \circ } $，∴ $ \angle DAD _ { 1 } + \angle ADD _ { 1 } = 90 ^ { \circ } $。
∵ 四边形 $ CADF $ 是正方形，
∴ $ AD = CA $，$ \angle DAC = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle DAD _ { 1 } + \angle CAH = 90 ^ { \circ } $，∴ $ \angle ADD _ { 1 } = \angle CAH $。
在 $ \triangle ADD _ { 1 } $ 和 $ \triangle CAH $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle DD _ { 1 } A = \angle AHC, } \\ { \angle ADD _ { 1 } = \angle CAH, } \\ { AD = CA, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ADD _ { 1 } \cong \triangle CAH ( AAS ) $，∴ $ DD _ { 1 } = AH $。
同理：$ EE _ { 1 } = BH $，∴ $ AB = AH - BH = DD _ { 1 } - EE _ { 1 } $。

19. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在 $\triangle ABC$ 中，$DE// BC$，分别交 $AB$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$。已知 $CD⊥BE$，$CD = 3$，$BE = 5$，求 $BC + DE$ 的值。
小明发现，过点 $E$ 作 $EF// DC$，交 $BC$ 延长线于点 $F$，构造 $\triangle BEF$，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图②）。
（1）请按照上述思路解决小明遇到的这个问题；
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，已知 $□ ABCD$ 和矩形 $ABEF$，$AC$ 与 $DF$ 交于点 $G$，$AC = BF = DF$，求 $∠AGF$ 的度数。

(1)∵ $ EF // DC $，$ DE // BC $，∴ 四边形 $ DEFC $ 为平行四边形，
∴ $ CF = DE $。∵ $ CD \perp BE $，∴ $ EF \perp BE $。在 $ \mathrm { Rt } \triangle BEF $ 中，
$ EF = CD = 3 $，$ BE = 5 $，∴ $ BF = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } = \sqrt { 34 } $。
即 $ BC + DE = \sqrt { 34 } $。
(2)连接 $ AE $，$ CE $，如图。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AB // \!\!\! // DC $。∵ 四边形 $ ABEF $ 是矩形，
∴ $ AB // \!\!\! // FE $，$ BF = AE $，∴ $ DC // \!\!\! // FE $。
∴ 四边形 $ DCEF $ 是平行四边形。
∴ $ CE // \!\!\! // DF $。
∵ $ AC = BF = DF $，∴ $ AC = AE = CE $。
∴ $ \triangle ACE $ 是等边三角形，∴ $ \angle ACE = 60 ^ { \circ } $。
∵ $ CE // DF $，∴ $ \angle AGF = \angle ACE = 60 ^ { \circ } $。