12. 若要使$(x^2 + ax +5) · (-6x^3)+6x^4$的展开式中不含$x^4$的项，则常数$a$的值为。

12.1 【点拨】$(x^2+ax+5)·(-6x^3)+6x^4=-6x^5-6ax^4-30x^3+6x^4=-6x^5+(6-6a)x^4-30x^3.$
∵展开式中不含$x^4$的项,$\therefore 6-6a=0$,解得$a=1.$

13. 某同学在计算一个多项式乘$-3x^2$时，算成了加上$-3x^2$，得到的答案是$x^2 - \frac{1}{2}x + 1$，则正确的计算结果是。

13.$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$ 【点拨】由题意可得,原多项式为$x^2-\frac{1}{2}x+1+3x^2=4x^2-\frac{1}{2}x+1$,故正确的计算结果应为$-3x^2·(4x^2-\frac{1}{2}x+1)=-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2.$

14.有一个魔术盒,当任意数对$(a,b)$进入其中时,会得到一个新的数$3b(a-2)$.现将数对$(m,2)$放入其中,得到数$n$,再将数对$(n,m)$放入其中后,最后得到的数是.
(结果化为最简)

14.$18m^2-42$ 【点拨】由题意得$n=3×2×(m-2)=6m-12$,
∴将数对$(n,m)$放入其中后,得$3m×(6m-12-2)=3m×(6m-14)=18m^2-42.$

15. 新考法 整体思想 阅读下面的解题过程，并解决问题.
已知：$2ab^2 = 3$，求 $ab · (8a^2b^5 + 4ab^3 - 2b)$ 的值.
分析：由于满足 $2ab^2 = 3$ 的 $a,b$ 的值较多，故优先考虑用整体代入的思想，将 $2ab^2 = 3$ 整体代入.
解：$ab · (8a^2b^5 + 4ab^3 - 2b)$
$= 8a^3b^6 + 4a^2b^4 - 2ab^2$
$= (2ab^2)^3 + (2ab^2)^2 - 2ab^2$
$= 3^3 + 3^2 - 3$
$= 33$.
请你用上述方法解决问题：已知 $2m^2 = 5$，求 $(4m^5 - 2m^3 + m) · (-2m)$ 的值.

15.【解】$\because 2m^2=5,$
$\therefore (4m^5-2m^3+m) · (-2m) = -8m^6+4m^4-2m^2=-(2m^2)^3+(2m^2)^2-2m^2=-5^3+5^2-5=-105.$

16.[2025重庆万州区期中] 学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式$ax - y + 6 + 3x -5y -1$的值与$x$的取值无关，求$a$的值”。通常的解题方法是：把$x,y$看作字母，$a$看作系数合并同类项，因为代数式的值与$x$的取值无关，所以含$x$项的系数为0，即原式$=(a+3)x -6y +5$，所以$a+3=0$，则$a=-3$。
(1)已知$A=2x^2 - (1-3n)x$，$B=-x^2 + nx -1$，且$3A +6B$的值与$x$的取值无关，求$n$的值；
(2)有7张如图①的小长方形，长为$a$，宽为$b$，按照如图②的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），右上角的面积为$S_1$，左下角的面积为$S_2$，$AB=x$，当$AB$的长变化时，$3S_1 -4S_2$的值始终保持不变，请求出$\frac{a}{b}$的值。

16.【解】(1)$\because A=2x^2-(1-3n)x,B=-x^2+nx-1,$
$\therefore 3A+6B=3[2x^2-(1-3n)x]+6(-x^2+nx-1)$
$=6x^2-(3-9n)x-6x^2+6nx-6$
$=(-3+9n+6n)x-6$
$=(15n-3)x-6.$
$\because 3A+6B$的值与$x$的取值无关，
$\therefore 15n-3=0,\therefore n=\frac{1}{5}.$
(2)由图可知 $S_1=a(x-3b),S_2=2b(x-2a),\therefore 3S_1-4S_2=3a(x-3b)-4×2b(x-2a)=(3a-8b)x+7ab.$
$\because$ 当$AB$的长变化时,$3S_1-4S_2$的值始终保持不变.
$\therefore 3S_1-4S_2$的值与$x$的取值无关，
$\therefore 3a-8b=0,\therefore 3a=8b,\therefore \frac{a}{b}=\frac{8}{3}.$