1. [2025浙江中考]如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2,0),(3,0)。若DE的长为3，则D'E'的长为（）

A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5

1 C $\because$ 五边形$ABCDE$,$A'B'C'D'E'$是以坐标原点$O$为位似中心的位似图形,$\therefore △ ODE∽ △ OD'E',\therefore \frac{DE}{D'E'}=\frac{OD}{OD'}=\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{3}$. 又$\because DE=3,\therefore D'E'=\frac{9}{2}$.

2. [2025长春中考]将直角三角形纸片$ABC(∠C=90°)$按如图方式折叠两次再展开,下列结论错误的是 ()


A.$MN // DE // PQ$
B.$BC = 2DE = 4MN$
C.$AN = BQ = \frac{1}{2}NQ$
D.$\frac{MN}{DE} = \frac{DE}{PQ} = \frac{PQ}{BC}$

2 D 由折叠可得,$DE⊥ AC,PQ⊥ AC,MN⊥ AC,AM=MD=DP=PC,\therefore MN// DE// PQ// BC$,故 A 正确,不符合题意;
$\because MN// DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ACB∽ △ AMN,\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2},\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2},\therefore BC=2DE,DE=2MN,\therefore BC=4MN$,$\therefore BC=2DE=4MN$,故 B 正确,不符合题意;$\because MN// PQ// BC$,$\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{BQ}{AB}=\frac{1}{4},\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{4},\frac{PM}{AC}=\frac{QN}{AB}=\frac{1}{2},\therefore BQ=AN=\frac{1}{4}AB,QN=\frac{1}{2}AB,\therefore AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$,故 C 正确,不符合题意;$\because MN// DE// PQ// BC,\therefore △ ADE∽ △ ACB∽ △ AMN∽ △ APQ,\therefore \frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2},\frac{DE}{PQ}=\frac{AD}{AP}=\frac{2}{3},\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$,$\therefore \frac{MN}{DE}≠\frac{DE}{PQ}≠\frac{PQ}{BC}$,故 D 错误,符合题意.

3. ▶一题多解 [2023安徽中考] 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF=2，FB=1，则MG= ()

A.$2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{10}$

3 B 通解 $\because EF⊥ AB,∠ ABC=90°,\therefore EF// BC,\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{AF}{BF}=2. \because AD// BC,\therefore △ ADE∽ △ CME,\therefore \frac{AD}{MC}=\frac{AE}{CE}=2$,$\therefore BC=AD=2CM$,即 $M$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore CM=BM$.
又$\because ∠ DCM=∠ GBM,∠ DMC=∠ GMB,\therefore △ DCM≌ △ GBM$,$\therefore MG=DM$. 易知$CD=BC=AB=AF+BF=2+1=3,\therefore CM=\frac{3}{2},\therefore MG=DM=\sqrt{CD^2+CM^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
另解 $\because ∠ CAB=45°,EF⊥ AB,∠ DAB=90°,\therefore EF=AF=2$,$EF// AD,\therefore △ GEF∽ △ GDA,\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{GF}{AG}$. 又$\because AD=AB=2+1=3$,$\therefore \frac{2}{3}=\frac{1+BG}{3+BG},\therefore BG=3,\therefore GF=BF+BG=4. \because AD// BC$,$\therefore EF// BC,\therefore △ GMB∽ △ GEF,\therefore \frac{BM}{EF}=\frac{BG}{GF}$,即$\frac{BM}{2}=\frac{3}{4},\therefore BM=\frac{3}{2},\therefore MG=\sqrt{BM^2+BG^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

4. 新趋势·条件开放 [2024 滨州中考]如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上. 添加一个条件使$△ ADE ∽ △ ACB$,则这个条件可以是.(写出一种情况即可)

4 $∠ ADE = ∠ C$(答案不唯一)

5. [2024山西中考]黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分
割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB//NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.若NP=2 cm,则BC的长为 cm.(结果保留根号)

5 $\sqrt{5}-1$ 在正方形$MNPQ$中,$AN// BP. \because AB// NP,\therefore$ 四边形$ABPN$是平行四边形,$\therefore AB=NP=2\ \mathrm{cm}, \therefore BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$.

6. [2024云南中考] 如图，AB与CD交于点O，且AC//BD。若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD} =$。

6 $\frac{1}{2}$ $\because AC// BD,\therefore △ AOC∽ △ BOD$(点拨:8字型相似).
$\because$ 相似三角形周长的比等于相似比,$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{2}$.

7. [2025内蒙古中考]如图,在菱形ABCD中,AB = $4\sqrt{5}$,对角线BD的长为16,E是AD的中点,F是BD上一点,连接EF.若BF = 3,则EF的长为.

7 $\sqrt{85}$ 如图,连接$AC$交$BD$于点$O$,则$AC⊥ BD$. 过点$E$作$EG⊥ OD$于点$G$,则$EG// AC,\therefore △ DEG∽ △ DAO,\therefore \frac{EG}{AO}=\frac{DG}{OD}=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}. \because$ 四边形$ABCD$是菱形,$\therefore AD=AB=4\sqrt{5}$,$BO=OD=\frac{1}{2}BD=8,\therefore AO=\sqrt{AD^2-OD^2}=4,\therefore \frac{EG}{4}=\frac{DG}{8}=\frac{1}{2},\therefore EG=2,DG=4,\therefore FG=BD-BF-DG=16-3-4=9$,$\therefore EF=\sqrt{FG^2+EG^2}=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{85}$.

8. [2025安徽中考]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点和A₁均为格点(网格线的交点).已知点A和A₁的坐标分别为(-1,-3)和(2,6).
(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标;
(2)以点O为位似中心,将△ABC放大得到△A₁B₁C₁,使得点A的对应点为A₁,请在所给的网格图中画出△A₁B₁C₁.

8 解:(1)如图所示,点$D$即为边$AB$的中点,
点$D$的坐标为$(-2,-1)$.

(2)如图所示,$△ A_1B_1C_1$即为所求作的三角形.
连接$AA_1$,根据网格可知$OA_1=2OA$,即将$△ ABC$放大为原来的2倍,据此描出点$B_1,C_1$,再连线即可.