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如图，$a// b// c$，直线$m,n$交于点$O$，且分别与直线$a,b,c$交于点$A,B,C$和点$D,E,F$.
【基础设施问】
(1)若点$E$是线段$OF$的黄金分割点，$OE ＜ EF$，则$\frac{OE}{OF}=$
(2)图中相似三角形的对数是
【能力设问】
(3)若$OA=1,OB=2,BC=4,EF=5$.
①求$OE$和$DE$的长度；
②求$△ OBE$与四边形$BCFE$的面积之比.
(4)连接$CE,BF$交于点$P$，若$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OB}$.求证：$△ BPC∽ △ EPF$.
(5)连接$BF$，若$BF⊥ OC$，直线$n⊥ c$.
①求证:$OF^2=OB· OC$；
②若$OC=9,OB=4$，求$\frac{BF}{OF}$的值.
【拓展设问】
(6)过点$B$作$BM⊥ CF$于点$M$，过点$E$作$EN⊥ CF$于点$N$，过点$O$作$OG⊥ CF$于点$G$，交$BE$于点$H$.已知$FC=12,OG=8$.
①若四边形$BMNE$是正方形，求这个正方形的边长；
②若四边形$BMNE$是一个两条边长不能确定的矩形，但这个矩形的面积有最大值，求面积最大时该矩形的两条边长.
【基础设施问】
(1)若点$E$是线段$OF$的黄金分割点，$OE ＜ EF$，则$\frac{OE}{OF}=$
$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
.(2)图中相似三角形的对数是
3
.【能力设问】
(3)若$OA=1,OB=2,BC=4,EF=5$.
①求$OE$和$DE$的长度；
②求$△ OBE$与四边形$BCFE$的面积之比.
(4)连接$CE,BF$交于点$P$，若$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OB}$.求证：$△ BPC∽ △ EPF$.
(5)连接$BF$，若$BF⊥ OC$，直线$n⊥ c$.
①求证:$OF^2=OB· OC$；
②若$OC=9,OB=4$，求$\frac{BF}{OF}$的值.
【拓展设问】
(6)过点$B$作$BM⊥ CF$于点$M$，过点$E$作$EN⊥ CF$于点$N$，过点$O$作$OG⊥ CF$于点$G$，交$BE$于点$H$.已知$FC=12,OG=8$.
①若四边形$BMNE$是正方形，求这个正方形的边长；
②若四边形$BMNE$是一个两条边长不能确定的矩形，但这个矩形的面积有最大值，求面积最大时该矩形的两条边长.
答案
(1) $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ 由题意可知,$\frac{OE}{OF}=1-\frac{EF}{OF}=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(2) 3 $\because b// c,\therefore △ OBE∽ △ OCF.\because a// b,\therefore △ OBE∽ △ OAD.\because a// c,\therefore △ OAD∽ △ OCF$.综上,可知题图中相似三角形共有3对.
(3)解:①$\because b// c,\therefore \frac{OB}{BC}=\frac{OE}{EF}$,
即$\frac{2}{4}=\frac{OE}{5},\therefore OE=\frac{5}{2}$.
$\because b// a$,
$\therefore \frac{OB}{OA}=\frac{OE}{DO}$,即$\frac{2}{1}=\frac{\frac{5}{2}}{DO}$,
$\therefore DO=\frac{5}{4},\therefore DE=DO+OE=\frac{15}{4}$.
②由(2)可知$△ OBE∽ △ OCF$,且$\frac{OB}{OC}=\frac{OB}{BC+OB}=\frac{1}{3}$,
$\therefore \frac{S_{△ OBE}}{S_{△ OCF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9},\therefore \frac{S_{△ OBE}}{S_{四边形BCFE}}=\frac{1}{8}$.
(4)证明:$\because \frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OB},∠ COE=∠ FOB$,
$\therefore △ COE∽ △ FOB,\therefore ∠ OCE=∠ OFB$.
又$\because ∠ BPC=∠ EPF$,
$\therefore △ BPC∽ △ EPF$.
(5)①证明:$\because BF⊥ OC,n⊥ c$,
$\therefore ∠ OBF=90°,∠ OFC=90°$,
$\therefore ∠ BFO+∠ COF=90°,∠ FCO+∠ COF=90°$,
$\therefore ∠ BFO=∠ FCO$,
$\therefore △ BFO∽ △ FCO$,
$\therefore \frac{OB}{OF}=\frac{OF}{OC}$,即$OF^2=OB· OC$.
②解:由(5)①,知$OF^2=OB· OC,\because OC=9,OB=4$,
$\therefore OF^2=36,\therefore OF=6$(负值舍去),
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中,由勾股定理,得$FC=\sqrt{OC^2-OF^2}=3\sqrt{5}$.
$\because ∠ CBF=∠ CFO=90°,∠ BCF=∠ FCO,\therefore △ BCF∽ △ FCO$,
$\therefore \frac{BF}{OF}=\frac{FC}{OC}=\frac{3\sqrt{5}}{9}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
(6)解:①设这个正方形的边长为$x$,则$BE=BM=HG=x$,
$\therefore OH=OG-HG=8-x$,
由(2)可知$△ OBE∽ △ OCF$,
$\therefore \frac{BE}{CF}=\frac{OH}{OG}$(点拨:相似三角形对应高的比等于相似比),
即$\frac{x}{12}=\frac{8-x}{8}$,解得$x=4.8$,故这个正方形的边长为4.8.
②设$BE=t$,矩形$BMNE$的面积为$S$,
由(2)可知$△ OBE∽ △ OCF$,
$\therefore \frac{BE}{CF}=\frac{OH}{OG}$,即$\frac{t}{12}=\frac{8-BM}{8}$,解得$BM=8-\frac{2}{3}t$,
$\therefore S=BM· BE=(8-\frac{2}{3}t)t=-\frac{2}{3}(t-6)^2+24$,
故当$t=6$时,$S$有最大值,为24,即$BE=6$,此时$BM=4$,
$\therefore$ 面积最大时该矩形的两条边长分别为6,4.
(2) 3 $\because b// c,\therefore △ OBE∽ △ OCF.\because a// b,\therefore △ OBE∽ △ OAD.\because a// c,\therefore △ OAD∽ △ OCF$.综上,可知题图中相似三角形共有3对.
(3)解:①$\because b// c,\therefore \frac{OB}{BC}=\frac{OE}{EF}$,
即$\frac{2}{4}=\frac{OE}{5},\therefore OE=\frac{5}{2}$.
$\because b// a$,
$\therefore \frac{OB}{OA}=\frac{OE}{DO}$,即$\frac{2}{1}=\frac{\frac{5}{2}}{DO}$,
$\therefore DO=\frac{5}{4},\therefore DE=DO+OE=\frac{15}{4}$.
②由(2)可知$△ OBE∽ △ OCF$,且$\frac{OB}{OC}=\frac{OB}{BC+OB}=\frac{1}{3}$,
$\therefore \frac{S_{△ OBE}}{S_{△ OCF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9},\therefore \frac{S_{△ OBE}}{S_{四边形BCFE}}=\frac{1}{8}$.
(4)证明:$\because \frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OB},∠ COE=∠ FOB$,
$\therefore △ COE∽ △ FOB,\therefore ∠ OCE=∠ OFB$.
又$\because ∠ BPC=∠ EPF$,
$\therefore △ BPC∽ △ EPF$.
(5)①证明:$\because BF⊥ OC,n⊥ c$,
$\therefore ∠ OBF=90°,∠ OFC=90°$,
$\therefore ∠ BFO+∠ COF=90°,∠ FCO+∠ COF=90°$,
$\therefore ∠ BFO=∠ FCO$,
$\therefore △ BFO∽ △ FCO$,
$\therefore \frac{OB}{OF}=\frac{OF}{OC}$,即$OF^2=OB· OC$.
②解:由(5)①,知$OF^2=OB· OC,\because OC=9,OB=4$,
$\therefore OF^2=36,\therefore OF=6$(负值舍去),
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中,由勾股定理,得$FC=\sqrt{OC^2-OF^2}=3\sqrt{5}$.
$\because ∠ CBF=∠ CFO=90°,∠ BCF=∠ FCO,\therefore △ BCF∽ △ FCO$,
$\therefore \frac{BF}{OF}=\frac{FC}{OC}=\frac{3\sqrt{5}}{9}=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
(6)解:①设这个正方形的边长为$x$,则$BE=BM=HG=x$,
$\therefore OH=OG-HG=8-x$,
由(2)可知$△ OBE∽ △ OCF$,
$\therefore \frac{BE}{CF}=\frac{OH}{OG}$(点拨:相似三角形对应高的比等于相似比),
即$\frac{x}{12}=\frac{8-x}{8}$,解得$x=4.8$,故这个正方形的边长为4.8.
②设$BE=t$,矩形$BMNE$的面积为$S$,
由(2)可知$△ OBE∽ △ OCF$,
$\therefore \frac{BE}{CF}=\frac{OH}{OG}$,即$\frac{t}{12}=\frac{8-BM}{8}$,解得$BM=8-\frac{2}{3}t$,
$\therefore S=BM· BE=(8-\frac{2}{3}t)t=-\frac{2}{3}(t-6)^2+24$,
故当$t=6$时,$S$有最大值,为24,即$BE=6$,此时$BM=4$,
$\therefore$ 面积最大时该矩形的两条边长分别为6,4.
