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1.「2026上海浦东新区期中」下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（
① $12xy^3 = 2xy · 6y^2$；
② $x^2 -6xy +5y^2 = x(x-6y) +5y^2$；
③ $(-2x+3y)(2x+3y) = -4x^2 +9y^2$；
④ $3x -6y = 3(x-2y)$；
⑤ $3x^2y -xy = xy(3x -1)$；
⑥ $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{4x^2} = (1+\frac{1}{2x})^2$；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）① $12xy^3 = 2xy · 6y^2$；
② $x^2 -6xy +5y^2 = x(x-6y) +5y^2$；
③ $(-2x+3y)(2x+3y) = -4x^2 +9y^2$；
④ $3x -6y = 3(x-2y)$；
⑤ $3x^2y -xy = xy(3x -1)$；
⑥ $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{4x^2} = (1+\frac{1}{2x})^2$；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
2.「2026 四川绵阳期末」因式分解 $6a(a-b)^2 - 4(b-a)^3$ 时,应提取的公因式是 (
A.$6a$
B.$6a(a-b)^3$
C.$4a(a-b)$
D.$2(a-b)^2$
D
)A.$6a$
B.$6a(a-b)^3$
C.$4a(a-b)$
D.$2(a-b)^2$
答案
2.D
3.「2026湖南长沙期末」若$x^2+(a+2)x+16$是完全平方式，则常数$a$的值是
6或-10
。答案
3.答案 6或-10
解析 根据题意得,$a+2=±8,∴ a=6$或$a=-10.$
解析 根据题意得,$a+2=±8,∴ a=6$或$a=-10.$
4.「2026广东深圳期末」分解因式：
(1) $6x^2y^3 + 15xy^2z$.
(2) $m(n-1)+(1-n)$.
(1) $6x^2y^3 + 15xy^2z$.
(2) $m(n-1)+(1-n)$.
答案
4.解析
(1)$6x^2y^3+15xy^2z=3xy^2(2xy+5z).$
(2)$m(n-1)+(1-n)=m(n-1)-(n-1)=(n-1)(m-1).$
(1)$6x^2y^3+15xy^2z=3xy^2(2xy+5z).$
(2)$m(n-1)+(1-n)=m(n-1)-(n-1)=(n-1)(m-1).$
5.「2026河北石家庄期末」分解因式：
(1) $-2x^3 + 8x^2 - 8x$.
(2) $x^2(3x - 2) + (2 - 3x)$.
(3) $(a^2 + 3)^2 - 16a^2$.
(1) $-2x^3 + 8x^2 - 8x$.
(2) $x^2(3x - 2) + (2 - 3x)$.
(3) $(a^2 + 3)^2 - 16a^2$.
答案
5.解析
(1)原式$=-2x(x^2-4x+4)=-2x(x-2)^2.$
(2)原式$=(3x-2)(x^2-1)=(3x-2)(x+1)(x-1).$
(3)原式$=(a^2+3+4a)(a^2+3-4a)=(a+3)(a+1)(a-3)(a-1).$
(1)原式$=-2x(x^2-4x+4)=-2x(x-2)^2.$
(2)原式$=(3x-2)(x^2-1)=(3x-2)(x+1)(x-1).$
(3)原式$=(a^2+3+4a)(a^2+3-4a)=(a+3)(a+1)(a-3)(a-1).$
6.「2026广东惠州期末」小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：$a+b$，$x-y$，$x+y$，$a-b$，$x^2-y^2$，$a^2-b^2$分别对应“惠”“爱”“我”“州”“相”“信”六个字，现将$(x^2-y^2)a^2 - (x^2-y^2)b^2$因式分解，结果呈现的密码信息可能是（
A.相信我爱
B.我爱惠州
C.相爱惠州
D.相信惠州
B
）A.相信我爱
B.我爱惠州
C.相爱惠州
D.相信惠州
答案
6.B $(x^2-y^2)a^2-(x^2-y^2)b^2=(x^2-y^2)(a^2-b^2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b),∴$结果呈现的密码信息可能是我爱惠州.
7.「2026 河南周口期末」阅读下列材料:利用完全平方式可以进行很多数学变形.
例如:若$a^2+b^2+2a-4b+5=0$,求$a,b$的值.
解:原式可变形为$(a^2+2a+1)+(b^2-4b+4)=0$,
即$(a+1)^2+(b-2)^2=0$,
$\because (a+1)^2≥0,(b-2)^2≥0$,
$\therefore a+1=0,b-2=0$,
解得$a=-1,b=2$.
根据上述材料,解决下列问题:
(1)若$x^2+y^2-6x+8y+25=0$,求$x,y$的值.
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$,判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(3)求代数式$x^2-4x+y^2+2y+7$的最小值.
例如:若$a^2+b^2+2a-4b+5=0$,求$a,b$的值.
解:原式可变形为$(a^2+2a+1)+(b^2-4b+4)=0$,
即$(a+1)^2+(b-2)^2=0$,
$\because (a+1)^2≥0,(b-2)^2≥0$,
$\therefore a+1=0,b-2=0$,
解得$a=-1,b=2$.
根据上述材料,解决下列问题:
(1)若$x^2+y^2-6x+8y+25=0$,求$x,y$的值.
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$,判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(3)求代数式$x^2-4x+y^2+2y+7$的最小值.
答案
7.解析
(1)$\because x^2+y^2-6x+8y+25=0,\therefore (x^2-6x+9)+(y^2+8y+16)=0,$即$(x-3)^2+(y+4)^2=0,$
$\because (x-3)^2≥0,(y+4)^2≥0,\therefore x=3,y=-4.$
(2)$△ ABC$是等边三角形.理由如下：
$\because a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0,\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0,\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0,$即$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0,\therefore a-b=0,b-c=0,a-c=0,\therefore a=b=c,\therefore △ ABC$是等边三角形.
(3)$x^2-4x+y^2+2y+7=(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)+2=(x-2)^2+(y+1)^2+2,$
$\because (x-2)^2≥0,(y+1)^2≥0,\therefore (x-2)^2+(y+1)^2+2≥2,$
$\therefore x^2-4x+y^2+2y+7$的最小值为2.
(1)$\because x^2+y^2-6x+8y+25=0,\therefore (x^2-6x+9)+(y^2+8y+16)=0,$即$(x-3)^2+(y+4)^2=0,$
$\because (x-3)^2≥0,(y+4)^2≥0,\therefore x=3,y=-4.$
(2)$△ ABC$是等边三角形.理由如下：
$\because a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0,\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0,\therefore (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0,$即$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0,\therefore a-b=0,b-c=0,a-c=0,\therefore a=b=c,\therefore △ ABC$是等边三角形.
(3)$x^2-4x+y^2+2y+7=(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)+2=(x-2)^2+(y+1)^2+2,$
$\because (x-2)^2≥0,(y+1)^2≥0,\therefore (x-2)^2+(y+1)^2+2≥2,$
$\therefore x^2-4x+y^2+2y+7$的最小值为2.
