1[中]我们知道，若$ab＞0$，则有$\begin{cases}a＞0, \\ b＞0\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0, \\ b＜0.\end{cases}$如图，直线$y=kx+b$与直线$y=mx+n$分别交$x$轴于点$A(-0.5,0)$，$B(2,0)$，则不等式$(kx+b)(mx+n)＞0$的解集是（ ）


A.$x＞2$
B.$-0.5＜x＜2$
C.$0＜x＜2$
D.$x＜-0.5$或$x＞2$

B 【解析】因为若$ab＞0$，则有$\begin{cases}a＞0,\\b＞0\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0,\\b＜0,\end{cases}$所以根据不等式$(kx+b)(mx+n)＞0$，得$\begin{cases}kx+b＞0,\\mx+n＞0\end{cases}$或$\begin{cases}kx+b＜0,\\mx+n＜0.\end{cases}$ 当$\begin{cases}kx+b＞0,\\mx+n＞0\end{cases}$时，由图象得$\begin{cases}x＜-0.5,\\x＞2,\end{cases}$此时该不等式组无解. 当$\begin{cases}kx+b＜0,\\mx+n＜0\end{cases}$时，由图象得$\begin{cases}x＞-0.5,\\x＜2,\end{cases}$此时不等式组的解集为$-0.5＜x＜2$. 综上，不等式$(kx+b)·(mx+n)＞0$的解集是$-0.5＜x＜2$. 故选B.

2[2026广东深圳质检,较难]已知关于x的方程$|x|=ax+2022$有且只有一个正根,则a的取值范围是()

A.$a≤-1$
B.$a＜-1$
C.$-1＜a＜1$
D.$a≥1$

A 【解析】关于$x$的方程$|x|=ax+2022$的解可以看作函数$y=|x|$与$y=ax+2022$图象的交点的横坐标.
若$a≤-1$，则直线$y=ax+2022$与函数$y=|x|$的图象有且只有一个交点，如图所示，此时方程$|x|=ax+2022$有且只有一个正根；
若$-1＜a＜0$，则直线$y=ax+2022$与函数$y=|x|$的图象有两个交点，如图所示，此时方程$|x|=ax+2022$有两个根；
若$a=0$，则直线$y=ax+2022$与函数$y=|x|$的图象有两个交点，如图所示，此时方程$|x|=ax+2022$有两个根；
若$a＞0$，则直线$y=ax+2022$与函数$y=|x|$的图象在第二象限必有交点，如图所示，此时方程$|x|=ax+2022$有一个负根或有两个根.
综上所述，当$a≤-1$时，关于$x$的方程$|x|=ax+2022$有且只有一个正根. 故选A.

3 新考向传统文化 [2025 江苏苏州调研,中]中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹(方阵)表示二元一次方程组的方法,发展到现代就是用矩阵式$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$来表示二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2,\end{cases}$而该方程组的解就是对应两直线(不平行)$a_1x + b_1y = c_1$与$a_2x + b_2y = c_2$的交点坐标$P(x,y)$.据此,矩阵式$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$所对应两直线交点坐标是 ______ .

(2,5) 【解析】根据题意得$\begin{cases}4x-y=3,①\\-3x+y=-1,②\end{cases}$ ①+②，得$x=2$，把$x=2$代入①，得$8-y=3$，解得$y=5$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=5,\end{cases}$所以两直线交点坐标是$(2,5)$，故答案为$(2,5)$.

4[2025浙江宁波期末,较难]要研究使$x,y$满足$x+1-y≥0$的取值范围问题时,我们可以借助观察函数$y=x+1$的图象解决.画出直线$y=x+1$,则该直线右下方部分即为满足$x+1-y≥0$的区域.若$x,y$满足条件$\begin{cases}x-y≥0, \\x+y-2≤0, \\y≥0,\end{cases}$令$M=2x-5y$,则$M$的取值范围为 ______ .

$-3≤ M≤4$ 【解析】如图，阴影部分($△ OAB$)即为$x,y$满足题设条件的区域. 联立得$\begin{cases}y=x,\\y=-x+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1,\\y=1,\end{cases}$即点$B(1,1)$. 对于$y=-x+2$，令$y=0$，则$x=2$，故点$A(2,0)$. 由$M=2x-5y$，得$y=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{5}M$，易知$-\dfrac{1}{5}M$为直线$y=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{5}M$与$y$轴交点的纵坐标. 当直线$y=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{5}M$过点$A$时，此时$-\dfrac{1}{5}M$最小，即$M$最大，将点$A$坐标代入，得$0=\dfrac{2}{5}×2-\dfrac{1}{5}M$，解得$M=4$；当直线$y=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{5}M$过点$B$时，此时$-\dfrac{1}{5}M$最大，即$M$最小，将点$B$坐标代入，得$1=\dfrac{2}{5}×1-\dfrac{1}{5}M$，解得$M=-3$，故$-3≤ M≤4$. 故答案为$-3≤ M≤4$.

5[中]如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1=-x+b$的图象与x轴、y轴分别交于B,C两点,与正比例函数$y_2=\frac{1}{2}x$的图象交于点A,点A的横坐标为4.
(1)求b的值;
(2)请根据图象直接写出不等式$-x+b＞\frac{1}{2}x$的解集;
(3)若直线$y=1$上有一动点$P(m,1)$,当$AP+PC$取最小值时,求m的值.

刷素养 走向重高

(1) 在$y_2=\dfrac{1}{2}x$中，令$x=4$，得$y_2=2$，所以$A(4,2)$. 把$A(4,2)$代入$y_1=-x+b$，得$2=-4+b$，所以$b=6$.
(2) 由图象可得不等式$-x+b＞\dfrac{1}{2}x$的解集是$x＜4$.
(3) 如图，作点$A$关于直线$y=1$的对称点$A'$，连结$A'C$交直线$y=1$于点$P$，连结$AP$. 因为点$A,A'$关于直线$y=1$对称，所以$AP=A'P$，$A'(4,0)$，所以$AP+CP=A'P+CP=A'C$，即此时$AP+CP$的值最小. 由(1)知$b=6$，所以$C(0,6)$. 设直线$A'C$的函数表达式为$y=kx+6(k≠0)$，将$A'(4,0)$代入，得$0=4k+6$，解得$k=-\dfrac{3}{2}$，所以直线$A'C$的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x+6$. 将$P(m,1)$代入$y=-\dfrac{3}{2}x+6$，得$1=-\dfrac{3}{2}m+6$，解得$m=\dfrac{10}{3}$.

6 思想方法数形结合[难]请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数$y=-2|x|+2$的图象和性质，并解决下列问题.
(1)①当$x=0$时,$y=-2|x|+2=2$;
②当$x＞0$时,$y=-2|x|+2=$;
③当$x＜0$时,$y=-2|x|+2=$.
显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,作出函数$y=-2|x|+2$的图象.
(3)一次函数$y=kx+b$($k$为常数,$k≠0$)的图象过点$(1,3)$,若方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=-2|x|+2\end{cases}$无解,结合函数的图象,直接写出$k$的取值范围.

(1) ②当$x＞0$时，$y=-2|x|+2=-2x+2$；
③当$x＜0$时，$y=-2|x|+2=2x+2$. 故答案为$-2x+2,2x+2$.
(2) 函数$y=-2|x|+2$的图象如图所示.
(3) $k$的取值范围是$-2≤ k＜1$且$k≠0$. 方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=-2|x|+2\end{cases}$无解，说明函数$y=kx+b$与函数$y=-2|x|+2$的图象没有交点.
①如图，当$k＞0$时，要保证$y=kx+b$与$y=-2|x|+2$的图象没有交点，临界位置为图中直线$l_1$，此时直线$y=kx+b$过点$(1,3)$和$(0,2)$，所以易得$k=1$，所以当$0＜k＜1$时，符合题意；
②如图，当$k＜0$时，要保证$y=kx+b$与$y=-2|x|+2$的图象没有交点，临界位置为图中直线$l_2$，此时直线$y=kx+b$与函数$y=-2|x|+2$在$x＞0$的部分的图象平行，所以$k=-2$，所以当$-2≤ k＜0$时，符合题意.
综上，$k$的取值范围为$-2≤ k＜1$且$k≠0$.