登录
1 计算$\frac{a^2b}{mn^2} · \frac{3mn}{ab}$的结果为（
A.$\frac{3b}{m}$
B.$\frac{3a}{mn}$
C.$\frac{3b}{mn}$
D.$\frac{3a}{n}$
D
）A.$\frac{3b}{m}$
B.$\frac{3a}{mn}$
C.$\frac{3b}{mn}$
D.$\frac{3a}{n}$
答案
1. D
解析
【分析】
这是分式乘法的基础运算题，解题时先按照分式乘法法则，将各分子的乘积作为积的分子，各分母的乘积作为积的分母，再找出分子和分母中的公因式进行约分，最终化简为最简分式就能得到结果，约分时要注意相同因式的次数，约去次数更低的部分即可。
【解析】
根据分式乘法的运算法则计算：
1. 分别计算分子、分母的乘积：
分子：$a^2b · 3mn = 3a^2bmn$
分母：$mn^2 · ab = abmn^2$
原式可化为：$\frac{3a^2bmn}{abmn^2}$
2. 约去分子分母的公因式$abmn$：
分子剩余$3a$，分母剩余$n$，化简得$\frac{3a}{n}$。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘法运算，分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查分式乘法的运算法则和约分的方法，计算时细心找出所有公因式，避免漏约、错约因式即可得分。
【难度系数】
0.8
这是分式乘法的基础运算题，解题时先按照分式乘法法则，将各分子的乘积作为积的分子，各分母的乘积作为积的分母，再找出分子和分母中的公因式进行约分，最终化简为最简分式就能得到结果，约分时要注意相同因式的次数，约去次数更低的部分即可。
【解析】
根据分式乘法的运算法则计算：
1. 分别计算分子、分母的乘积：
分子：$a^2b · 3mn = 3a^2bmn$
分母：$mn^2 · ab = abmn^2$
原式可化为：$\frac{3a^2bmn}{abmn^2}$
2. 约去分子分母的公因式$abmn$：
分子剩余$3a$，分母剩余$n$，化简得$\frac{3a}{n}$。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘法运算，分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查分式乘法的运算法则和约分的方法，计算时细心找出所有公因式，避免漏约、错约因式即可得分。
【难度系数】
0.8
2 计算$\dfrac{5x}{x-y} · \dfrac{x-y}{5y}$的结果是 （
A.$\dfrac{y}{x}$
B.$\dfrac{x}{y}$
C.$-\dfrac{y}{x}$
D.$-\dfrac{x}{y}$
B
）A.$\dfrac{y}{x}$
B.$\dfrac{x}{y}$
C.$-\dfrac{y}{x}$
D.$-\dfrac{x}{y}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题时首先回忆分式乘法的计算规则：分式乘分式，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，计算过程中能约分的要先约分再计算，简化运算步骤。观察本题的两个分式，分子和分母中存在相同的公因式5和$(x-y)$，且原式有意义的前提下$x-y≠0$，因此可以先约去公因式，再计算剩余部分的结果即可。
【解析】
根据分式乘法的运算法则：
原式$=\dfrac{5x·(x-y)}{(x-y)·5y}$
∵原式有意义，
∴$x-y≠0$，可约去分子分母的公因式$5$和$(x-y)$，得：
原式$=\dfrac{x}{y}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算；分式的约分
【点评】
本题是分式乘除的基础题型，解题核心是先观察分子分母的公因式，优先约分再计算，既可以简化运算，也能降低出错概率，需要注意约分的前提是公因式不为0，本题由原式分母不为0可直接确认公因式$x-y$不为0，可直接约分。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的乘法运算，解题时首先回忆分式乘法的计算规则：分式乘分式，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，计算过程中能约分的要先约分再计算，简化运算步骤。观察本题的两个分式，分子和分母中存在相同的公因式5和$(x-y)$，且原式有意义的前提下$x-y≠0$，因此可以先约去公因式，再计算剩余部分的结果即可。
【解析】
根据分式乘法的运算法则：
原式$=\dfrac{5x·(x-y)}{(x-y)·5y}$
∵原式有意义，
∴$x-y≠0$，可约去分子分母的公因式$5$和$(x-y)$，得：
原式$=\dfrac{x}{y}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算；分式的约分
【点评】
本题是分式乘除的基础题型，解题核心是先观察分子分母的公因式，优先约分再计算，既可以简化运算，也能降低出错概率，需要注意约分的前提是公因式不为0，本题由原式分母不为0可直接确认公因式$x-y$不为0，可直接约分。
【难度系数】
0.9
3 将分式$\frac{ab}{2a^2 - 2b^2}$改写成两个分式的乘积形式为
$\frac{a}{2a+2b} · \frac{b}{a−b}$(答案不唯一)
。答案
3. $\frac{a}{2a+2b} · \frac{b}{a−b}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要将给定分式改写为两个分式的乘积，首先需要对原分式的分母进行因式分解，把多项式转化为整式乘积的形式；再逆用分式乘法的运算规则（分式乘分式时，分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母），将分子和分母的因式分别分配到两个分式中即可，拆分方式不唯一，只要两个分式相乘化简后与原式一致即为正确结果。
【解析】
1. 先对原分式的分母因式分解：
$2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a + b)(a - b)$
因此原分式可改写为：$\frac{ab}{2(a + b)(a - b)}$
2. 逆用分式乘法法则拆分因式，将分子的$a$与分母的$2(a+b)$组合为一个分式，分子的$b$与分母的$(a-b)$组合为另一个分式：
$\frac{ab}{2(a + b)(a - b)} = \frac{a}{2(a + b)} · \frac{b}{a - b} = \frac{a}{2a + 2b} · \frac{b}{a - b}$
（也可采用其他拆分方式，只要两个分式相乘后化简结果与原式一致即可）
【答案】
$\frac{a}{2a+2b} · \frac{b}{a−b}$(答案不唯一)
【知识点】
因式分解、分式的乘法运算
【点评】
本题为开放性题目，核心考查因式分解的应用和分式乘法法则的逆用，拆分时只要保证两个分式的乘积化简后与原式相等，且拆分后的分式有意义即可。
【难度系数】
0.7
要将给定分式改写为两个分式的乘积，首先需要对原分式的分母进行因式分解，把多项式转化为整式乘积的形式；再逆用分式乘法的运算规则（分式乘分式时，分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母），将分子和分母的因式分别分配到两个分式中即可，拆分方式不唯一，只要两个分式相乘化简后与原式一致即为正确结果。
【解析】
1. 先对原分式的分母因式分解：
$2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a + b)(a - b)$
因此原分式可改写为：$\frac{ab}{2(a + b)(a - b)}$
2. 逆用分式乘法法则拆分因式，将分子的$a$与分母的$2(a+b)$组合为一个分式，分子的$b$与分母的$(a-b)$组合为另一个分式：
$\frac{ab}{2(a + b)(a - b)} = \frac{a}{2(a + b)} · \frac{b}{a - b} = \frac{a}{2a + 2b} · \frac{b}{a - b}$
（也可采用其他拆分方式，只要两个分式相乘后化简结果与原式一致即可）
【答案】
$\frac{a}{2a+2b} · \frac{b}{a−b}$(答案不唯一)
【知识点】
因式分解、分式的乘法运算
【点评】
本题为开放性题目，核心考查因式分解的应用和分式乘法法则的逆用，拆分时只要保证两个分式的乘积化简后与原式相等，且拆分后的分式有意义即可。
【难度系数】
0.7
4 计算：
(1) $\frac{3b}{4a} · \frac{2a^3}{b^2}$；
(2) $\frac{3xy}{5x^2} · \frac{2x^2y}{3z^2}$；
(3) $\frac{x^2 - 4}{x + 1} · \frac{3x + 3}{4x + 8}$；
(4) $\frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 + 2a + 1} · \frac{a + 1}{a^2 - 9}$。
(1) $\frac{3b}{4a} · \frac{2a^3}{b^2}$；
(2) $\frac{3xy}{5x^2} · \frac{2x^2y}{3z^2}$；
(3) $\frac{x^2 - 4}{x + 1} · \frac{3x + 3}{4x + 8}$；
(4) $\frac{a^2 - 6a + 9}{a^2 + 2a + 1} · \frac{a + 1}{a^2 - 9}$。
答案
4. (1) $\frac{3a^2}{2b}$ (2) $\frac{2xy^2}{5z^2}$ (3) $\frac{3x−6}{4}$ (4) $\frac{a−3}{(a+1)(a+3)}$
解析
【分析】
分式乘法的核心运算规则是“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”，解题时可按以下思路思考：①若两个因式的分子、分母都是单项式，可先约分再计算，也可先按乘法规则写出乘积形式，再约去分子分母的公因式，化简为最简分式；②若分子或分母含多项式，先对多项式进行因式分解（提公因式、公式法），再约去分子分母的公因式，最后化简得到结果，注意结果必须是最简分式或整式。
【解析】
(1) 原式 = $\frac{3b · 2a^3}{4a · b^2}$ = $\frac{6a^3b}{4ab^2}$，约去分子分母的公因式$2ab$，得最终结果。
(2) 原式 = $\frac{3xy · 2x^2y}{5x^2 · 3z^2}$ = $\frac{6x^3y^2}{15x^2z^2}$，约去分子分母的公因式$3x^2$，得最终结果。
(3) 先对多项式因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$3x+3=3(x+1)$，$4x+8=4(x+2)$，
原式 = $\frac{(x+2)(x-2)}{x+1} · \frac{3(x+1)}{4(x+2)}$，约去公因式$(x+2)(x+1)$，化简得最终结果。
(4) 先对多项式因式分解：$a^2-6a+9=(a-3)^2$，$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，
原式 = $\frac{(a-3)^2}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{(a+3)(a-3)}$，约去公因式$(a-3)(a+1)$，得最终结果。
【答案】
(1) $\frac{3a^2}{2b}$ (2) $\frac{2xy^2}{5z^2}$ (3) $\frac{3x−6}{4}$ (4) $\frac{a−3}{(a+1)(a+3)}$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，解题时优先约分能简化计算步骤，遇到多项式先因式分解是约分的前提，计算时要注意结果必须化为最简形式，避免出现未约尽的公因式。
【难度系数】
0.8
分式乘法的核心运算规则是“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”，解题时可按以下思路思考：①若两个因式的分子、分母都是单项式，可先约分再计算，也可先按乘法规则写出乘积形式，再约去分子分母的公因式，化简为最简分式；②若分子或分母含多项式，先对多项式进行因式分解（提公因式、公式法），再约去分子分母的公因式，最后化简得到结果，注意结果必须是最简分式或整式。
【解析】
(1) 原式 = $\frac{3b · 2a^3}{4a · b^2}$ = $\frac{6a^3b}{4ab^2}$，约去分子分母的公因式$2ab$，得最终结果。
(2) 原式 = $\frac{3xy · 2x^2y}{5x^2 · 3z^2}$ = $\frac{6x^3y^2}{15x^2z^2}$，约去分子分母的公因式$3x^2$，得最终结果。
(3) 先对多项式因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$3x+3=3(x+1)$，$4x+8=4(x+2)$，
原式 = $\frac{(x+2)(x-2)}{x+1} · \frac{3(x+1)}{4(x+2)}$，约去公因式$(x+2)(x+1)$，化简得最终结果。
(4) 先对多项式因式分解：$a^2-6a+9=(a-3)^2$，$a^2+2a+1=(a+1)^2$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，
原式 = $\frac{(a-3)^2}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{(a+3)(a-3)}$，约去公因式$(a-3)(a+1)$，得最终结果。
【答案】
(1) $\frac{3a^2}{2b}$ (2) $\frac{2xy^2}{5z^2}$ (3) $\frac{3x−6}{4}$ (4) $\frac{a−3}{(a+1)(a+3)}$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，解题时优先约分能简化计算步骤，遇到多项式先因式分解是约分的前提，计算时要注意结果必须化为最简形式，避免出现未约尽的公因式。
【难度系数】
0.8
5 计算$\frac{2}{x^2 -4} ÷ \frac{1}{x^2 -2x}$的结果为（
A.$\frac{x}{x+2}$
B.$\frac{2x}{x+2}$
C.$\frac{2x}{x-2}$
D.$\frac{2}{x(x+2)}$
B
）A.$\frac{x}{x+2}$
B.$\frac{2x}{x+2}$
C.$\frac{2x}{x-2}$
D.$\frac{2}{x(x+2)}$
答案
5. B
解析
【分析】
本题是分式除法运算题，解题思路如下：首先依据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；其次对分子、分母中的多项式进行因式分解，其中$x^2-4$用平方差公式分解，$x^2-2x$用提公因式法分解；最后约去分子分母的公因式，化简后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：$\frac{2}{x^2 -4} ÷ \frac{1}{x^2 -2x}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，可得：
$=\frac{2}{x^2 -4} × (x^2 -2x)$
对多项式因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-2x=x(x-2)$，代入得：
$=\frac{2}{(x+2)(x-2)} × x(x-2)$
约去公因式$(x-2)$，化简得：
$=\frac{2x}{x+2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式除法的运算规则和因式分解的应用，计算时要注意先因式分解再约分，能有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.8
本题是分式除法运算题，解题思路如下：首先依据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；其次对分子、分母中的多项式进行因式分解，其中$x^2-4$用平方差公式分解，$x^2-2x$用提公因式法分解；最后约去分子分母的公因式，化简后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：$\frac{2}{x^2 -4} ÷ \frac{1}{x^2 -2x}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，可得：
$=\frac{2}{x^2 -4} × (x^2 -2x)$
对多项式因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-2x=x(x-2)$，代入得：
$=\frac{2}{(x+2)(x-2)} × x(x-2)$
约去公因式$(x-2)$，化简得：
$=\frac{2x}{x+2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式除法的运算规则和因式分解的应用，计算时要注意先因式分解再约分，能有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.8
6（易错题）若$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，则$x$的取值范围是
$x≠3且x≠−1且x≠2$
。答案
6. $x≠3且x≠−1且x≠2$
解析
【分析】
要使分式除法运算有意义，需同时满足两类要求：第一，所有参与运算的分式的分母不能为0，否则分式本身无意义；第二，作为除数的分式不能为0，因为除法运算中除数不能为0。我们只需逐一找出所有限制x取值的条件，合并所有限制范围就能得到最终结果。
【解析】
要使$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，需同时满足三个条件：
1. 被除式$\frac{x+2}{x-3}$的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 除式$\frac{x+1}{x-2}$的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除式作为除数不能为0：除式的分子不为0，即$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综上，x的取值范围是$x≠3且x≠−1且x≠2$。
【答案】
$x≠3且x≠−1且x≠2$
【知识点】
分式有意义的条件；分式除法运算；除数不为0
【点评】
本题为易错题，解题时很容易只关注被除式的分母不为0，遗漏除式分母不为0、除式本身不为0的限制条件，解题时要全面梳理运算中所有隐含的约束，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要使分式除法运算有意义，需同时满足两类要求：第一，所有参与运算的分式的分母不能为0，否则分式本身无意义；第二，作为除数的分式不能为0，因为除法运算中除数不能为0。我们只需逐一找出所有限制x取值的条件，合并所有限制范围就能得到最终结果。
【解析】
要使$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，需同时满足三个条件：
1. 被除式$\frac{x+2}{x-3}$的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 除式$\frac{x+1}{x-2}$的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除式作为除数不能为0：除式的分子不为0，即$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综上，x的取值范围是$x≠3且x≠−1且x≠2$。
【答案】
$x≠3且x≠−1且x≠2$
【知识点】
分式有意义的条件；分式除法运算；除数不为0
【点评】
本题为易错题，解题时很容易只关注被除式的分母不为0，遗漏除式分母不为0、除式本身不为0的限制条件，解题时要全面梳理运算中所有隐含的约束，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7 教材 P146 例1变式 计算：
(1) $\dfrac{ab^2}{2cd} ÷ \dfrac{-3ax}{4cd}$；
(2) $\dfrac{12x}{7y} ÷ 8x^2y$；
(3) $(a^2 - 4) ÷ \dfrac{a + 2}{a}$；
(4) $\dfrac{a + 3}{1 - a} ÷ \dfrac{a^2 + 3a}{a^2 - 2a + 1}$；
(5) $\dfrac{m}{25 - m^2} ÷ \dfrac{m}{m^2 - 5m}$。
(1) $\dfrac{ab^2}{2cd} ÷ \dfrac{-3ax}{4cd}$；
(2) $\dfrac{12x}{7y} ÷ 8x^2y$；
(3) $(a^2 - 4) ÷ \dfrac{a + 2}{a}$；
(4) $\dfrac{a + 3}{1 - a} ÷ \dfrac{a^2 + 3a}{a^2 - 2a + 1}$；
(5) $\dfrac{m}{25 - m^2} ÷ \dfrac{m}{m^2 - 5m}$。
答案
7. (1) $-\frac{2b^2}{3x}$ (2) $\frac{3}{14xy^2}$ (3) $a^2−2a$ (4) $\frac{1−a}{a}$ (5) $-\frac{m}{m+5}$
解析
【分析】
分式除法运算的核心思路是先将除法转化为乘法（除以一个不为0的分式等于乘这个分式的倒数），再按照分式乘法规则计算：1. 若分子、分母含有多项式，先对多项式因式分解；2. 约去分子分母的公因式；3. 最终结果化为最简分式或整式，运算过程中注意负号的处理。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{ab^2}{2cd} × \dfrac{4cd}{-3ax}$
$=\dfrac{ab^2 · 4cd}{2cd · (-3ax)}$
约去公因式$2acd$，得$-\dfrac{2b^2}{3x}$
(2) 原式$=\dfrac{12x}{7y} × \dfrac{1}{8x^2y}$
$=\dfrac{12x}{7y · 8x^2y}$
约去公因式$4x$，得$\dfrac{3}{14xy^2}$
(3) 先因式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$，原式$=(a+2)(a-2) × \dfrac{a}{a+2}$
约去公因式$a+2$，得$a(a-2)=a^2-2a$
(4) 先因式分解：$a^2+3a=a(a+3)$，$a^2-2a+1=(1-a)^2$，原式$=\dfrac{a+3}{1-a} × \dfrac{(1-a)^2}{a(a+3)}$
约去公因式$(a+3)(1-a)$，得$\dfrac{1-a}{a}$
(5) 先因式分解：$25-m^2=-(m^2-25)=-(m+5)(m-5)$，$m^2-5m=m(m-5)$，原式$=\dfrac{m}{-(m+5)(m-5)} × \dfrac{m(m-5)}{m}$
约去公因式$m(m-5)$，得$-\dfrac{m}{m+5}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2b^2}{3x}$；(2) $\dfrac{3}{14xy^2}$；(3) $a^2-2a$；(4) $\dfrac{1-a}{a}$；(5) $-\dfrac{m}{m+5}$
【知识点】
分式除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式除法的基础运算题，解题时要牢记“变除为乘”的核心步骤，遇到多项式先因式分解再约分，同时要注意符号的变化，避免因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.8
分式除法运算的核心思路是先将除法转化为乘法（除以一个不为0的分式等于乘这个分式的倒数），再按照分式乘法规则计算：1. 若分子、分母含有多项式，先对多项式因式分解；2. 约去分子分母的公因式；3. 最终结果化为最简分式或整式，运算过程中注意负号的处理。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{ab^2}{2cd} × \dfrac{4cd}{-3ax}$
$=\dfrac{ab^2 · 4cd}{2cd · (-3ax)}$
约去公因式$2acd$，得$-\dfrac{2b^2}{3x}$
(2) 原式$=\dfrac{12x}{7y} × \dfrac{1}{8x^2y}$
$=\dfrac{12x}{7y · 8x^2y}$
约去公因式$4x$，得$\dfrac{3}{14xy^2}$
(3) 先因式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$，原式$=(a+2)(a-2) × \dfrac{a}{a+2}$
约去公因式$a+2$，得$a(a-2)=a^2-2a$
(4) 先因式分解：$a^2+3a=a(a+3)$，$a^2-2a+1=(1-a)^2$，原式$=\dfrac{a+3}{1-a} × \dfrac{(1-a)^2}{a(a+3)}$
约去公因式$(a+3)(1-a)$，得$\dfrac{1-a}{a}$
(5) 先因式分解：$25-m^2=-(m^2-25)=-(m+5)(m-5)$，$m^2-5m=m(m-5)$，原式$=\dfrac{m}{-(m+5)(m-5)} × \dfrac{m(m-5)}{m}$
约去公因式$m(m-5)$，得$-\dfrac{m}{m+5}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2b^2}{3x}$；(2) $\dfrac{3}{14xy^2}$；(3) $a^2-2a$；(4) $\dfrac{1-a}{a}$；(5) $-\dfrac{m}{m+5}$
【知识点】
分式除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式除法的基础运算题，解题时要牢记“变除为乘”的核心步骤，遇到多项式先因式分解再约分，同时要注意符号的变化，避免因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.8
