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1[2025江苏南京期末]周老师平时上班有A,B两条路线可以选择,她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图:
第一周上班选择路线A所用时间折线统计图
(1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差
(2)哪一条上班路线所用的时间更稳定?请通过计算说明.
(3)你建议周老师应如何选择上班路线?
第一周上班选择路线A所用时间折线统计图
(1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差
22
min.(2)哪一条上班路线所用的时间更稳定?请通过计算说明.
(3)你建议周老师应如何选择上班路线?
答案
(1)这十天中周老师上班路上所用时间最多的为40 min,最少为18 min,则这十天中周老师上班路上所用时间最多相差40-18=22(min).故答案为22.
(2)路线B所用的时间更稳定.理由如下:
记第一周上班选择路线A所用时间的平均数和方差分别为$\bar{x}_A$,$s_A^2$,第二周上班选择路线B所用时间的平均数和方差分别为$\bar{x}_B$,$s_B^2$. $\bar{x}_A = \frac{1}{5}×(40+22+21+19+18)=24(\mathrm{min})$ , $\bar{x}_B = \frac{1}{5}×(30+27+26+25+27)=27(\mathrm{min})$. $s_A^2 = \frac{1}{5}×[(40-24)^2+(22-24)^2+(21-24)^2+(19-24)^2+(18-24)^2]=66$, $s_B^2 = \frac{1}{5}×[(30-27)^2+(27-27)^2+(26-27)^2+(25-27)^2+(27-27)^2]=2.8$. 因为2.8＜66,即$s_B^2＜s_A^2$,所以路线B所用的时间更稳定.
(3)对比这两周的折线统计图,建议周老师星期一上班选择路线B,星期二到星期五上班选择路线A.(建议合理即可)
(2)路线B所用的时间更稳定.理由如下:
记第一周上班选择路线A所用时间的平均数和方差分别为$\bar{x}_A$,$s_A^2$,第二周上班选择路线B所用时间的平均数和方差分别为$\bar{x}_B$,$s_B^2$. $\bar{x}_A = \frac{1}{5}×(40+22+21+19+18)=24(\mathrm{min})$ , $\bar{x}_B = \frac{1}{5}×(30+27+26+25+27)=27(\mathrm{min})$. $s_A^2 = \frac{1}{5}×[(40-24)^2+(22-24)^2+(21-24)^2+(19-24)^2+(18-24)^2]=66$, $s_B^2 = \frac{1}{5}×[(30-27)^2+(27-27)^2+(26-27)^2+(25-27)^2+(27-27)^2]=2.8$. 因为2.8＜66,即$s_B^2＜s_A^2$,所以路线B所用的时间更稳定.
(3)对比这两周的折线统计图,建议周老师星期一上班选择路线B,星期二到星期五上班选择路线A.(建议合理即可)
解析
【分析】
(1)求十天中上班路上所用时间的最大差值，只需先从两张折线统计图中找出所有时间的最大值和最小值，再作差即可。
(2)数据的稳定性可通过方差判断：方差越小，数据波动越小，稳定性越好。因此先分别计算路线A、B所用时间的平均数，再代入方差公式计算两者的方差，比较方差大小就能判断哪条路线更稳定。
(3)选择路线可结合不同星期两条路线的用时特征，兼顾用时长短和稳定性，给出合理的选择建议即可。
【解析】
(1)观察两张统计图可得，十天中所用时间最长为40min，最短为18min，因此最大差值为：$40-18=22(\mathrm{min})$。
(2)路线B所用时间更稳定，计算过程如下：
设路线A的平均用时为$\bar{x}_A$，方差为$s_A^2$；路线B的平均用时为$\bar{x}_B$，方差为$s_B^2$。
①计算平均数：
$\bar{x}_A = \frac{1}{5}×(40+22+21+19+18)=24(\mathrm{min})$
$\bar{x}_B = \frac{1}{5}×(30+27+26+25+27)=27(\mathrm{min})$
②计算方差：
$s_A^2 = \frac{1}{5}×[(40-24)^2+(22-24)^2+(21-24)^2+(19-24)^2+(18-24)^2]=66$
$s_B^2 = \frac{1}{5}×[(30-27)^2+(27-27)^2+(26-27)^2+(25-27)^2+(27-27)^2]=2.8$
③比较方差：因为$2.8＜66$，即$s_B^2＜s_A^2$，所以路线B所用的时间更稳定。
(3)观察数据可知，周一路线A用时远高于路线B，周二到周五路线A用时短于路线B，因此建议周老师星期一上班选择路线B，星期二到星期五上班选择路线A（建议合理即可）。
【答案】
(1)$22$
(2)路线B所用的时间更稳定，计算说明见解析
(3)建议星期一选择路线B，星期二到星期五选择路线A（合理即可）
【知识点】
折线统计图；平均数计算；方差的应用
【点评】
本题结合生活实际考查统计相关知识，既要求学生能读懂折线统计图获取有效信息，也需要熟练掌握平均数、方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的意义，同时能结合实际场景灵活应用统计结论解决问题，注重知识的实用性。
【难度系数】
0.7
(1)求十天中上班路上所用时间的最大差值，只需先从两张折线统计图中找出所有时间的最大值和最小值，再作差即可。
(2)数据的稳定性可通过方差判断：方差越小，数据波动越小，稳定性越好。因此先分别计算路线A、B所用时间的平均数，再代入方差公式计算两者的方差，比较方差大小就能判断哪条路线更稳定。
(3)选择路线可结合不同星期两条路线的用时特征，兼顾用时长短和稳定性，给出合理的选择建议即可。
【解析】
(1)观察两张统计图可得，十天中所用时间最长为40min，最短为18min，因此最大差值为：$40-18=22(\mathrm{min})$。
(2)路线B所用时间更稳定，计算过程如下：
设路线A的平均用时为$\bar{x}_A$，方差为$s_A^2$；路线B的平均用时为$\bar{x}_B$，方差为$s_B^2$。
①计算平均数：
$\bar{x}_A = \frac{1}{5}×(40+22+21+19+18)=24(\mathrm{min})$
$\bar{x}_B = \frac{1}{5}×(30+27+26+25+27)=27(\mathrm{min})$
②计算方差：
$s_A^2 = \frac{1}{5}×[(40-24)^2+(22-24)^2+(21-24)^2+(19-24)^2+(18-24)^2]=66$
$s_B^2 = \frac{1}{5}×[(30-27)^2+(27-27)^2+(26-27)^2+(25-27)^2+(27-27)^2]=2.8$
③比较方差：因为$2.8＜66$，即$s_B^2＜s_A^2$，所以路线B所用的时间更稳定。
(3)观察数据可知，周一路线A用时远高于路线B，周二到周五路线A用时短于路线B，因此建议周老师星期一上班选择路线B，星期二到星期五上班选择路线A（建议合理即可）。
【答案】
(1)$22$
(2)路线B所用的时间更稳定，计算说明见解析
(3)建议星期一选择路线B，星期二到星期五选择路线A（合理即可）
【知识点】
折线统计图；平均数计算；方差的应用
【点评】
本题结合生活实际考查统计相关知识，既要求学生能读懂折线统计图获取有效信息，也需要熟练掌握平均数、方差的计算方法，理解方差反映数据波动程度的意义，同时能结合实际场景灵活应用统计结论解决问题，注重知识的实用性。
【难度系数】
0.7
2[2025 山东淄博期中]某中学广播站计划招一批广播员,有19名学生报名参加选拔.报名的学生需进行普通话、情境表达、个人才艺三项测试,每项测试均由五位评委打分(满分100分),取平均数作为该项的测试成绩,再按普通话占50%,情境表达占30%,个人才艺占20%计算出每人的总评成绩.根据以下图表解答相关问题.
表1:1号和2号选手的三项测试成绩和总评成绩统计表:
表2:1号和2号选手的个人才艺测试评委评分、平均数和方差统计表:
(1)利用表2数据作答:
①2号选手的评委评分的众数是
②求$s_1^2$和$s_2^2$的值,并比较大小.
(2)计算2号选手的总评成绩.
(3)如图是这19名学生总评成绩的频数直方图(不完整),学校决定根据总评成绩$x$择优选拔9名广播员.(A:$60≤x＜70$;B:$70≤x＜80$;C:$80≤x＜90$;D:$90≤x≤100$)
①补充完整总评成绩频数直方图.
②试分析1号、2号选手是否入选,并说明理由.
表1:1号和2号选手的三项测试成绩和总评成绩统计表:
表2:1号和2号选手的个人才艺测试评委评分、平均数和方差统计表:
(1)利用表2数据作答:
①2号选手的评委评分的众数是
84
分,平均数是85
分.②求$s_1^2$和$s_2^2$的值,并比较大小.
(2)计算2号选手的总评成绩.
(3)如图是这19名学生总评成绩的频数直方图(不完整),学校决定根据总评成绩$x$择优选拔9名广播员.(A:$60≤x＜70$;B:$70≤x＜80$;C:$80≤x＜90$;D:$90≤x≤100$)
①补充完整总评成绩频数直方图.
②试分析1号、2号选手是否入选,并说明理由.
答案
(1)①由题中表2可知,2号选手的评委评分中,出现次数最多的是84分,故众数为84分,平均数为$\frac{1}{5}×(85+84+84.5+84+87.5)=85$(分).故答案为84,85.
②$s_1^2 = \frac{1}{5}×[(85-85)^2+(80-85)^2+(83-85)^2+(90-85)^2+(87-85)^2] = 11.6$, $s_2^2 = \frac{1}{5}×[(85-85)^2+(84-85)^2+(84.5-85)^2+(84-85)^2+(87.5-85)^2] = 1.7$,所以$s_1^2＞s_2^2$.
(2)2号选手的总评成绩为$86×50\% + 80×30\% + 85×20\% = 84$(分).
(3)①C组人数为$19-3-7-3=6$(人),补充完整总评成绩频数直方图如下:
②1号选手没有入选,2号选手入选.理由:由总评成绩频数直方图可得择优选拔的9名广播员的总评成绩应在C:$80≤x＜90$、D:$90≤x≤100$两组内,而1号选手的总评成绩为79.5分,不在C、D两组范围内,2号选手的总评成绩为84分,在C组范围内,所以1号选手没有入选,2号选手入选.
解析
【分析】
（1）①求众数只需找出2号选手评委评分中出现次数最多的数；求算术平均数，将5个评分相加后除以5即可。②计算方差直接套用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，分别代入1号、2号的评分和对应平均数计算后比较大小即可。
（2）总评成绩为加权平均数，按照普通话、情境表达、个人才艺对应的权重，将2号的三项成绩分别乘对应权重后求和即可。
（3）①已知总人数19，减去A、B、D组的频数即可得到C组的频数，依此补全直方图。②要选拔9人，先统计高分段人数：D组共3人、C组共6人，两组加起来刚好9人，说明入选分数线为80分及以上，再对比1号、2号总评成绩所在区间即可判断是否入选。
【解析】
(1)①观察2号选手的评委评分，84分出现次数最多，因此众数为84分；
平均数：$\frac{1}{5}×(85+84+84.5+84+87.5)=85$（分）。
②根据方差公式计算：
$s_1^2 = \frac{1}{5}×[(85-85)^2+(80-85)^2+(83-85)^2+(90-85)^2+(87-85)^2] = 11.6$，
$s_2^2 = \frac{1}{5}×[(85-85)^2+(84-85)^2+(84.5-85)^2+(84-85)^2+(87.5-85)^2] = 1.7$，
因此$s_1^2＞s_2^2$。
(2)2号选手三项测试成绩分别为普通话86分、情境表达80分、个人才艺85分，总评成绩为：
$86×50\% + 80×30\% + 85×20\% = 84$（分）。
(3)①C组人数为$19-3-7-3=6$（人），补全总评成绩频数直方图如下：
②择优选拔的9名广播员总评成绩均在C、D两组（即80分及以上），1号选手总评成绩为79.5分，属于B组，不在入选范围内；2号选手总评成绩为84分，属于C组，在入选范围内。
【答案】
(1)①$\boxed{84}$，$\boxed{85}$；②$s_1^2=11.6$，$s_2^2=1.7$，$s_1^2＞s_2^2$
(2)$\boxed{84}$分
(3)①C组人数为6人，补全直方图：
②1号选手没有入选，2号选手入选。
【知识点】
统计量计算，加权平均数，频数直方图
【点评】
本题结合实际招聘场景，综合考查了多个基础统计概念的计算和图表信息提取能力，贴近生活实际，侧重对统计基础知识的理解和灵活运用。
【难度系数】
0.7
（1）①求众数只需找出2号选手评委评分中出现次数最多的数；求算术平均数，将5个评分相加后除以5即可。②计算方差直接套用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，分别代入1号、2号的评分和对应平均数计算后比较大小即可。
（2）总评成绩为加权平均数，按照普通话、情境表达、个人才艺对应的权重，将2号的三项成绩分别乘对应权重后求和即可。
（3）①已知总人数19，减去A、B、D组的频数即可得到C组的频数，依此补全直方图。②要选拔9人，先统计高分段人数：D组共3人、C组共6人，两组加起来刚好9人，说明入选分数线为80分及以上，再对比1号、2号总评成绩所在区间即可判断是否入选。
【解析】
(1)①观察2号选手的评委评分，84分出现次数最多，因此众数为84分；
平均数：$\frac{1}{5}×(85+84+84.5+84+87.5)=85$（分）。
②根据方差公式计算：
$s_1^2 = \frac{1}{5}×[(85-85)^2+(80-85)^2+(83-85)^2+(90-85)^2+(87-85)^2] = 11.6$，
$s_2^2 = \frac{1}{5}×[(85-85)^2+(84-85)^2+(84.5-85)^2+(84-85)^2+(87.5-85)^2] = 1.7$，
因此$s_1^2＞s_2^2$。
(2)2号选手三项测试成绩分别为普通话86分、情境表达80分、个人才艺85分，总评成绩为：
$86×50\% + 80×30\% + 85×20\% = 84$（分）。
(3)①C组人数为$19-3-7-3=6$（人），补全总评成绩频数直方图如下：
②择优选拔的9名广播员总评成绩均在C、D两组（即80分及以上），1号选手总评成绩为79.5分，属于B组，不在入选范围内；2号选手总评成绩为84分，属于C组，在入选范围内。
【答案】
(1)①$\boxed{84}$，$\boxed{85}$；②$s_1^2=11.6$，$s_2^2=1.7$，$s_1^2＞s_2^2$
(2)$\boxed{84}$分
(3)①C组人数为6人，补全直方图：
②1号选手没有入选，2号选手入选。
【知识点】
统计量计算，加权平均数，频数直方图
【点评】
本题结合实际招聘场景，综合考查了多个基础统计概念的计算和图表信息提取能力，贴近生活实际，侧重对统计基础知识的理解和灵活运用。
【难度系数】
0.7
3 AI名师编审 甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位:分)如下:15,18,15,24,按照“组内离差平方和最小”的方法,将竞赛成绩分成两组.
答案
将4个数据从小到大排序:15,15,18,24. 把4个数据分成两组,共有3种情况:第一种情况,第一组1个数据{15},离差平方和为0;第二组3个数据{15,18,24},平均数是19,离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=42$,故第一种情况的组内离差平方和为$0+42=42$. 第二种情况,第一组2个数据{15,15},平均数是15,离差平方和为0;第二组2个数据{18,24},平均数是21,离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=18$,故第二种情况的组内离差平方和为$0+18=18$. 第三种情况,第一组3个数据{15,15,18},平均数是16,离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=6$;第二组1个数据{24},离差平方和为0,故第三种情况的组内离差平方和为$0+6=6$. 因为6＜18＜42,所以第三种情况的组内离差平方和最小,所以将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18},{24}.
解析
【分析】
要解决这道题，核心是找到组内离差平方和总和最小的分组方式。首先将数据从小到大排序，便于将数值相近的数归为一组，减少无效计算；其次4个数据分成两个非空组，共有3种不同的分组情况（1个数据+3个数据、2个数据+2个数据、3个数据+1个数据）；接下来对每种分组，先计算每组的平均数，再算出每组的离差平方和，相加得到该分组的总离差平方和；最后比较3种分组的总离差平方和，数值最小的对应的分组就是最终结果。
【解析】
第一步：将4个竞赛成绩从小到大排序：15，15，18，24。
第二步：枚举所有分组情况，分别计算总离差平方和：
① 第一种分组：{15}和{15,18,24}
单个数据的组离差平方和为0；
3个数据组的平均数为$\frac{15+18+24}{3}=19$，离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$；
总离差平方和为$0+42=42$。
② 第二种分组：{15,15}和{18,24}
前一组平均数为$\frac{15+15}{2}=15$，离差平方和为$(15-15)^2+(15-15)^2=0$；
后一组平均数为$\frac{18+24}{2}=21$，离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$；
总离差平方和为$0+18=18$。
③ 第三种分组：{15,15,18}和{24}
前一组平均数为$\frac{15+15+18}{3}=16$，离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$；
单个数据的组离差平方和为0；
总离差平方和为$6+0=6$。
第三步：比较大小得$6＜18＜42$，第三种分组的总离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算，数据分组
【点评】
本题考查离差平方和的实际应用，解题关键是合理枚举所有可能的分组方式，准确计算每组的平均数与离差平方和，计算过程中需注意平方运算、加法运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，核心是找到组内离差平方和总和最小的分组方式。首先将数据从小到大排序，便于将数值相近的数归为一组，减少无效计算；其次4个数据分成两个非空组，共有3种不同的分组情况（1个数据+3个数据、2个数据+2个数据、3个数据+1个数据）；接下来对每种分组，先计算每组的平均数，再算出每组的离差平方和，相加得到该分组的总离差平方和；最后比较3种分组的总离差平方和，数值最小的对应的分组就是最终结果。
【解析】
第一步：将4个竞赛成绩从小到大排序：15，15，18，24。
第二步：枚举所有分组情况，分别计算总离差平方和：
① 第一种分组：{15}和{15,18,24}
单个数据的组离差平方和为0；
3个数据组的平均数为$\frac{15+18+24}{3}=19$，离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$；
总离差平方和为$0+42=42$。
② 第二种分组：{15,15}和{18,24}
前一组平均数为$\frac{15+15}{2}=15$，离差平方和为$(15-15)^2+(15-15)^2=0$；
后一组平均数为$\frac{18+24}{2}=21$，离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$；
总离差平方和为$0+18=18$。
③ 第三种分组：{15,15,18}和{24}
前一组平均数为$\frac{15+15+18}{3}=16$，离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$；
单个数据的组离差平方和为0；
总离差平方和为$6+0=6$。
第三步：比较大小得$6＜18＜42$，第三种分组的总离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算，数据分组
【点评】
本题考查离差平方和的实际应用，解题关键是合理枚举所有可能的分组方式，准确计算每组的平均数与离差平方和，计算过程中需注意平方运算、加法运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
