登录
1[2026黑龙江大庆调研,中]小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1,2,3,4,5,6这六个数字中选出四个数字,玩猜数游戏.下列选项中,能确定该同学选出的四个数字含有1的是 (
A.小庆选出四个数字的方差等于4.25
B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4
A
)A.小庆选出四个数字的方差等于4.25
B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4
答案
A 【解析】A 选项,当小庆选出的数字没有1,选出的数字为2,3,5,6时,方差最大,此时$\bar{x}=(2+3+5+6)÷4=4$,$s^2=\frac{1}{4}[(2-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2.5$;当小庆选出的数字为1,2,5,6时,$\bar{x}=(1+2+5+6)÷4=3.5$,$s^2=\frac{1}{4}[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2]=4.25$,故该选项符合题意;B 选项,当小铁选出的数字为2,3,5,6时,$\bar{x}=(2+3+5+6)÷4=4$,$s^2=\frac{1}{4}[(2-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2.5$,故该选项不符合题意;C 选项,当小娜选出的数字为2,3,4,5时,$\bar{x}=(2+3+4+5)÷4=3.5$,故该选项不符合题意;D 选项,当小萌选出的数字为2,4,5,6或2,3,4,6时,最大数和最小数的差也是4,故该选项不符合题意. 故选 A。
解析
【分析】
本题需判断哪个选项能确定选出的4个数字一定含有1，解题采用“反例排除法”：对每个选项，尝试找出不含1的4个数字满足该选项的条件，若能找到则该选项无法确定含1，若找不到则该选项符合要求。解题过程中需熟练运用平均数、方差、极差（最大数减最小数）的计算方法逐一验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若选出的数字不含1，要使方差最大，需选择最分散的4个数字，即2,3,5,6。计算得平均数$\bar{x}=(2+3+5+6)÷4=4$，方差$s^2=\frac{1}{4}[(2-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2.5＜4.25$，说明不含1的4个数字方差最大仅为2.5，无法达到4.25。再验证含1的情况：选1,2,5,6，平均数$\bar{x}=(1+2+5+6)÷4=3.5$，方差$s^2=\frac{1}{4}[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2]=4.25$，符合条件，因此A选项能确定一定含1。
B选项：选不含1的数字2,3,5,6，计算得方差为2.5，满足条件，说明该情况不一定含1，不符合要求。
C选项：选不含1的数字2,3,4,5，平均数$\bar{x}=(2+3+4+5)÷4=3.5$，满足条件，说明该情况不一定含1，不符合要求。
D选项：选不含1的数字2,3,4,6，最大数6与最小数2的差为4，满足条件，说明该情况不一定含1，不符合要求。
综上，只有A选项符合题意。
【答案】
A
【知识点】
方差计算，平均数计算，极差定义
【点评】
本题侧重考查统计特征量的实际应用，采用举反例排除错误选项的方法可快速解题，要求学生熟练掌握平均数、方差的运算规则，同时锻炼逻辑推理和数据验证的能力。
【难度系数】
0.6
本题需判断哪个选项能确定选出的4个数字一定含有1，解题采用“反例排除法”：对每个选项，尝试找出不含1的4个数字满足该选项的条件，若能找到则该选项无法确定含1，若找不到则该选项符合要求。解题过程中需熟练运用平均数、方差、极差（最大数减最小数）的计算方法逐一验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若选出的数字不含1，要使方差最大，需选择最分散的4个数字，即2,3,5,6。计算得平均数$\bar{x}=(2+3+5+6)÷4=4$，方差$s^2=\frac{1}{4}[(2-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2.5＜4.25$，说明不含1的4个数字方差最大仅为2.5，无法达到4.25。再验证含1的情况：选1,2,5,6，平均数$\bar{x}=(1+2+5+6)÷4=3.5$，方差$s^2=\frac{1}{4}[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2]=4.25$，符合条件，因此A选项能确定一定含1。
B选项：选不含1的数字2,3,5,6，计算得方差为2.5，满足条件，说明该情况不一定含1，不符合要求。
C选项：选不含1的数字2,3,4,5，平均数$\bar{x}=(2+3+4+5)÷4=3.5$，满足条件，说明该情况不一定含1，不符合要求。
D选项：选不含1的数字2,3,4,6，最大数6与最小数2的差为4，满足条件，说明该情况不一定含1，不符合要求。
综上，只有A选项符合题意。
【答案】
A
【知识点】
方差计算，平均数计算，极差定义
【点评】
本题侧重考查统计特征量的实际应用，采用举反例排除错误选项的方法可快速解题，要求学生熟练掌握平均数、方差的运算规则，同时锻炼逻辑推理和数据验证的能力。
【难度系数】
0.6
2[中]某天的体育课上,老师测量了某班同学的身高,恰巧小明这日请假没来,经过计算得知,除了小明外,该班其他同学身高的平均数为170 cm,方差为a.第二天,小明来到学校,老师帮他补测了身高,发现他的身高也是170 cm,此时全班同学身高的方差为b,那么a与b的大小关系a
＞
b.(填“＜”“＞”或“=”)答案
＞ 【解析】因为小明的身高等于其他同学身高的平均数,所以计算方差的式子中分子不变,分母扩大,所以方差将变小,即a＞b. 故答案为＞。
解析
【分析】
解题时先回忆方差的计算公式，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据的波动大小。首先判断加入小明的身高后全班身高平均数的变化：已知原数据（不含小明）的平均数是170cm，小明的身高恰好等于该平均数，因此加入小明的身高后全班平均数仍为170cm；再分别对比方差a和b的分子、分母：新增的小明身高与平均数的差的平方为0，因此方差的分子不变；而方差的分母从“除小明外的人数”变为“全班总人数”，分母增大，因此方差值变小，即可推出a和b的大小关系。
【解析】
设该班除小明外共有$n$名同学，身高分别为$x_1,x_2,\dots,x_n$。
由题意得，除小明外同学身高的平均数为$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=170$，
原方差$a=\frac{(x_1-170)^2+(x_2-170)^2+\dots+(x_n-170)^2}{n}$，即分子部分$(x_1-170)^2+\dots+(x_n-170)^2=an$。
加入小明的身高170cm后，全班身高的平均数为$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n +170}{n+1}=\frac{170n+170}{n+1}=170$，平均数不变。
此时全班方差$b=\frac{(x_1-170)^2+\dots+(x_n-170)^2+(170-170)^2}{n+1}=\frac{an}{n+1}$。
因为$\frac{n}{n+1}＜1$，且方差$a$为正数，所以$b＜a$，即$a＞b$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的计算，平均数的性质
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题核心是明确加入与原平均数相等的数据时，平均数不变，方差的分子不变、分母增大，因此方差会减小，属于方差相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆方差的计算公式，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据的波动大小。首先判断加入小明的身高后全班身高平均数的变化：已知原数据（不含小明）的平均数是170cm，小明的身高恰好等于该平均数，因此加入小明的身高后全班平均数仍为170cm；再分别对比方差a和b的分子、分母：新增的小明身高与平均数的差的平方为0，因此方差的分子不变；而方差的分母从“除小明外的人数”变为“全班总人数”，分母增大，因此方差值变小，即可推出a和b的大小关系。
【解析】
设该班除小明外共有$n$名同学，身高分别为$x_1,x_2,\dots,x_n$。
由题意得，除小明外同学身高的平均数为$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=170$，
原方差$a=\frac{(x_1-170)^2+(x_2-170)^2+\dots+(x_n-170)^2}{n}$，即分子部分$(x_1-170)^2+\dots+(x_n-170)^2=an$。
加入小明的身高170cm后，全班身高的平均数为$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n +170}{n+1}=\frac{170n+170}{n+1}=170$，平均数不变。
此时全班方差$b=\frac{(x_1-170)^2+\dots+(x_n-170)^2+(170-170)^2}{n+1}=\frac{an}{n+1}$。
因为$\frac{n}{n+1}＜1$，且方差$a$为正数，所以$b＜a$，即$a＞b$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的计算，平均数的性质
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题核心是明确加入与原平均数相等的数据时，平均数不变，方差的分子不变、分母增大，因此方差会减小，属于方差相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
3[中]为迎接五月份全县中考九年级体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是
其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是
$\frac{8}{7}$
。答案
$\frac{8}{7}$ 【解析】因为平均数是12,所以这组数据的总和为12×7=84,所以被墨汁覆盖的三天的个数的总和为84-(11+12+13+12)=36. 因为这组数据唯一的众数是13,所以被墨汁覆盖的三个数分别为10,13,13,所以$s^2=\frac{1}{7}×[(11-12)^2+(12-12)^2+(10-12)^2+(13-12)^2+(13-12)^2+(12-12)^2]=\frac{8}{7}$。
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，根据平均数的定义，先求出这一周7天做引体向上的总个数，减去已知4天的个数和，得到被墨汁覆盖的三天的个数之和；第二步，结合“唯一众数是13”的条件分析：现有数据中12已经出现2次，要让13成为唯一众数，需13的出现次数多于2次，因此被覆盖的三天中至少有2个13，结合三天的总和即可求出三个被覆盖的数；第三步，将所有数据代入方差公式计算得到结果。
【解析】
解：
∵ 这组数据的平均数是12，
∴ 7天做引体向上的总个数为 $12×7=84$，
已知4天的个数和为 $11+12+13+12=48$，
∴ 被覆盖的三天的个数和为 $84-48=36$。
∵ 这组数据的唯一众数是13，现有数据中12共出现2次，因此13的出现次数需大于2次，即被覆盖的三天中至少有2个13，
则第三个被覆盖的数为 $36-13-13=10$，即被覆盖的三个数为10、13、13，符合唯一众数的要求。
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{7}×[(11-12)^2+(12-12)^2+(13-12)^2+(10-12)^2+(13-12)^2+(13-12)^2+(12-12)^2]$
$=\frac{1}{7}×(1+0+1+4+1+1+0)$
$=\frac{8}{7}$
【答案】
$\frac{8}{7}$
【知识点】
平均数的计算，众数的定义，方差的计算
【点评】
本题是统计类综合基础题，解题的核心是结合平均数和唯一众数的性质，先推导出被墨汁覆盖的三个数，再代入方差公式计算，解题时要注意“唯一众数”的限制条件，避免错判13的出现次数。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：第一步，根据平均数的定义，先求出这一周7天做引体向上的总个数，减去已知4天的个数和，得到被墨汁覆盖的三天的个数之和；第二步，结合“唯一众数是13”的条件分析：现有数据中12已经出现2次，要让13成为唯一众数，需13的出现次数多于2次，因此被覆盖的三天中至少有2个13，结合三天的总和即可求出三个被覆盖的数；第三步，将所有数据代入方差公式计算得到结果。
【解析】
解：
∵ 这组数据的平均数是12，
∴ 7天做引体向上的总个数为 $12×7=84$，
已知4天的个数和为 $11+12+13+12=48$，
∴ 被覆盖的三天的个数和为 $84-48=36$。
∵ 这组数据的唯一众数是13，现有数据中12共出现2次，因此13的出现次数需大于2次，即被覆盖的三天中至少有2个13，
则第三个被覆盖的数为 $36-13-13=10$，即被覆盖的三个数为10、13、13，符合唯一众数的要求。
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{7}×[(11-12)^2+(12-12)^2+(13-12)^2+(10-12)^2+(13-12)^2+(13-12)^2+(12-12)^2]$
$=\frac{1}{7}×(1+0+1+4+1+1+0)$
$=\frac{8}{7}$
【答案】
$\frac{8}{7}$
【知识点】
平均数的计算，众数的定义，方差的计算
【点评】
本题是统计类综合基础题，解题的核心是结合平均数和唯一众数的性质，先推导出被墨汁覆盖的三个数，再代入方差公式计算，解题时要注意“唯一众数”的限制条件，避免错判13的出现次数。
【难度系数】
0.6
4 新考法[2026安徽合肥调研,较难]为了适应新的考试评价改革,需要对学生的原始分进行转换,某班一次数学测试中,全班最高分是95分,最低分是45分.现将全班学生成绩作线性转换,原始分记为x,转换后的分数记为y,满足$y=a+bx$,其中$b＞0$.转换后使得最高分为100分,最低分为30分.
(1)某同学原始分是80分,则转换后的分数是
(2)若全班原始分数的方差是225,则转换后的班级分数的方差是
(1)某同学原始分是80分,则转换后的分数是
79
.(2)若全班原始分数的方差是225,则转换后的班级分数的方差是
441
.答案
(1)79 (2)441 【解析】(1)由转换分规则,得$\begin{cases}a+95b=100,\\a+45b=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-33,\\b=1.4,\end{cases}$所以$y=-33+1.4x$. 当x=80时,$y=-33+1.4×80=79$. 故答案为79.
(2) 因为$y_1=a+bx_1,y_2=a+bx_2,y_3=a+bx_3,\dots,y_n=a+bx_n$,所以$\bar{y}=\frac{1}{n}(y_1+y_2+y_3+\dots+y_n)=a+b\bar{x}$,
$s_y^2=\frac{(y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+(y_3-\bar{y})^2+\dots+(y_n-\bar{y})^2}{n}$
$=\frac{(bx_1-b\bar{x})^2+(bx_2-b\bar{x})^2+(bx_3-b\bar{x})^2+\dots+(bx_n-b\bar{x})^2}{n}$
$=\frac{b^2[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]}{n}$
$=b^2s_x^2=1.4^2×225=441$. 故答案为441。
(2) 因为$y_1=a+bx_1,y_2=a+bx_2,y_3=a+bx_3,\dots,y_n=a+bx_n$,所以$\bar{y}=\frac{1}{n}(y_1+y_2+y_3+\dots+y_n)=a+b\bar{x}$,
$s_y^2=\frac{(y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+(y_3-\bar{y})^2+\dots+(y_n-\bar{y})^2}{n}$
$=\frac{(bx_1-b\bar{x})^2+(bx_2-b\bar{x})^2+(bx_3-b\bar{x})^2+\dots+(bx_n-b\bar{x})^2}{n}$
$=\frac{b^2[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]}{n}$
$=b^2s_x^2=1.4^2×225=441$. 故答案为441。
解析
【分析】
(1) 已知成绩转换遵循一次函数关系$y=a+bx$，题干给出了原始分最高分、最低分对应的转换后分数，可将这两组对应值代入函数式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解得到$a$、$b$后确定转换公式，再代入原始分80即可计算出转换后分数。
(2) 方差反映数据的波动程度，当数据进行线性变换时，加常数项不会改变数据波动，仅乘的系数会影响波动大小，因此转换后数据的方差等于原方差乘以系数$b$的平方，代入已知条件计算即可。
【解析】
(1) 根据题意，将最高分、最低分的对应值代入$y=a+bx$，得方程组：
$\begin{cases}a+95b=100\\a+45b=30\end{cases}$
两式相减消去$a$，得$50b=70$，解得$b=1.4$，
将$b=1.4$代入$a+45b=30$，得$a=30-45×1.4=-33$，
因此转换公式为$y=-33+1.4x$，
当$x=80$时，$y=-33+1.4×80=79$。
(2) 设原始分数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为$\bar{x}$，已知原始分方差$s_x^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]=225$，
转换后数据为$y_i=a+bx_i$，其平均数$\bar{y}=a+b\bar{x}$，
则转换后方差：
$\begin{aligned}s_y^2&=\frac{1}{n}[(y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+\dots+(y_n-\bar{y})^2]\\&=\frac{1}{n}[(bx_1-b\bar{x})^2+(bx_2-b\bar{x})^2+\dots+(bx_n-b\bar{x})^2]\\&=b^2·\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=b^2s_x^2\end{aligned}$
代入$b=1.4$、$s_x^2=225$，得$s_y^2=1.4^2×225=441$。
【答案】
(1)79；(2)441
【知识点】
二元一次方程组应用；方差的性质；一次函数应用
【点评】
本题结合成绩转换的实际场景，综合考查代数计算与统计性质的应用，既需要熟练掌握二元一次方程组的求解方法，也需要理解数据线性变换后方差的变化规律，能有效检验知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知成绩转换遵循一次函数关系$y=a+bx$，题干给出了原始分最高分、最低分对应的转换后分数，可将这两组对应值代入函数式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解得到$a$、$b$后确定转换公式，再代入原始分80即可计算出转换后分数。
(2) 方差反映数据的波动程度，当数据进行线性变换时，加常数项不会改变数据波动，仅乘的系数会影响波动大小，因此转换后数据的方差等于原方差乘以系数$b$的平方，代入已知条件计算即可。
【解析】
(1) 根据题意，将最高分、最低分的对应值代入$y=a+bx$，得方程组：
$\begin{cases}a+95b=100\\a+45b=30\end{cases}$
两式相减消去$a$，得$50b=70$，解得$b=1.4$，
将$b=1.4$代入$a+45b=30$，得$a=30-45×1.4=-33$，
因此转换公式为$y=-33+1.4x$，
当$x=80$时，$y=-33+1.4×80=79$。
(2) 设原始分数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为$\bar{x}$，已知原始分方差$s_x^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]=225$，
转换后数据为$y_i=a+bx_i$，其平均数$\bar{y}=a+b\bar{x}$，
则转换后方差：
$\begin{aligned}s_y^2&=\frac{1}{n}[(y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+\dots+(y_n-\bar{y})^2]\\&=\frac{1}{n}[(bx_1-b\bar{x})^2+(bx_2-b\bar{x})^2+\dots+(bx_n-b\bar{x})^2]\\&=b^2·\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=b^2s_x^2\end{aligned}$
代入$b=1.4$、$s_x^2=225$，得$s_y^2=1.4^2×225=441$。
【答案】
(1)79；(2)441
【知识点】
二元一次方程组应用；方差的性质；一次函数应用
【点评】
本题结合成绩转换的实际场景，综合考查代数计算与统计性质的应用，既需要熟练掌握二元一次方程组的求解方法，也需要理解数据线性变换后方差的变化规律，能有效检验知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5[2025湖南湘西州期末,中]已知数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是10,方差是6,那么数据$x_1+3,x_2+3,x_3+3$的平均数和方差分别是 (
A.13,6
B.13,9
C.10,6
D.10,9
A
)A.13,6
B.13,9
C.10,6
D.10,9
答案
A 【解析】因为数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是10,方差是6,所以$x_1+3,x_2+3,x_3+3$的平均数是13,方差是6,故选 A。
解析
【分析】
解题时可先回忆平均数和方差的定义，也可直接运用二者的变化规律求解：第一步计算平均数，原数据每个数都加3，总和会增加3个3，因此平均数也会增加3；第二步计算方差，方差反映数据的波动程度，每个数据加相同的数时，数据间的差值不变，波动程度不变，因此方差和原数据相等。若对规律记忆不牢，也可代入平均数、方差的公式逐步推导验证。
【解析】
1. 计算新数据的平均数：
已知原数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是10，可得$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=10$，即$x_1+x_2+x_3=30$。
新数据的平均数为：
$\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+(x_3+3)}{3}=\frac{(x_1+x_2+x_3)+9}{3}=\frac{30+9}{3}=13$。
2. 计算新数据的方差：
已知原数据的方差是6，可得$\frac{(x_1-10)^2+(x_2-10)^2+(x_3-10)^2}{3}=6$。
新数据的平均数为13，因此新方差为：
$\frac{(x_1+3-13)^2+(x_2+3-13)^2+(x_3+3-13)^2}{3}$
$=\frac{(x_1-10)^2+(x_2-10)^2+(x_3-10)^2}{3}=6$。
综上，新数据的平均数是13，方差是6，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题核心考查平均数和方差的变化规律，记住“一组数据每个数加减同一个常数时，平均数同步加减这个常数，方差不变”的规律，可快速得出答案，也可通过基础公式推导验证，避免记错规律出错。
【难度系数】
0.7
解题时可先回忆平均数和方差的定义，也可直接运用二者的变化规律求解：第一步计算平均数，原数据每个数都加3，总和会增加3个3，因此平均数也会增加3；第二步计算方差，方差反映数据的波动程度，每个数据加相同的数时，数据间的差值不变，波动程度不变，因此方差和原数据相等。若对规律记忆不牢，也可代入平均数、方差的公式逐步推导验证。
【解析】
1. 计算新数据的平均数：
已知原数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是10，可得$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=10$，即$x_1+x_2+x_3=30$。
新数据的平均数为：
$\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+(x_3+3)}{3}=\frac{(x_1+x_2+x_3)+9}{3}=\frac{30+9}{3}=13$。
2. 计算新数据的方差：
已知原数据的方差是6，可得$\frac{(x_1-10)^2+(x_2-10)^2+(x_3-10)^2}{3}=6$。
新数据的平均数为13，因此新方差为：
$\frac{(x_1+3-13)^2+(x_2+3-13)^2+(x_3+3-13)^2}{3}$
$=\frac{(x_1-10)^2+(x_2-10)^2+(x_3-10)^2}{3}=6$。
综上，新数据的平均数是13，方差是6，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题核心考查平均数和方差的变化规律，记住“一组数据每个数加减同一个常数时，平均数同步加减这个常数，方差不变”的规律，可快速得出答案，也可通过基础公式推导验证，避免记错规律出错。
【难度系数】
0.7
6[2025吉林长春质检,中]小明计算出一组数据的方差为$s^2$,小丽将这组数据中每个数据都除以2,所得新数据的方差是 (
A.$\frac{1}{2}s^2$
B.$2s^2$
C.$\frac{1}{4}s^2$
D.$4s^2$
C
)A.$\frac{1}{2}s^2$
B.$2s^2$
C.$\frac{1}{4}s^2$
D.$4s^2$
答案
C 【解析】设一组数据为$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$,它的平均数为$\bar{x}$,则方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$. 因为小丽将这组数据中每个数据都除以2,所以所得新数据的平均数为$\frac{1}{2}\bar{x}$,所以其方差为$\frac{1}{n}[(\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}\bar{x})^2+(\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{2}\bar{x})^2+\dots+(\frac{1}{2}x_n-\frac{1}{2}\bar{x})^2]=\frac{1}{4n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]=\frac{1}{4}s^2$,故选 C。
解析
【分析】
解题时可先回忆方差的计算公式，我们可以先设出原数据、原平均数，再推导新数据的平均数，最后代入方差公式整理得到新方差与原方差的关系；也可以直接利用方差的变化规律快速求解：若一组数据的每个数据都乘k（k≠0），则新数据的方差是原方差的k²倍，本题中每个数据除以2相当于乘$\frac{1}{2}$，可直接套用规律计算。
【解析】
设原数据为$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$，它的平均数为$\bar{x}$，根据方差的定义，原方差：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
将每个数据都除以2后，新数据的平均数为$\frac{1}{2}\bar{x}$，代入方差公式计算新方差：
$\begin{aligned}s_{\mathrm{新}}^2&=\frac{1}{n}[(\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}\bar{x})^2+(\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{2}\bar{x})^2+\dots+(\frac{1}{2}x_n-\frac{1}{2}\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[\frac{1}{4}(x_1-\bar{x})^2+\frac{1}{4}(x_2-\bar{x})^2+\dots+\frac{1}{4}(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{4}·\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{4}s^2\end{aligned}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的定义；方差的变化规律
【点评】
本题考查方差的相关计算，既可以通过方差公式逐步推导得到结果，也可以直接运用数据变换与方差的变化规律快速解题，解题时注意区分方差和平均数的变化规律，避免混淆。
【难度系数】
0.6
解题时可先回忆方差的计算公式，我们可以先设出原数据、原平均数，再推导新数据的平均数，最后代入方差公式整理得到新方差与原方差的关系；也可以直接利用方差的变化规律快速求解：若一组数据的每个数据都乘k（k≠0），则新数据的方差是原方差的k²倍，本题中每个数据除以2相当于乘$\frac{1}{2}$，可直接套用规律计算。
【解析】
设原数据为$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$，它的平均数为$\bar{x}$，根据方差的定义，原方差：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
将每个数据都除以2后，新数据的平均数为$\frac{1}{2}\bar{x}$，代入方差公式计算新方差：
$\begin{aligned}s_{\mathrm{新}}^2&=\frac{1}{n}[(\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}\bar{x})^2+(\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{2}\bar{x})^2+\dots+(\frac{1}{2}x_n-\frac{1}{2}\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[\frac{1}{4}(x_1-\bar{x})^2+\frac{1}{4}(x_2-\bar{x})^2+\dots+\frac{1}{4}(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{4}·\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=\frac{1}{4}s^2\end{aligned}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的定义；方差的变化规律
【点评】
本题考查方差的相关计算，既可以通过方差公式逐步推导得到结果，也可以直接运用数据变换与方差的变化规律快速解题，解题时注意区分方差和平均数的变化规律，避免混淆。
【难度系数】
0.6
7[2025 山东威海期中,中]一组数据$a-1,b-1,c-1,d-1,e-1,f-1,g-1$的平均数是$m$,方差是$n$,则另一组数据$2a-3,2b-3,2c-3,2d-3,2e-3,2f-3,2g-3$的平均数是
刷素养 走向重高
$2m-1$
,方差是$4n$
.刷素养 走向重高
答案
$2m-1$ $4n$ 【解析】因为$a-1,b-1,c-1,d-1,e-1,f-1,g-1$的平均数是$m$,方差是$n$,所以数据$a,b,c,d,e,f,g$的平均数是$m+1$,方差是$n$,所以$2a-3,2b-3,2c-3,2d-3,2e-3,2f-3,2g-3$的平均数是$2(m+1)-3=2m-1$,方差是$2^2·n=4n$。
解析
【分析】
解题时先回忆数据线性变换下平均数和方差的变化规律：①若一组数据每个数都加上（或减去）同一个常数，平均数也相应加上（或减去）这个常数，方差保持不变；②若一组数据每个数都乘以同一个常数k，平均数变为原来的k倍，方差变为原来的k²倍，加减常数不影响方差。首先根据第一组已知数据的平均数和方差，推出原始数据a,b,c,d,e,f,g的平均数和方差，再利用变换规律计算目标数据的平均数和方差即可。
【解析】
已知数据$a-1,b-1,c-1,d-1,e-1,f-1,g-1$的平均数是$m$，方差是$n$。
根据数据加减常数的统计量变化规律，可得数据$a,b,c,d,e,f,g$的平均数为$m+1$，方差仍为$n$。
目标数据$2a-3,2b-3,2c-3,2d-3,2e-3,2f-3,2g-3$是将$a,b,\dots,g$每个数乘2再减3：
平均数为$2×(m+1)-3=2m+2-3=2m-1$；
方差为$2^2× n=4n$。
【答案】
$2m-1$；$4n$
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换时平均数和方差的变化规律，解题的关键是牢记：加减常数仅改变平均数，不改变方差；乘除常数既按倍数改变平均数，也按常数的平方倍改变方差，熟练掌握性质可快速求解。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆数据线性变换下平均数和方差的变化规律：①若一组数据每个数都加上（或减去）同一个常数，平均数也相应加上（或减去）这个常数，方差保持不变；②若一组数据每个数都乘以同一个常数k，平均数变为原来的k倍，方差变为原来的k²倍，加减常数不影响方差。首先根据第一组已知数据的平均数和方差，推出原始数据a,b,c,d,e,f,g的平均数和方差，再利用变换规律计算目标数据的平均数和方差即可。
【解析】
已知数据$a-1,b-1,c-1,d-1,e-1,f-1,g-1$的平均数是$m$，方差是$n$。
根据数据加减常数的统计量变化规律，可得数据$a,b,c,d,e,f,g$的平均数为$m+1$，方差仍为$n$。
目标数据$2a-3,2b-3,2c-3,2d-3,2e-3,2f-3,2g-3$是将$a,b,\dots,g$每个数乘2再减3：
平均数为$2×(m+1)-3=2m+2-3=2m-1$；
方差为$2^2× n=4n$。
【答案】
$2m-1$；$4n$
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题考查数据线性变换时平均数和方差的变化规律，解题的关键是牢记：加减常数仅改变平均数，不改变方差；乘除常数既按倍数改变平均数，也按常数的平方倍改变方差，熟练掌握性质可快速求解。
【难度系数】
0.6
8 核心素养 应用意识[2025江苏盐城质检,中]某校要从新入学的两名体育特长生李勇、张浩中挑选一人参加校级跳远比赛,在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中,他们的成绩(单位:cm)如下表所示:
(1)求张浩同学7次成绩的平均数和李勇同学7次成绩的方差(结果保留整数).
(2)请你分别从平均数和方差的角度分析两人成绩的特点.
(3)经查阅历届比赛的资料,成绩若达到6.00 m,就很可能得到冠军,你认为应选谁去参赛夺冠比较有把握?请说明理由.
(4)以往的该项最好成绩的纪录是6.15 m,若想要打破纪录,你认为应选谁去参赛?
(1)求张浩同学7次成绩的平均数和李勇同学7次成绩的方差(结果保留整数).
(2)请你分别从平均数和方差的角度分析两人成绩的特点.
(3)经查阅历届比赛的资料,成绩若达到6.00 m,就很可能得到冠军,你认为应选谁去参赛夺冠比较有把握?请说明理由.
(4)以往的该项最好成绩的纪录是6.15 m,若想要打破纪录,你认为应选谁去参赛?
答案
(1) 张浩同学7次成绩的平均数为$(597+580+597+630+590+631+596)÷7=603(\mathrm{cm})$,李勇同学7次成绩的方差为$\frac{1}{7}[(603-602)^2+(589-602)^2+(602-602)^2+(596-602)^2+(604-602)^2+(612-602)^2+(608-602)^2]≈49$.
(2)从成绩的平均数来看,张浩成绩的“平均水平”比李勇高;从成绩的方差来看,李勇的成绩比张浩的更稳定.
(3)选李勇去参赛夺冠比较有把握. 理由:在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中,李勇有5次成绩超过6 m,而张浩只有2次超过6 m,且从成绩的方差来看,李勇的成绩比张浩更稳定,故选李勇去参赛夺冠比较有把握.
(4)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中,张浩有2次成绩超过6.15 m,而李勇没有一次达到6.15 m,故应选张浩去参赛。
(2)从成绩的平均数来看,张浩成绩的“平均水平”比李勇高;从成绩的方差来看,李勇的成绩比张浩的更稳定.
(3)选李勇去参赛夺冠比较有把握. 理由:在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中,李勇有5次成绩超过6 m,而张浩只有2次超过6 m,且从成绩的方差来看,李勇的成绩比张浩更稳定,故选李勇去参赛夺冠比较有把握.
(4)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中,张浩有2次成绩超过6.15 m,而李勇没有一次达到6.15 m,故应选张浩去参赛。
解析
【分析】
(1) 计算平均数可直接用公式：平均数=数据总和÷数据个数，将张浩的7次成绩求和后除以7即可得到他的平均成绩；计算李勇的方差需使用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入李勇的各次成绩和已知的平均成绩计算，最后保留整数即可。
(2) 平均数反映数据的平均水平，直接对比两人平均数大小即可判断平均水平高低；方差反映数据的波动稳定性，方差越小数据越稳定，对比两人方差大小就能判断谁的成绩更稳定。
(3) 夺冠需要成绩达到600cm，先统计两人成绩中超过600cm的次数，再结合成绩稳定性综合判断人选。
(4) 打破纪录需要成绩超过615cm，统计两人成绩中超过615cm的次数，有过超纪录成绩的选手更有可能打破纪录。
【解析】
(1) 张浩同学7次成绩的平均数：
$\overline{x}_{\mathrm{张浩}}=(597+580+597+630+590+631+596)÷7=4221÷7=603(\mathrm{cm})$
李勇同学7次成绩的方差：
$s^2_{\mathrm{李勇}}=\frac{1}{7}[(603-602)^2+(589-602)^2+(602-602)^2+(596-602)^2+(604-602)^2+(612-602)^2+(608-602)^2]$
$=\frac{1}{7}×(1+169+0+36+4+100+36)=\frac{346}{7}\approx49$
(2) 对比两人数据：张浩的平均成绩603cm大于李勇的602cm，说明张浩成绩的平均水平更高；李勇的方差约49远小于张浩的方差333，说明李勇的成绩更稳定。
(3) 选李勇参赛夺冠更有把握：6.00m=600cm，李勇的7次成绩中有5次超过600cm，张浩只有2次超过600cm，且李勇成绩更稳定，发挥更平稳，达到夺冠成绩的概率更高。
(4) 选张浩参赛冲击纪录：6.15m=615cm，张浩有2次成绩分别为630cm、631cm，均超过615cm，而李勇最高成绩仅为612cm，未达到615cm，张浩更有可能跳出高分打破纪录。
【答案】
(1) 张浩成绩的平均数为$\boxed{603\mathrm{cm}}$，李勇成绩的方差约为$\boxed{49}$；
(2) 从平均数看张浩的平均成绩比李勇高，从方差看李勇的成绩比张浩更稳定；
(3) 选李勇去参赛夺冠比较有把握，理由：李勇有5次成绩超过6m，张浩只有2次，且李勇成绩更稳定；
(4) 选张浩去参赛，理由：张浩有2次成绩超过6.15m，李勇没有达到6.15m的成绩，张浩更有可能打破纪录。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计知识的应用，需要根据不同的需求选择对应的统计量分析数据，能够很好地锻炼学生利用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 计算平均数可直接用公式：平均数=数据总和÷数据个数，将张浩的7次成绩求和后除以7即可得到他的平均成绩；计算李勇的方差需使用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入李勇的各次成绩和已知的平均成绩计算，最后保留整数即可。
(2) 平均数反映数据的平均水平，直接对比两人平均数大小即可判断平均水平高低；方差反映数据的波动稳定性，方差越小数据越稳定，对比两人方差大小就能判断谁的成绩更稳定。
(3) 夺冠需要成绩达到600cm，先统计两人成绩中超过600cm的次数，再结合成绩稳定性综合判断人选。
(4) 打破纪录需要成绩超过615cm，统计两人成绩中超过615cm的次数，有过超纪录成绩的选手更有可能打破纪录。
【解析】
(1) 张浩同学7次成绩的平均数：
$\overline{x}_{\mathrm{张浩}}=(597+580+597+630+590+631+596)÷7=4221÷7=603(\mathrm{cm})$
李勇同学7次成绩的方差：
$s^2_{\mathrm{李勇}}=\frac{1}{7}[(603-602)^2+(589-602)^2+(602-602)^2+(596-602)^2+(604-602)^2+(612-602)^2+(608-602)^2]$
$=\frac{1}{7}×(1+169+0+36+4+100+36)=\frac{346}{7}\approx49$
(2) 对比两人数据：张浩的平均成绩603cm大于李勇的602cm，说明张浩成绩的平均水平更高；李勇的方差约49远小于张浩的方差333，说明李勇的成绩更稳定。
(3) 选李勇参赛夺冠更有把握：6.00m=600cm，李勇的7次成绩中有5次超过600cm，张浩只有2次超过600cm，且李勇成绩更稳定，发挥更平稳，达到夺冠成绩的概率更高。
(4) 选张浩参赛冲击纪录：6.15m=615cm，张浩有2次成绩分别为630cm、631cm，均超过615cm，而李勇最高成绩仅为612cm，未达到615cm，张浩更有可能跳出高分打破纪录。
【答案】
(1) 张浩成绩的平均数为$\boxed{603\mathrm{cm}}$，李勇成绩的方差约为$\boxed{49}$；
(2) 从平均数看张浩的平均成绩比李勇高，从方差看李勇的成绩比张浩更稳定；
(3) 选李勇去参赛夺冠比较有把握，理由：李勇有5次成绩超过6m，张浩只有2次，且李勇成绩更稳定；
(4) 选张浩去参赛，理由：张浩有2次成绩超过6.15m，李勇没有达到6.15m的成绩，张浩更有可能打破纪录。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际选拔场景考查统计知识的应用，需要根据不同的需求选择对应的统计量分析数据，能够很好地锻炼学生利用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
