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9. 设$M=x^2+8x+12$，$N=-x^2+8x-3$，那么$M$与$N$的大小关系是（
A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.无法确定
A
）A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.无法确定
答案
$a△ 1 = 2× a× 1 = 2a$
$2△ 5b = 2× 2× 5b = 20b$
由$a△ 1 = 2△ 5b$可得：
$2a = 20b$
化简得$a = 10b$
答：a和b的关系是a等于10b，即$a=10b$。
$2△ 5b = 2× 2× 5b = 20b$
由$a△ 1 = 2△ 5b$可得：
$2a = 20b$
化简得$a = 10b$
答：a和b的关系是a等于10b，即$a=10b$。
10. 在一张日历上,在同一行或同一列上任意圈出三个相邻的数,它们的和不可能是(
A.60
B.39
C.40
D.51
C
)A.60
B.39
C.40
D.51
答案
10. C 解析:设中间的数为$x$,则另外两个数分别为$(x-1)$、$(x+1)$或$(x-7)$、$(x+7)$,所以三个数的和为$(x-1)+x+(x+1)=3x$或$(x-7)+x+(x+7)=3x$,所以三个数的和为3的倍数.60,39,51都是3的倍数,而40不是3的倍数,所以三个数的和不可能为40.故选C.
解析
【分析】
解题时首先回忆日历的数字排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。我们可以设三个相邻数的中间数为x，分别表示出同行或同列的另外两个数，再通过整式加法计算三个数的和，总结出和的特征，最后对照选项判断哪个不符合特征即可。
【解析】
设三个相邻数的中间数为$x$：
若三个数在同一行，则另外两个数分别为$x-1$、$x+1$，三个数的和为$(x-1)+x+(x+1)=3x$；
若三个数在同一列，则另外两个数分别为$x-7$、$x+7$，三个数的和为$(x-7)+x+(x+7)=3x$。
因此任意三个相邻数的和一定是3的倍数。
对照选项：60、39、51都能被3整除，是3的倍数，只有40不能被3整除，所以三个数的和不可能是40。
【答案】
C
【知识点】
日历中的数字规律、整式的加减运算、3的倍数特征
【点评】
本题结合生活中的日历场景考查整式加减的实际应用，解题核心是通过设未知数推导三个相邻数的和的共性特征，无需复杂计算，掌握日历数字排列特点即可快速作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆日历的数字排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。我们可以设三个相邻数的中间数为x，分别表示出同行或同列的另外两个数，再通过整式加法计算三个数的和，总结出和的特征，最后对照选项判断哪个不符合特征即可。
【解析】
设三个相邻数的中间数为$x$：
若三个数在同一行，则另外两个数分别为$x-1$、$x+1$，三个数的和为$(x-1)+x+(x+1)=3x$；
若三个数在同一列，则另外两个数分别为$x-7$、$x+7$，三个数的和为$(x-7)+x+(x+7)=3x$。
因此任意三个相邻数的和一定是3的倍数。
对照选项：60、39、51都能被3整除，是3的倍数，只有40不能被3整除，所以三个数的和不可能是40。
【答案】
C
【知识点】
日历中的数字规律、整式的加减运算、3的倍数特征
【点评】
本题结合生活中的日历场景考查整式加减的实际应用，解题核心是通过设未知数推导三个相邻数的和的共性特征，无需复杂计算，掌握日历数字排列特点即可快速作答。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在一个大长方形中放入三个边长不等的正方形①、②、③,若要求出两个阴影部分周长的差,只要知道下列哪个图形的面积
(
A.正方形①
B.正方形②
C.正方形③
D.大长方形
(
B
)A.正方形①
B.正方形②
C.正方形③
D.大长方形
答案
11. B 解析:如图,设正方形①、②、③的边长依次为$a,b,c$,重叠的小长方形的长和宽分别为$x,y$,所以阴影部分的周长差为$2(a+b-x-c)+2(b+c-y)-2(b-x)-2(a-y)=2a+2b-2x-2c+2b+2c-2y-2b+2x-2a+2y=2b$,故只要知道正方形②的面积即可求解,故选B.
解析
【分析】
要计算两个阴影部分的周长差，我们可以先通过设未知数的方式表示出各正方形的边长、重叠小长方形的长宽，再分别写出两个阴影部分的周长表达式，将二者做差后化简，观察最终结果仅和哪个正方形的边长相关，知道该正方形的面积就可以求出其边长，进而得到周长差。
【解析】
设正方形①、②、③的边长依次为$a,b,c$，重叠的小长方形的长和宽分别为$x,y$。
右上方阴影部分周长：$2(a+b-x-c)+2(b+c-y)$
左下方阴影部分周长：$2(b-x)+2(a-y)$
两个阴影部分的周长差为：
$\begin{split}&\quad2(a+b-x-c)+2(b+c-y)-[2(b-x)+2(a-y)]\\&=2a+2b-2x-2c+2b+2c-2y-2b+2x-2a+2y\\&=2b\end{split}$
可知周长差仅和正方形②的边长$b$有关，因此只要知道正方形②的面积即可求出边长$b$，进而得到周长差。
【答案】
B
【知识点】
用字母表示数，整式的加减运算，周长计算
【点评】
本题是代数与几何结合的应用题型，解题关键是合理设字母表示各未知量，通过整式加减运算消去无关量，最终得到周长差与正方形②边长的关系，计算时要注意去括号的符号规则，避免化简错误。
【难度系数】
0.6
要计算两个阴影部分的周长差，我们可以先通过设未知数的方式表示出各正方形的边长、重叠小长方形的长宽，再分别写出两个阴影部分的周长表达式，将二者做差后化简，观察最终结果仅和哪个正方形的边长相关，知道该正方形的面积就可以求出其边长，进而得到周长差。
【解析】
设正方形①、②、③的边长依次为$a,b,c$，重叠的小长方形的长和宽分别为$x,y$。
右上方阴影部分周长：$2(a+b-x-c)+2(b+c-y)$
左下方阴影部分周长：$2(b-x)+2(a-y)$
两个阴影部分的周长差为：
$\begin{split}&\quad2(a+b-x-c)+2(b+c-y)-[2(b-x)+2(a-y)]\\&=2a+2b-2x-2c+2b+2c-2y-2b+2x-2a+2y\\&=2b\end{split}$
可知周长差仅和正方形②的边长$b$有关，因此只要知道正方形②的面积即可求出边长$b$，进而得到周长差。
【答案】
B
【知识点】
用字母表示数，整式的加减运算，周长计算
【点评】
本题是代数与几何结合的应用题型，解题关键是合理设字母表示各未知量，通过整式加减运算消去无关量，最终得到周长差与正方形②边长的关系，计算时要注意去括号的符号规则，避免化简错误。
【难度系数】
0.6
12. 如图,将边长为a的正方形剪去两个小长方形得到S图案,再将剪下的这两个小长方形拼成一个新的长方形,则新的长方形的周长为
$4a-8b$
(用含a,b的整式表示).答案
|图形编号|多边形内的钉子数/枚|多边形边上的钉子数/枚|多边形的面积/平方厘米|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|①|1|6|3|
|②|1|6|3|
|③|1|7|3.5|
|④|1|8|4|
(1) $\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$（或一半）
(3) $\boldsymbol{\dfrac{n}{2}}$（或$n÷2$）
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|①|1|6|3|
|②|1|6|3|
|③|1|7|3.5|
|④|1|8|4|
(1) $\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$（或一半）
(3) $\boldsymbol{\dfrac{n}{2}}$（或$n÷2$）
解析
【分析】
解题时首先要明确剪下的两个小长方形的尺寸，再确定拼接后新长方形的长和宽，最后结合长方形周长公式计算即可：
1. 观察图形可知，剪下的每个小长方形的宽为$b$，长为正方形边长减去$b$，即$a-b$；
2. 两个小长方形拼接为新长方形时，将短边对齐拼接，新长方形的长为两个小长方形的长之和，宽等于小长方形的宽$b$；
3. 代入长方形周长公式，化简整式即可得到结果。
【解析】
由图可得，剪下的两个小长方形的长均为$a-b$，宽均为$b$。
拼接后新长方形的长为$2(a-b)$，宽为$b$。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入计算：
$\begin{aligned}C&=2×[2(a-b)+b]\\&=2×(2a-2b+b)\\&=2×(2a-b)\\&=4a-2b\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4a-2b}$
【知识点】
列代数式，整式的加减，长方形周长计算
【点评】
本题考查图形拼接与整式运算的结合，解题核心是准确判断拼接前后各边的长度，注意整式化简时去括号、合并同类项的规则不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确剪下的两个小长方形的尺寸，再确定拼接后新长方形的长和宽，最后结合长方形周长公式计算即可：
1. 观察图形可知，剪下的每个小长方形的宽为$b$，长为正方形边长减去$b$，即$a-b$；
2. 两个小长方形拼接为新长方形时，将短边对齐拼接，新长方形的长为两个小长方形的长之和，宽等于小长方形的宽$b$；
3. 代入长方形周长公式，化简整式即可得到结果。
【解析】
由图可得，剪下的两个小长方形的长均为$a-b$，宽均为$b$。
拼接后新长方形的长为$2(a-b)$，宽为$b$。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入计算：
$\begin{aligned}C&=2×[2(a-b)+b]\\&=2×(2a-2b+b)\\&=2×(2a-b)\\&=4a-2b\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4a-2b}$
【知识点】
列代数式，整式的加减，长方形周长计算
【点评】
本题考查图形拼接与整式运算的结合，解题核心是准确判断拼接前后各边的长度，注意整式化简时去括号、合并同类项的规则不要出错。
【难度系数】
0.7
13. 已知$2a+3b - c = 5$，$3a - 2b + c = -6$，则$a + 8b - 3c$的值为
16
.答案
13. 16 解析:由$2a+3b-c=5$,得$4a+6b-2c=10$.又$3a-2b+c=-6$,两式相减,得$a+8b-3c=16$.
解析
【分析】
已知条件给出了两个含a、b、c的等式，共有3个未知数但只有2个等式，无法分别求出a、b、c的具体取值，因此需要用整体构造的方法解题。首先对比目标式$a+8b-3c$和两个已知式中各未知数的系数，发现将第一个已知等式两边同乘2后，得到的式子与第二个已知等式相减，恰好可以凑出目标式，再计算右侧的数值即可得到结果。
【解析】
设$2a+3b - c = 5$为①式，$3a - 2b + c = -6$为②式。
根据等式的性质，将①式左右两边同时乘以2，可得：
$4a + 6b - 2c = 10$ 记为③式
用③式减去②式，可得：
$(4a + 6b - 2c) - (3a - 2b + c) = 10 - (-6)$
去括号得：$4a + 6b - 2c - 3a + 2b - c = 16$
合并同类项后得：$a + 8b - 3c = 16$
【答案】
16
【知识点】
整式的加减、等式的性质、整体代入思想
【点评】
本题的核心是避免走入“分别求每个未知数的值”的误区，通过观察已知式和目标式的系数特征，对已知等式合理变形，用整体运算的方法快速求出结果，能有效提升对代数式结构的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
已知条件给出了两个含a、b、c的等式，共有3个未知数但只有2个等式，无法分别求出a、b、c的具体取值，因此需要用整体构造的方法解题。首先对比目标式$a+8b-3c$和两个已知式中各未知数的系数，发现将第一个已知等式两边同乘2后，得到的式子与第二个已知等式相减，恰好可以凑出目标式，再计算右侧的数值即可得到结果。
【解析】
设$2a+3b - c = 5$为①式，$3a - 2b + c = -6$为②式。
根据等式的性质，将①式左右两边同时乘以2，可得：
$4a + 6b - 2c = 10$ 记为③式
用③式减去②式，可得：
$(4a + 6b - 2c) - (3a - 2b + c) = 10 - (-6)$
去括号得：$4a + 6b - 2c - 3a + 2b - c = 16$
合并同类项后得：$a + 8b - 3c = 16$
【答案】
16
【知识点】
整式的加减、等式的性质、整体代入思想
【点评】
本题的核心是避免走入“分别求每个未知数的值”的误区，通过观察已知式和目标式的系数特征，对已知等式合理变形，用整体运算的方法快速求出结果，能有效提升对代数式结构的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
14. 已知 $ A = 2x^2 + ax - 5y + b $，$ B = bx^2 - \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}y - 3 $。
(1) 求 $ 3A - (4A - 2B) $ 的值；
(2) 当 $ x $ 取任意数值时，$ A - 2B $ 的值是一个定值，求 $ (a + \frac{3}{14}A) - (2b + \frac{3}{7}B) $ 的值。
(1) 求 $ 3A - (4A - 2B) $ 的值；
(2) 当 $ x $ 取任意数值时，$ A - 2B $ 的值是一个定值，求 $ (a + \frac{3}{14}A) - (2b + \frac{3}{7}B) $ 的值。
答案
解：
图①：边上钉子数$n=4$，面积$S=3$
代入选项验证：
A.$(4-2)÷2=1$，不符合
B.$4÷2+2=4$，不符合
C.$4÷2-1=1$，不符合
D.$4÷2+1=3$，符合
图②：边上钉子数$n=7$，面积$S=4.5$
代入D验证：$7÷2+1=4.5$，符合
图③：边上钉子数$n=8$，面积$S=5$
代入D验证：$8÷2+1=5$，符合
所以$S=n÷2+1$，选D。
答：答案为D选项。
图①：边上钉子数$n=4$，面积$S=3$
代入选项验证：
A.$(4-2)÷2=1$，不符合
B.$4÷2+2=4$，不符合
C.$4÷2-1=1$，不符合
D.$4÷2+1=3$，符合
图②：边上钉子数$n=7$，面积$S=4.5$
代入D验证：$7÷2+1=4.5$，符合
图③：边上钉子数$n=8$，面积$S=5$
代入D验证：$8÷2+1=5$，符合
所以$S=n÷2+1$，选D。
答：答案为D选项。
15. 如图，A,B,C,D分别是正方形的四个顶点，我们将该正方形表示为正方形ABCD，它的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧.以D为圆心，3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为$S_1$,$S_2$,则$S_1 - S_2 =$
$\frac{13π}{4}-9$
.答案
15. $\frac{13π}{4}-9$ 解析:设题图中正方形$ABCD$左侧小空白区域的面积为$m$,由题图可知,$S_1+m$是半径为2的四分之一圆的面积,$S_2+m$是边长为3的正方形$ABCD$的面积与半径为3的四分之一圆的面积之差,所以$S_1-S_2=(S_1+m)-(S_2+m)=\frac{1}{4}×π×2^2-(3×3-\frac{1}{4}×π×3^2)=π-(9-\frac{9π}{4})=\frac{13π}{4}-9$.
解析
【分析】
要求$S_1 - S_2$，两个阴影均为不规则图形，无法直接计算面积。观察图形可发现两者存在公共的左侧小空白区域，可引入该空白面积作为中间量：$S_1$加空白面积是半径为2的四分之一圆面积，$S_2$加空白面积是正方形面积减去半径为3的四分之一圆面积，将两个式子相减即可消去公共空白部分，直接求出$S_1 - S_2$的结果。
【解析】
设正方形左侧小空白区域的面积为$m$。
由图可知：
$S_1 + m = \frac{1}{4} × π × 2^2$ （半径为2的四分之一圆的面积）
$S_2 + m = 3 × 3 - \frac{1}{4} × π × 3^2$ （正方形面积减去半径为3的四分之一圆的面积）
两式相减可得：
$S_1 - S_2 = (S_1 + m) - (S_2 + m)$
$= \frac{1}{4} × π × 4 - (9 - \frac{9π}{4})$
$= π - 9 + \frac{9π}{4}$
$= \frac{13π}{4} - 9$
【答案】
$\frac{13π}{4}-9$
【知识点】
正方形面积计算，扇形面积计算，整式加减
【点评】
本题考查不规则图形的面积差求解，核心是运用整体思想，借助公共空白区域作为中间转化量，将不规则阴影的面积差转化为规则图形的面积差计算，大幅降低了计算难度。
【难度系数】
0.6
要求$S_1 - S_2$，两个阴影均为不规则图形，无法直接计算面积。观察图形可发现两者存在公共的左侧小空白区域，可引入该空白面积作为中间量：$S_1$加空白面积是半径为2的四分之一圆面积，$S_2$加空白面积是正方形面积减去半径为3的四分之一圆面积，将两个式子相减即可消去公共空白部分，直接求出$S_1 - S_2$的结果。
【解析】
设正方形左侧小空白区域的面积为$m$。
由图可知：
$S_1 + m = \frac{1}{4} × π × 2^2$ （半径为2的四分之一圆的面积）
$S_2 + m = 3 × 3 - \frac{1}{4} × π × 3^2$ （正方形面积减去半径为3的四分之一圆的面积）
两式相减可得：
$S_1 - S_2 = (S_1 + m) - (S_2 + m)$
$= \frac{1}{4} × π × 4 - (9 - \frac{9π}{4})$
$= π - 9 + \frac{9π}{4}$
$= \frac{13π}{4} - 9$
【答案】
$\frac{13π}{4}-9$
【知识点】
正方形面积计算，扇形面积计算，整式加减
【点评】
本题考查不规则图形的面积差求解，核心是运用整体思想，借助公共空白区域作为中间转化量，将不规则阴影的面积差转化为规则图形的面积差计算，大幅降低了计算难度。
【难度系数】
0.6
16. 如图,数轴上有三个点A,B,C,它们表示的数分别是-4,-2,3.
(1)若使C,B两点的距离是A,B两点的距离的2倍,则需将点C向左移动
(2)点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒.
①点A,B表示的数分别是
②若点B与点C之间的距离表示为$d_1$,点A与点B之间的距离表示为$d_2$,当m为何值时,$4d_1 - 3d_2$的值不会随着时间的变化而改变?并求出此时$4d_1 - 3d_2$的值.
(1)若使C,B两点的距离是A,B两点的距离的2倍,则需将点C向左移动
1或9
个单位长度.(2)点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒.
①点A,B表示的数分别是
$-4-mt$
,$-2+2t$
(用含m,t的代数式表示).②若点B与点C之间的距离表示为$d_1$,点A与点B之间的距离表示为$d_2$,当m为何值时,$4d_1 - 3d_2$的值不会随着时间的变化而改变?并求出此时$4d_1 - 3d_2$的值.
答案
(1)
$10÷2 - 1 = 4$（平方厘米）
(2)
$(6 - 3 + 1)×2 = 8$（枚）
答：(1)它的面积是4平方厘米；(2)它的边上有8枚钉子。
$10÷2 - 1 = 4$（平方厘米）
(2)
$(6 - 3 + 1)×2 = 8$（枚）
答：(1)它的面积是4平方厘米；(2)它的边上有8枚钉子。
