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9.(2025·大连嘉汇中学月考)如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B'.若∠B'AC=14°,则∠B的度数为 (
A.38°
B.48°
C.50°
D.52°
D
)A.38°
B.48°
C.50°
D.52°
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先利用轴对称的性质，得到对称的两个三角形对应角相等，即∠BAD=∠B'AD；再结合已知的∠BAC和∠B'AC的度数，先求出∠BAB'的度数，进而得到∠BAD的度数；最后根据直角三角形两锐角互余的性质，在Rt△ABD中计算出∠B的度数即可。
【解析】
解：
∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称
∴∠BAD=∠B'AD，∠ADB=90°
∵∠BAC=90°，∠B'AC=14°
∴∠BAB'=∠BAC - ∠B'AC = 90° - 14° = 76°
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAB' = $\frac{1}{2}$×76° = 38°
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质
∴∠B + ∠BAD = 90°
∴∠B = 90° - 38° = 52°
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质；直角三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查轴对称性质的应用和直角三角形的角度计算，解题的关键是准确识别轴对称变换中的相等角，结合已知角度逐步推导，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用轴对称的性质，得到对称的两个三角形对应角相等，即∠BAD=∠B'AD；再结合已知的∠BAC和∠B'AC的度数，先求出∠BAB'的度数，进而得到∠BAD的度数；最后根据直角三角形两锐角互余的性质，在Rt△ABD中计算出∠B的度数即可。
【解析】
解：
∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称
∴∠BAD=∠B'AD，∠ADB=90°
∵∠BAC=90°，∠B'AC=14°
∴∠BAB'=∠BAC - ∠B'AC = 90° - 14° = 76°
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAB' = $\frac{1}{2}$×76° = 38°
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质
∴∠B + ∠BAD = 90°
∴∠B = 90° - 38° = 52°
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质；直角三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查轴对称性质的应用和直角三角形的角度计算，解题的关键是准确识别轴对称变换中的相等角，结合已知角度逐步推导，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
10.【新情境·生活情境】小华从镜子中看到身后的电子钟示数如图所示，则正确的时间应是
21:05
。答案
10.21:05
解析
【分析】
本题考查镜面对称的相关知识，属于轴对称性质的实际应用。镜面对称的核心特点是：像与物体关于镜面对称，上下方向不变，左右方向相反。解题时可采用直观翻转法：将印有该示数的纸张沿竖直方向左右翻转（或从纸张背面透光观察），翻转后读出的示数就是实际时间，该方法符合本学段轴对称的知识要求，容易理解操作。
【解析】
根据轴对称中镜面对称的性质，平面镜所成的像与实际物体左右方向相反。我们将图中镜子里的电子钟示数沿竖直方向左右翻转（或把试卷翻过来从背面观察）：
原镜子里从左到右的字符翻转后顺序颠倒，且每个数字沿竖直方向对称，最终得到的实际时间为21:05。
【答案】
21:05
【知识点】
镜面对称、轴对称的性质
【点评】
本题结合生活中观察镜子里电子钟的常见场景，考查轴对称性质的实际应用，解题核心是掌握镜面对称左右相反的特点，用翻看法就能快速得出答案，实用性较强。
【难度系数】
0.7
本题考查镜面对称的相关知识，属于轴对称性质的实际应用。镜面对称的核心特点是：像与物体关于镜面对称，上下方向不变，左右方向相反。解题时可采用直观翻转法：将印有该示数的纸张沿竖直方向左右翻转（或从纸张背面透光观察），翻转后读出的示数就是实际时间，该方法符合本学段轴对称的知识要求，容易理解操作。
【解析】
根据轴对称中镜面对称的性质，平面镜所成的像与实际物体左右方向相反。我们将图中镜子里的电子钟示数沿竖直方向左右翻转（或把试卷翻过来从背面观察）：
原镜子里从左到右的字符翻转后顺序颠倒，且每个数字沿竖直方向对称，最终得到的实际时间为21:05。
【答案】
21:05
【知识点】
镜面对称、轴对称的性质
【点评】
本题结合生活中观察镜子里电子钟的常见场景，考查轴对称性质的实际应用，解题核心是掌握镜面对称左右相反的特点，用翻看法就能快速得出答案，实用性较强。
【难度系数】
0.7
11.如图,在△ABC中,点D在边AB上,点A关于直线CD的对称点E在BC上.若AB=7,AC=9,BC=12,则△DBE的周长为
10
.答案
11.10
解析
【分析】
解题时先结合轴对称的性质找等量关系：成轴对称的两个图形对应边相等。要求△DBE的周长，先明确其周长由BD、DE、BE三条线段组成，再利用对称关系将DE替换为和它相等的AD，此时BD+AD刚好是AB的长度；再将BE转化为BC减去和AC相等的CE，即可把待求周长全部用题目给出的已知线段长度表示，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵点A关于直线CD的对称点是E，
∴由轴对称的性质可得：AD=DE，AC=CE=9。
△DBE的周长 = BD + DE + BE，
把DE替换为AD，可得：周长 = BD + AD + BE = AB + BE。
又
∵BE = BC - CE = BC - AC，已知BC=12，AC=9，
∴BE = 12 - 9 = 3。
已知AB=7，因此△DBE的周长 = 7 + 3 = 10。
【答案】
10
【知识点】
轴对称的性质，三角形周长计算，线段和差计算
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用题型，解题关键是通过轴对称的等量代换，把未知的线段和转化为已知线段的和差，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
解题时先结合轴对称的性质找等量关系：成轴对称的两个图形对应边相等。要求△DBE的周长，先明确其周长由BD、DE、BE三条线段组成，再利用对称关系将DE替换为和它相等的AD，此时BD+AD刚好是AB的长度；再将BE转化为BC减去和AC相等的CE，即可把待求周长全部用题目给出的已知线段长度表示，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵点A关于直线CD的对称点是E，
∴由轴对称的性质可得：AD=DE，AC=CE=9。
△DBE的周长 = BD + DE + BE，
把DE替换为AD，可得：周长 = BD + AD + BE = AB + BE。
又
∵BE = BC - CE = BC - AC，已知BC=12，AC=9，
∴BE = 12 - 9 = 3。
已知AB=7，因此△DBE的周长 = 7 + 3 = 10。
【答案】
10
【知识点】
轴对称的性质，三角形周长计算，线段和差计算
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用题型，解题关键是通过轴对称的等量代换，把未知的线段和转化为已知线段的和差，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
12.(教材P71习题T11变式)如图,已知$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$m$对称.
(1)连接$AA'$,直线$m$与线段$AA'$有什么关系?
(2)若延长线段$AC$与$A'C'$,它们的交点与直线$m$有怎样的关系?其他对应线段(或其延长线)的交点呢?你发现了什么规律?
(1)连接$AA'$,直线$m$与线段$AA'$有什么关系?
(2)若延长线段$AC$与$A'C'$,它们的交点与直线$m$有怎样的关系?其他对应线段(或其延长线)的交点呢?你发现了什么规律?
答案
12.解:(1)直线$m$垂直平分线段$AA'$.
(2)它们的交点在直线$m$上,其他对应线段(或其延长线)的交点也在直线$m$上.规律:若两线段关于直线$m$对称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在直线$m$上.
(2)它们的交点在直线$m$上,其他对应线段(或其延长线)的交点也在直线$m$上.规律:若两线段关于直线$m$对称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在直线$m$上.
解析
【分析】
(1) 解题时先回忆轴对称的核心性质：若两个图形关于某条直线对称，该直线是任意一组对应点所连线段的垂直平分线。A和A'是两个三角形的一组对应点，直线m为对称轴，结合该性质即可判断直线m与线段AA'的关系。
(2) 分析第二问时，依据轴对称的性质，对应线段上的所有点都关于对称轴对称：若两条对应线段（或其延长线）存在交点，说明该交点同时在两条对应线段上，该点的对称点为其本身，因此交点必然在对称轴上，将该结论推广到所有不平行的对应线段即可得到普遍规律。
【解析】
(1) 已知$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$m$对称，A和$A'$是一组对应点，根据轴对称的性质：对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，因此直线$m$垂直平分线段$AA'$。
(2) 由轴对称的性质可知，线段$AC$上任意一点关于直线$m$的对称点都在线段$A'C'$上。若延长$AC$和$A'C'$得到交点，说明该交点同时在$AC$和$A'C'$上，即该点关于直线$m$的对称点是它本身，因此该交点在直线$m$上。同理可证，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线$m$上。
由此可总结规律：若两条线段关于直线$m$对称且不平行，则它们的交点或延长线的交点在直线$m$上。
【答案】
(1) 直线$m$垂直平分线段$AA'$。
(2) 延长线段$AC$与$A'C'$的交点在直线$m$上，其他对应线段(或其延长线)的交点也在直线$m$上。规律：若两线段关于直线$m$对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在直线$m$上。
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线，对称线段特征
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用类题目，通过探究对应点连线、对应线段与对称轴的位置关系，强化对轴对称本质特征的理解，掌握该规律可给后续解决轴对称相关几何问题提供思路。
【难度系数】
0.9
(1) 解题时先回忆轴对称的核心性质：若两个图形关于某条直线对称，该直线是任意一组对应点所连线段的垂直平分线。A和A'是两个三角形的一组对应点，直线m为对称轴，结合该性质即可判断直线m与线段AA'的关系。
(2) 分析第二问时，依据轴对称的性质，对应线段上的所有点都关于对称轴对称：若两条对应线段（或其延长线）存在交点，说明该交点同时在两条对应线段上，该点的对称点为其本身，因此交点必然在对称轴上，将该结论推广到所有不平行的对应线段即可得到普遍规律。
【解析】
(1) 已知$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$m$对称，A和$A'$是一组对应点，根据轴对称的性质：对称轴垂直平分任意一组对应点的连线，因此直线$m$垂直平分线段$AA'$。
(2) 由轴对称的性质可知，线段$AC$上任意一点关于直线$m$的对称点都在线段$A'C'$上。若延长$AC$和$A'C'$得到交点，说明该交点同时在$AC$和$A'C'$上，即该点关于直线$m$的对称点是它本身，因此该交点在直线$m$上。同理可证，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线$m$上。
由此可总结规律：若两条线段关于直线$m$对称且不平行，则它们的交点或延长线的交点在直线$m$上。
【答案】
(1) 直线$m$垂直平分线段$AA'$。
(2) 延长线段$AC$与$A'C'$的交点在直线$m$上，其他对应线段(或其延长线)的交点也在直线$m$上。规律：若两线段关于直线$m$对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在直线$m$上。
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线，对称线段特征
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用类题目，通过探究对应点连线、对应线段与对称轴的位置关系，强化对轴对称本质特征的理解，掌握该规律可给后续解决轴对称相关几何问题提供思路。
【难度系数】
0.9
13.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,P是边BC上的动点(不与点B,C重合),连接AP,将△APC沿AP翻折得到△APD,连接DC,记∠BCD=α.
(1)如图,当点P与点E重合时,求α的度数;
(2)当点P与点E不重合时,记∠BAD=β,探究α与β的数量关系.
备用图
(1)如图,当点P与点E重合时,求α的度数;
(2)当点P与点E不重合时,记∠BAD=β,探究α与β的数量关系.
备用图
答案
13.解:(1)$25°$
(2)①当点$P$在线段$BE$上时,如图1所示.
$\because ∠ADC=∠ACD=90°-α,∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD,$
$\therefore 90°-α+β=40°+α,$
$\therefore 2α-β=50°.$
②当点$P$在线段$CE$上时,如图2所示,延长$AD$交$BC$于点$F$.
$\because ∠ADC=∠ACD=90°-α,∠ADC=∠AFC+α=∠ABC+∠BAD+α=40°+β+α,$
$\therefore 90°-α=40°+β+α,$
$\therefore 2α+β=50°.$
解析
【分析】
(1) 首先根据△ABC的已知内角度数，利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；再结合角平分线的性质得到∠CAE的度数，当P与E重合时，由翻折（轴对称）的性质可得AD=AC，∠DAC=2∠CAE，即可求出等腰△ADC的底角∠ACD的度数，最后用∠ACB减去∠ACD即可得到α的度数。
(2) 需分两种情况讨论：①当P在线段BE上时，利用翻折的性质得∠ADC=∠ACD=90°-α，再结合三角形外角的性质建立角的等量关系，整理即可得到α和β的数量关系；②当P在线段CE上时，延长AD交BC于F，同样先由翻折性质得到∠ADC=90°-α，再利用两次三角形外角的性质建立等量关系，整理得到α和β的另一种数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，
∴$∠ BAC=180°-90°-40°=50°$，
∵AE平分∠BAC，
∴$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=25°$，
当点P与点E重合时，由翻折的性质得：$AD=AC$，$∠ DAP=∠ CAP=25°$，
∴$∠ DAC=25°×2=50°$，
在△ADC中，$AD=AC$，
∴$∠ ACD=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$，
∴$α=∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=90°-65°=25°$。
(2) 分两种情况讨论：
①当点P在线段BE上时，如图1所示。
由翻折的性质得$AD=AC$，
∴$∠ ADC=∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-α$，
根据三角形外角的性质，$∠ ADC+∠ BAD=∠ B+∠ BCD$，
代入得：$90°-α+β=40°+α$，
整理得：$2α-β=50°$。
②当点P在线段CE上时，如图2所示，延长AD交BC于点F。
由翻折的性质得$AD=AC$，
∴$∠ ADC=∠ ACD=90°-α$，
∵∠ADC是△DFC的外角，
∴$∠ ADC=∠ AFC+α$，
又
∵∠AFC是△ABF的外角，
∴$∠ AFC=∠ ABC+∠ BAD=40°+β$，
∴$∠ ADC=40°+β+α$，
即$90°-α=40°+β+α$，
整理得：$2α+β=50°$。
【答案】
(1)$25°$
(2)①当点P在线段BE上时，$2α-β=50°$；②当点P在线段CE上时，$2α+β=50°$
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何动点类问题，解题的关键是熟练掌握翻折前后对应边相等、对应角相等的性质，结合三角形内角和与外角定理分析角的数量关系，注意动点位置的分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据△ABC的已知内角度数，利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；再结合角平分线的性质得到∠CAE的度数，当P与E重合时，由翻折（轴对称）的性质可得AD=AC，∠DAC=2∠CAE，即可求出等腰△ADC的底角∠ACD的度数，最后用∠ACB减去∠ACD即可得到α的度数。
(2) 需分两种情况讨论：①当P在线段BE上时，利用翻折的性质得∠ADC=∠ACD=90°-α，再结合三角形外角的性质建立角的等量关系，整理即可得到α和β的数量关系；②当P在线段CE上时，延长AD交BC于F，同样先由翻折性质得到∠ADC=90°-α，再利用两次三角形外角的性质建立等量关系，整理得到α和β的另一种数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，
∴$∠ BAC=180°-90°-40°=50°$，
∵AE平分∠BAC，
∴$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=25°$，
当点P与点E重合时，由翻折的性质得：$AD=AC$，$∠ DAP=∠ CAP=25°$，
∴$∠ DAC=25°×2=50°$，
在△ADC中，$AD=AC$，
∴$∠ ACD=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$，
∴$α=∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=90°-65°=25°$。
(2) 分两种情况讨论：
①当点P在线段BE上时，如图1所示。
由翻折的性质得$AD=AC$，
∴$∠ ADC=∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-α$，
根据三角形外角的性质，$∠ ADC+∠ BAD=∠ B+∠ BCD$，
代入得：$90°-α+β=40°+α$，
整理得：$2α-β=50°$。
②当点P在线段CE上时，如图2所示，延长AD交BC于点F。
由翻折的性质得$AD=AC$，
∴$∠ ADC=∠ ACD=90°-α$，
∵∠ADC是△DFC的外角，
∴$∠ ADC=∠ AFC+α$，
又
∵∠AFC是△ABF的外角，
∴$∠ AFC=∠ ABC+∠ BAD=40°+β$，
∴$∠ ADC=40°+β+α$，
即$90°-α=40°+β+α$，
整理得：$2α+β=50°$。
【答案】
(1)$25°$
(2)①当点P在线段BE上时，$2α-β=50°$；②当点P在线段CE上时，$2α+β=50°$
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何动点类问题，解题的关键是熟练掌握翻折前后对应边相等、对应角相等的性质，结合三角形内角和与外角定理分析角的数量关系，注意动点位置的分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
