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1.如图，在∠1，∠2，∠3中，是△ABC的外角的是
∠1,∠3
。答案
1.∠1,∠3
解析
【分析】
要判断哪些角是△ABC的外角，首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，判断需满足三个条件：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的边；③另一条边是该顶点处三角形另一条边的延长线。接下来对照条件逐一分析三个角：首先三个角的顶点都是点C，属于△ABC的顶点，均满足条件①；再分别看边的情况：∠1的一条边是△ABC的边AC，另一条边是边BC的延长线，满足条件②③；∠2的两条边分别是BC的延长线和AC的延长线，没有边属于△ABC的边，不满足条件②；∠3的一条边是△ABC的边BC，另一条边是边AC的延长线，满足条件②③，据此即可得出结果。
【解析】
根据三角形外角的定义逐一判断：
1. 分析∠1：顶点为C，是△ABC的顶点，其中一边是△ABC的边AC，另一边是BC的延长线，符合三角形外角的定义，是△ABC的外角；
2. 分析∠2：顶点为C，但两边分别是BC的延长线、AC的延长线，没有边是△ABC的边，不符合定义，不是△ABC的外角；
3. 分析∠3：顶点为C，是△ABC的顶点，其中一边是△ABC的边BC，另一边是AC的延长线，符合三角形外角的定义，是△ABC的外角。
因此是△ABC外角的为∠1和∠3。
【答案】
∠1,∠3
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题考查三角形外角的识别，解题关键是牢牢把握三角形外角定义的三个判断要素，逐一核对即可得到正确答案，注意不要误将两边均为边的延长线的角认作三角形外角。
【难度系数】
0.8
要判断哪些角是△ABC的外角，首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，判断需满足三个条件：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的边；③另一条边是该顶点处三角形另一条边的延长线。接下来对照条件逐一分析三个角：首先三个角的顶点都是点C，属于△ABC的顶点，均满足条件①；再分别看边的情况：∠1的一条边是△ABC的边AC，另一条边是边BC的延长线，满足条件②③；∠2的两条边分别是BC的延长线和AC的延长线，没有边属于△ABC的边，不满足条件②；∠3的一条边是△ABC的边BC，另一条边是边AC的延长线，满足条件②③，据此即可得出结果。
【解析】
根据三角形外角的定义逐一判断：
1. 分析∠1：顶点为C，是△ABC的顶点，其中一边是△ABC的边AC，另一边是BC的延长线，符合三角形外角的定义，是△ABC的外角；
2. 分析∠2：顶点为C，但两边分别是BC的延长线、AC的延长线，没有边是△ABC的边，不符合定义，不是△ABC的外角；
3. 分析∠3：顶点为C，是△ABC的顶点，其中一边是△ABC的边BC，另一边是AC的延长线，符合三角形外角的定义，是△ABC的外角。
因此是△ABC外角的为∠1和∠3。
【答案】
∠1,∠3
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题考查三角形外角的识别，解题关键是牢牢把握三角形外角定义的三个判断要素，逐一核对即可得到正确答案，注意不要误将两边均为边的延长线的角认作三角形外角。
【难度系数】
0.8
2.如图，$∠ A = 40°$，$∠ CBD$是$△ ABC$的外角，$∠ CBD=120°$，则$∠ C$的度数是（
A.$90°$
B.$80°$
C.$60°$
D.$40°$
B
）A.$90°$
B.$80°$
C.$60°$
D.$40°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先观察图形，明确∠CBD是△ABC的外角，可优先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。已知外角∠CBD和其中一个不相邻的内角∠A的度数，要求∠C，只需将外角度数减去已知内角度数即可快速求解；也可以先利用平角定义求出∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°计算∠C，两种方法均可，用外角性质解题更简便。
【解析】
方法一（利用外角性质）：
∵∠CBD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ CBD = ∠ A + ∠ C$，
已知$∠ A=40°$，$∠ CBD=120°$，
代入得：$∠ C = ∠ CBD - ∠ A = 120° - 40° = 80°$。
方法二（利用内角和定理）：
∵∠CBD与∠ABC互为邻补角，
∴$∠ ABC = 180° - ∠ CBD = 180° - 120° = 60°$，
在△ABC中，三角形内角和为$180°$，
∴$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 40° - 60° = 80°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，考查三角形内外角关系的直接应用，解题思路清晰，计算量小，只要牢记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形，明确∠CBD是△ABC的外角，可优先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。已知外角∠CBD和其中一个不相邻的内角∠A的度数，要求∠C，只需将外角度数减去已知内角度数即可快速求解；也可以先利用平角定义求出∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°计算∠C，两种方法均可，用外角性质解题更简便。
【解析】
方法一（利用外角性质）：
∵∠CBD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ CBD = ∠ A + ∠ C$，
已知$∠ A=40°$，$∠ CBD=120°$，
代入得：$∠ C = ∠ CBD - ∠ A = 120° - 40° = 80°$。
方法二（利用内角和定理）：
∵∠CBD与∠ABC互为邻补角，
∴$∠ ABC = 180° - ∠ CBD = 180° - 120° = 60°$，
在△ABC中，三角形内角和为$180°$，
∴$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 40° - 60° = 80°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，考查三角形内外角关系的直接应用，解题思路清晰，计算量小，只要牢记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.(2025·大连金普新区期末)将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,则图中∠α的度数为(
A.$65°$
B.$67.5°$
C.$75°$
D.$80°$
C
)A.$65°$
B.$67.5°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先要明确一副直角三角尺的各角度数：其中一个三角尺的角度为30°、60°、90°，另一个为45°、45°、90°。观察图形，∠α在一个三角形内，我们可以先找到该三角形另外两个内角的度数，再利用三角形内角和为180°计算∠α的度数，也可借助三角形外角的性质简化计算步骤。
【解析】
首先根据直角三角尺的角度特征，可得与30°角互余的锐角为：$90°-30°=60°$。
观察∠α所在的三角形，它的另外两个内角分别为$45°$和$60°$。
根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180°$，因此：
$∠α=180°-45°-60°=75°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、三角尺角度特征
【点评】
本题是三角形角度计算的常见基础题，解题核心是熟练掌握三角尺的固定角度，结合内角和或外角性质梳理角之间的数量关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一副直角三角尺的各角度数：其中一个三角尺的角度为30°、60°、90°，另一个为45°、45°、90°。观察图形，∠α在一个三角形内，我们可以先找到该三角形另外两个内角的度数，再利用三角形内角和为180°计算∠α的度数，也可借助三角形外角的性质简化计算步骤。
【解析】
首先根据直角三角尺的角度特征，可得与30°角互余的锐角为：$90°-30°=60°$。
观察∠α所在的三角形，它的另外两个内角分别为$45°$和$60°$。
根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180°$，因此：
$∠α=180°-45°-60°=75°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理、三角尺角度特征
【点评】
本题是三角形角度计算的常见基础题，解题核心是熟练掌握三角尺的固定角度，结合内角和或外角性质梳理角之间的数量关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4.(教材P16练习(4)变式)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，则∠A的度数为 (
A.95°
B.85°
C.75°
D.65°
B
)A.95°
B.85°
C.75°
D.65°
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：CE是△ABC外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∠B=35°，目标是求∠A的度数。第一步先根据角平分线的定义，求出整个外角∠ACD的度数；第二步利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将已知的∠B代入，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵CE平分∠ACD，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=2×60°=120°
又
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠ACD=∠A+∠B
已知∠B=35°，代入得：
∠A=∠ACD - ∠B=120° - 35°=85°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础题型，考查角平分线定义与三角形外角性质的综合应用，解题的关键是先利用角平分线求出外角的度数，再结合外角性质计算对应内角，熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先梳理已知条件：CE是△ABC外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∠B=35°，目标是求∠A的度数。第一步先根据角平分线的定义，求出整个外角∠ACD的度数；第二步利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将已知的∠B代入，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵CE平分∠ACD，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=2×60°=120°
又
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠ACD=∠A+∠B
已知∠B=35°，代入得：
∠A=∠ACD - ∠B=120° - 35°=85°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础题型，考查角平分线定义与三角形外角性质的综合应用，解题的关键是先利用角平分线求出外角的度数，再结合外角性质计算对应内角，熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
5.如图，$x=$
60
。答案
5.60
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。观察图形可知，度数为$(x+80)°$的角是三角形的外角，它对应的两个不相邻的内角分别是$x°$和$(x+20)°$，我们可以根据外角性质列一元一次方程，求解方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可列方程：
$x + (x + 20) = x + 80$
整理方程得：$2x + 20 = x + 80$
移项计算得：$2x - x = 80 - 20$
解得：$x = 60$
【答案】
60
【知识点】
三角形外角的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是正确识别三角形的外角及其对应的不相邻内角，结合相关性质列方程即可求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。观察图形可知，度数为$(x+80)°$的角是三角形的外角，它对应的两个不相邻的内角分别是$x°$和$(x+20)°$，我们可以根据外角性质列一元一次方程，求解方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可列方程：
$x + (x + 20) = x + 80$
整理方程得：$2x + 20 = x + 80$
移项计算得：$2x - x = 80 - 20$
解得：$x = 60$
【答案】
60
【知识点】
三角形外角的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是正确识别三角形的外角及其对应的不相邻内角，结合相关性质列方程即可求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
6.【新情境·传统文化】为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间.某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成数学问题如图2所示.若$AB// CD$，$∠ EAB=70°$，$∠ ECD=110°$，则$∠ E$的度数是
40°
. 答案
6.40°
解析
【分析】
本题是结合生活情境的角度计算问题，解题时可先通过作辅助线构造平行线截线以及含待求角的三角形，首先利用平行线的性质得到已知角∠EAB的等角，再结合三角形外角的性质，建立待求角∠E和已知角的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：延长DC交AE于点F。
∵ AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠EFC=∠EAB=70°。
∵ ∠ECD是△EFC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠ECD=∠E + ∠EFC，
∴ ∠E=∠ECD - ∠EFC=110° - 70°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合传统文化“抖空竹”的情境考查几何基础计算，解题核心是合理作出辅助线，将已知角和未知角建立关联，是对几何基础知识应用能力的考查，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是结合生活情境的角度计算问题，解题时可先通过作辅助线构造平行线截线以及含待求角的三角形，首先利用平行线的性质得到已知角∠EAB的等角，再结合三角形外角的性质，建立待求角∠E和已知角的数量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：延长DC交AE于点F。
∵ AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠EFC=∠EAB=70°。
∵ ∠ECD是△EFC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠ECD=∠E + ∠EFC，
∴ ∠E=∠ECD - ∠EFC=110° - 70°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合传统文化“抖空竹”的情境考查几何基础计算，解题核心是合理作出辅助线，将已知角和未知角建立关联，是对几何基础知识应用能力的考查，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7.如图，$∠ A = 51°$, $∠ B = 20°$, $∠ C = 30°$, 求$∠ BDC$ 的度数.
答案
7.101°
解析
【分析】
要求∠BDC的度数，可通过构造辅助线将所求角和已知角转化为三角形外角的关联关系求解：我们可以延长BD交AC于点E，先把∠DEC看作△ABE的外角，利用三角形外角性质求出∠DEC的度数，再把∠BDC看作△DEC的外角，再次运用外角性质就能求出∠BDC的度数。
【解析】
解：延长BD，交AC于点E。
∵∠DEC是△ABE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠DEC = ∠A + ∠B = 51° + 20° = 71°。
又
∵∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BDC = ∠DEC + ∠C = 71° + 30° = 101°。
【答案】
101°
【知识点】
三角形外角的性质、角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，解题关键是合理构造辅助线，将未知角转化为三角形的外角，结合已知角度即可快速计算，做题时要注意准确识别外角对应的不相邻内角，避免混淆角的位置。
【难度系数】
0.7
要求∠BDC的度数，可通过构造辅助线将所求角和已知角转化为三角形外角的关联关系求解：我们可以延长BD交AC于点E，先把∠DEC看作△ABE的外角，利用三角形外角性质求出∠DEC的度数，再把∠BDC看作△DEC的外角，再次运用外角性质就能求出∠BDC的度数。
【解析】
解：延长BD，交AC于点E。
∵∠DEC是△ABE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠DEC = ∠A + ∠B = 51° + 20° = 71°。
又
∵∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BDC = ∠DEC + ∠C = 71° + 30° = 101°。
【答案】
101°
【知识点】
三角形外角的性质、角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，解题关键是合理构造辅助线，将未知角转化为三角形的外角，结合已知角度即可快速计算，做题时要注意准确识别外角对应的不相邻内角，避免混淆角的位置。
【难度系数】
0.7
[变式] 在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个如图所示的零件.如果$∠ A=52°$，$∠ B=25°$，$∠ C=30°$，$∠ D=35°$，$∠ E=72°$，求$∠ F$ 的度数.
答案
【变式】70°
解析
【分析】
本题为不规则图形的角度求解问题，解题思路如下：1. 观察图形特征，可将其拆分为ABED、ADCF两个凹四边形（飞镖模型）；2. 回忆三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可推导出飞镖模型中凹角等于另外三个内角的和；3. 将两个飞镖模型的角度关系相加，消去中间角，得到已知角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E和未知角∠F的数量关系；4. 代入已知角度计算即可得到∠F的度数。
【解析】
根据三角形外角的性质，推导飞镖模型结论：
在凹四边形ABED中，$∠ E = ∠ B + ∠ BAD + ∠ ADE$ ①；
在凹四边形ADCF中，$∠ F = ∠ C + ∠ CAD + ∠ ADF$ ②；
将①+②可得：
$∠ E + ∠ F = ∠ B + ∠ C + (∠ BAD + ∠ CAD) + (∠ ADE + ∠ ADF)$
其中$∠ BAD + ∠ CAD = ∠ A$，$∠ ADE + ∠ ADF = ∠ D$，代入得：
$∠ E + ∠ F = ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D$
移项得：$∠ F = ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D - ∠ E$
代入已知角度：$∠ A=52°$，$∠ B=25°$，$∠ C=30°$，$∠ D=35°$，$∠ E=72°$
$∠ F = 52° + 25° + 30° + 35° - 72° = 142° - 72° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
三角形外角性质，角度和差计算
【点评】
本题重点考查三角形外角性质在不规则图形角度计算中的应用，解题关键是合理拆分图形，建立已知角与未知角的关联，熟练掌握三角形外角性质即可快速求解这类题型。
【难度系数】
0.7
本题为不规则图形的角度求解问题，解题思路如下：1. 观察图形特征，可将其拆分为ABED、ADCF两个凹四边形（飞镖模型）；2. 回忆三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可推导出飞镖模型中凹角等于另外三个内角的和；3. 将两个飞镖模型的角度关系相加，消去中间角，得到已知角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E和未知角∠F的数量关系；4. 代入已知角度计算即可得到∠F的度数。
【解析】
根据三角形外角的性质，推导飞镖模型结论：
在凹四边形ABED中，$∠ E = ∠ B + ∠ BAD + ∠ ADE$ ①；
在凹四边形ADCF中，$∠ F = ∠ C + ∠ CAD + ∠ ADF$ ②；
将①+②可得：
$∠ E + ∠ F = ∠ B + ∠ C + (∠ BAD + ∠ CAD) + (∠ ADE + ∠ ADF)$
其中$∠ BAD + ∠ CAD = ∠ A$，$∠ ADE + ∠ ADF = ∠ D$，代入得：
$∠ E + ∠ F = ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D$
移项得：$∠ F = ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D - ∠ E$
代入已知角度：$∠ A=52°$，$∠ B=25°$，$∠ C=30°$，$∠ D=35°$，$∠ E=72°$
$∠ F = 52° + 25° + 30° + 35° - 72° = 142° - 72° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
三角形外角性质，角度和差计算
【点评】
本题重点考查三角形外角性质在不规则图形角度计算中的应用，解题关键是合理拆分图形，建立已知角与未知角的关联，熟练掌握三角形外角性质即可快速求解这类题型。
【难度系数】
0.7
