10.(2025·鞍山月考)如图,小明在计算机上用“几何画板”画了一个$Rt△ ABC,∠ C=90°$,并画出了两锐角的平分线AD,BE及其交点F.小明发现,无论怎样变动$Rt△ ABC$的形状和大小,$∠ AFB$的度数始终是定值,则这个定值为 ()


A.$135°$
B.$150°$
C.$120°$
D.$110°$

10.A

【分析】
解题首先从已知条件入手：已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，根据直角三角形两锐角互余可先求出∠BAC与∠ABC的和；再结合AD、BE是两锐角的角平分线，可推出∠FAB与∠FBA的和；最后利用三角形内角和定理即可求出∠AFB的度数，且该度数不受△ABC形状大小影响，为定值。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据三角形内角和定理得：$∠ BAC + ∠ ABC = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$，
∵AD平分$∠ BAC$，BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ FAB = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ FBA = \frac{1}{2}∠ ABC$，
∴$∠ FAB + ∠ FBA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$，
在$△ AFB$中，根据三角形内角和定理：
$∠ AFB = 180° - (∠ FAB + ∠ FBA) = 180° - 45° = 135°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查三角形内角和与角平分线定义的综合应用，解题核心是抓住直角三角形两锐角和为固定值90°，结合角平分线的性质推导得到△AFB中两个锐角的和为定值，进而求出目标角的度数，是三角形相关性质的基础常考题。
【难度系数】
0.8

11.如图1,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$CE ⊥ AB$于点$E$.
(1)猜想$∠ 1$与$∠ 2$之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,如果$∠ ABC$是钝角,那么(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.

11.(1)猜想:$∠1=∠2$.理由略
(2)(1)中的结论仍成立.理由略

【分析】
(1) 要判断∠1和∠2的数量关系，首先结合已知的垂直条件，可得△ABD和△CBE均为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠1、∠2都与∠B互余，再利用同角的余角相等即可得到两角的数量关系。
(2) 当∠ABC为钝角时，垂线的垂足会落在对应边的延长线上，同理先找到两个直角三角形，推导得出∠1与∠ABD互余、∠2与∠CBE互余，再结合∠ABD和∠CBE是对顶角、度数相等，根据等角的余角相等即可验证原结论仍然成立。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{∠1=∠2}$，理由如下：
∵ $AD ⊥ BC$，$CE ⊥ AB$，
∴ $∠ADB=∠CEB=90°$（垂直的定义），
在$Rt△ABD$中，$∠1 + ∠B = 90°$（直角三角形两锐角互余），
在$Rt△CBE$中，$∠2 + ∠B = 90°$（直角三角形两锐角互余），
∴ $∠1=∠2$（同角的余角相等）。
(2) (1)中的结论仍成立，理由如下：
∵ $AD ⊥ BC$，$CE ⊥ AB$，
∴ $∠D=∠E=90°$（垂直的定义），
在$Rt△ABD$中，$∠1 + ∠ABD = 90°$（直角三角形两锐角互余），
在$Rt△CBE$中，$∠2 + ∠CBE = 90°$（直角三角形两锐角互余），
又
∵ $∠ABD=∠CBE$（对顶角相等），
∴ $∠1=∠2$（等角的余角相等）。
【答案】
(1) $∠1=∠2$，理由见解析；
(2) (1)中的结论仍成立，理由见解析。
【知识点】
直角三角形的性质，余角的性质，对顶角的性质
【点评】
本题需要结合图形分析角的位置关系，核心是利用直角三角形两锐角互余的性质，结合同角（等角）的余角相等推导角的数量关系，解题时要注意钝角情形下垂足落在边的延长线时，需准确识别相等的对顶角。
【难度系数】
0.7

12.【新考法·综合与实践】[问题呈现]
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图 1,在$△ ABC$中,$∠ C＞∠ B$,$AE$平分$∠ BAC$,$AD ⊥ BC$于点 $D$,猜想$∠ EAD$与$∠ B$,$∠ C$之间的数量关系.
(1)小明阅读题目后,没有发现数量关系,也没有解题思路,于是尝试代入$∠ B$,$∠ C$的度数求$∠ EAD$的度数,得到下面几组对应值:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline∠ B & 10° & 30° & 30° & 20° & 20° \\\hline∠ C & 70° & 70° & 60° & 60° & 80° \\\hline∠ EAD & 30° & a & 15° & 20° & 30° \\\hline\end{array}$
上表中 $a =$ ,于是得到$∠ EAD$与$∠ B$,$∠ C$之间的数量关系为.
[变式应用]
(2)小明继续研究,如图 2,$∠ B=35°$,$∠ C=75°$.若把“$AD ⊥ BC$于点 $D$”改为“$F$ 是线段 $AE$ 上的一点,$FD ⊥ BC$于点 $D$”,其他条件不变,求$∠ DFE$的度数,并直接写出$∠ DFE$与$∠ B$,$∠ C$之间的数量关系.
[思维发散]
(3)小明突发奇想,交换 $B$,$C$ 两个字母的位置,如图 3,$∠ ABC=88°$,$∠ C=24°$.若把“$AD ⊥ BC$于点 $D$”改为“$F$ 是 $EA$ 的延长线上的一点,$FD ⊥ BC$于点 $D$”,其他条件不变,则$∠ F$ 的度数为.

12.(1)$20°$ $∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
(2)$∠ DFE=20°,∠ DFE=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$
(3)32

【分析】
(1) 解决第一问可先代入∠B=30°、∠C=70°，结合三角形内角和、角平分线定义、直角三角形两锐角互余计算∠EAD的值得出a，再对比多组数据归纳出∠EAD和∠B、∠C的数量关系；
(2) 第二问先按照同样的方法计算出∠AEC的度数，再在直角△FDE中利用直角三角形两锐角互余求∠DFE，类比第一问的推导过程得出通用数量关系；
(3) 第三问可直接类比前两问的结论，结合已知角度差计算即可，也可以通过角的和差逐步推导验证。
【解析】
(1) 当∠B=30°，∠C=70°时：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 30° - 70° = 80°$
∵AE平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = 40°$
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADB=90°$，$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 30° = 60°$
∴$∠ EAD = ∠ BAD - ∠ BAE = 60° - 40° = 20°$，即$a=20°$
观察多组数据可归纳得数量关系。
(2) 当$∠ B=35°$，$∠ C=75°$时：
$∠ BAC = 180° - 35° - 75° = 70°$
∵AE平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = 35°$
$∠ AEC$是△ABE的外角，
∴$∠ AEC = ∠ B + ∠ BAE = 35° + 35° = 70°$
∵$FD⊥ BC$，
∴$∠ FDE=90°$，在$Rt△ FDE$中：
$∠ DFE = 90° - ∠ AEC = 90° - 70° = 20°$
类比推导可得通用数量关系。
(3) 已知$∠ ABC=88°$，$∠ C=24°$，交换B、C位置后，类比前序结论可得：
$∠ F = \frac{1}{2}(∠ B - ∠ C) = \frac{1}{2}×(88° - 24°) = 32°$
【答案】
(1) $20°$，$\boldsymbol{∠ EAD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)}$
(2) $∠ DFE=20°$，$\boldsymbol{∠ DFE=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)}$
(3) $32°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题以探究活动的形式展开，从特殊值猜想入手，到一般规律推导，再到变式迁移应用，层层递进，侧重考查角的和差计算能力、规律归纳能力和知识迁移应用能力，贴合新考法对综合实践能力的考查要求。
【难度系数】
0.65