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10. [2026六安金安区期中]如图，已知$△ ABC ≌ △ DEC$，点E在边AB上，且$∠ ACB = ∠ CEB$，则图中与$∠ 1$相等的角有 (
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
10 A
∵ △ABC≌△DEC,
∴ ∠ACB = ∠DCE,
∴ ∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE,即∠1 = ∠ACD.
∵ ∠ACB = ∠DCE,∠ACB = ∠CEB,
∴ ∠CEB = ∠DCE,
∴ DC//AB,
∴ ∠ACD = ∠A,∠D = ∠AED(两直线平行,内错角相等).
∵ △ABC≌△DEC,
∴ ∠A = ∠D,
∴ ∠1 = ∠A = ∠D = ∠AED,
∴ 与∠1相等的角有4个.
∵ △ABC≌△DEC,
∴ ∠ACB = ∠DCE,
∴ ∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE,即∠1 = ∠ACD.
∵ ∠ACB = ∠DCE,∠ACB = ∠CEB,
∴ ∠CEB = ∠DCE,
∴ DC//AB,
∴ ∠ACD = ∠A,∠D = ∠AED(两直线平行,内错角相等).
∵ △ABC≌△DEC,
∴ ∠A = ∠D,
∴ ∠1 = ∠A = ∠D = ∠AED,
∴ 与∠1相等的角有4个.
解析
【分析】
要找出与∠1相等的角，可按以下思路推导：首先根据已知的全等三角形，利用全等三角形对应角相等的性质得到等角关系，通过角的和差计算得到第一个与∠1相等的角；再结合已知的角相等条件判定两直线平行，利用平行线的性质得到新的等角关系；最后结合全等三角形的其他性质做等量代换，即可找出所有和∠1相等的角。
【解析】
∵ △ABC≌△DEC，
∴ ∠ACB = ∠DCE，
∴ ∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，即∠1 = ∠ACD。
∵ ∠ACB = ∠DCE，∠ACB = ∠CEB，
∴ ∠CEB = ∠DCE，
∴ DC//AB，
∴ ∠ACD = ∠A，∠D = ∠AED（两直线平行，内错角相等）。
∵ △ABC≌△DEC，
∴ ∠A = ∠D，
∴ ∠1 = ∠ACD = ∠A = ∠D = ∠AED，
即与∠1相等的角共有4个。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定与性质，角的和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练运用全等三角形性质和平行线的判定、性质，逐步推导等角关系，做题时注意不要漏数相等的角。
【难度系数】
0.7
要找出与∠1相等的角，可按以下思路推导：首先根据已知的全等三角形，利用全等三角形对应角相等的性质得到等角关系，通过角的和差计算得到第一个与∠1相等的角；再结合已知的角相等条件判定两直线平行，利用平行线的性质得到新的等角关系；最后结合全等三角形的其他性质做等量代换，即可找出所有和∠1相等的角。
【解析】
∵ △ABC≌△DEC，
∴ ∠ACB = ∠DCE，
∴ ∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，即∠1 = ∠ACD。
∵ ∠ACB = ∠DCE，∠ACB = ∠CEB，
∴ ∠CEB = ∠DCE，
∴ DC//AB，
∴ ∠ACD = ∠A，∠D = ∠AED（两直线平行，内错角相等）。
∵ △ABC≌△DEC，
∴ ∠A = ∠D，
∴ ∠1 = ∠ACD = ∠A = ∠D = ∠AED，
即与∠1相等的角共有4个。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定与性质，角的和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练运用全等三角形性质和平行线的判定、性质，逐步推导等角关系，做题时注意不要漏数相等的角。
【难度系数】
0.7
11. [2026石家庄期末] 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,5),B(-3,0),点C在x轴上,若△AOB≌△OCD,则点D的坐标是 (
A.(5,-3)
B.(-3,5)
C.(3,5)
D.(3,-5)
A
)A.(5,-3)
B.(-3,5)
C.(3,5)
D.(3,-5)
答案
11 A
∵ A(0,5),B(-3,0),
∴ OA =5,OB =3.
∵ △AOB≌△OCD,
∴ ∠OCD = ∠AOB =90°,OC = OA =5,CD = OB =3,
∴ 点D的坐标是(5,-3)(第四象限点的坐标符号为(+,-)).
∵ A(0,5),B(-3,0),
∴ OA =5,OB =3.
∵ △AOB≌△OCD,
∴ ∠OCD = ∠AOB =90°,OC = OA =5,CD = OB =3,
∴ 点D的坐标是(5,-3)(第四象限点的坐标符号为(+,-)).
解析
【分析】
解题首先根据已知点A、B的坐标，求出△AOB的两条直角边OA、OB的长度，确定△AOB是直角三角形；再利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，推导△OCD的边长和角的特征；最后结合点D所在第四象限的坐标符号规律，就能得出点D的坐标。
【解析】
解：
∵ A(0,5)，B(-3,0)，
∴ OA=5，OB=3，∠AOB=90°。
∵ △AOB≌△OCD，
∴ ∠OCD=∠AOB=90°，OC=OA=5，CD=OB=3。
∵ 点C在x轴正半轴，CD垂直x轴，点D位于第四象限，第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，
∴ 点D的坐标为(5,-3)。
【答案】A
【知识点】全等三角形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于全等三角形与坐标系结合的基础题型，解题关键是准确找准全等三角形的对应边、对应角，结合象限的坐标符号特点即可求出结果，注意不要混淆对应边的对应关系和象限的符号规律。
【难度系数】
0.8
解题首先根据已知点A、B的坐标，求出△AOB的两条直角边OA、OB的长度，确定△AOB是直角三角形；再利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，推导△OCD的边长和角的特征；最后结合点D所在第四象限的坐标符号规律，就能得出点D的坐标。
【解析】
解：
∵ A(0,5)，B(-3,0)，
∴ OA=5，OB=3，∠AOB=90°。
∵ △AOB≌△OCD，
∴ ∠OCD=∠AOB=90°，OC=OA=5，CD=OB=3。
∵ 点C在x轴正半轴，CD垂直x轴，点D位于第四象限，第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，
∴ 点D的坐标为(5,-3)。
【答案】A
【知识点】全等三角形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于全等三角形与坐标系结合的基础题型，解题关键是准确找准全等三角形的对应边、对应角，结合象限的坐标符号特点即可求出结果，注意不要混淆对应边的对应关系和象限的符号规律。
【难度系数】
0.8
12. 如图,已知$△ ABC ≌ △ DEF$,CD是$∠ ACB$的平分线,BC与DF交于点G,已知$∠ D=22°$,$∠ CGD=92°$,则$∠ E$的度数是 (
A.$26°$
B.$22°$
C.$34°$
D.$30°$
A
)A.$26°$
B.$22°$
C.$34°$
D.$30°$
答案
12 A
∵ ∠D =22°,∠CGD =92°,
∴ ∠DCG =180° - ∠D - ∠CGD =66°.
∵ CD是∠ACB的平分线,
∴ ∠ACB =2∠DCG =132°.
∵ △ABC≌△DEF,
∴ ∠F = ∠ACB =132°,
∴ ∠E =180° - ∠D - ∠F =26°.
∵ ∠D =22°,∠CGD =92°,
∴ ∠DCG =180° - ∠D - ∠CGD =66°.
∵ CD是∠ACB的平分线,
∴ ∠ACB =2∠DCG =132°.
∵ △ABC≌△DEF,
∴ ∠F = ∠ACB =132°,
∴ ∠E =180° - ∠D - ∠F =26°.
解析
【分析】
解题时先从已知角度的△CGD入手，利用三角形内角和定理求出∠DCG的度数；再结合角平分线的定义得到∠ACB的度数；接着根据全等三角形对应角相等的性质，得到△DEF中∠F的度数；最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠E的度数。
【解析】
在△CGD中，已知∠D=22°，∠CGD=92°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DCG = 180° - ∠ D - ∠ CGD = 180° - 22° - 92° = 66°$
∵ CD是∠ACB的平分线，
∴ $∠ ACB = 2∠ DCG = 2×66° = 132°$
又
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，全等三角形对应角相等，
∴ $∠ F = ∠ ACB = 132°$
在△DEF中，根据三角形内角和为180°：
$∠ E = 180° - ∠ D - ∠ F = 180° - 22° - 132° = 26°$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用考题，解题的关键是熟练掌握角的计算相关定理，通过全等三角形的性质实现不同三角形内角的转化，解题思路清晰，属于常规题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知角度的△CGD入手，利用三角形内角和定理求出∠DCG的度数；再结合角平分线的定义得到∠ACB的度数；接着根据全等三角形对应角相等的性质，得到△DEF中∠F的度数；最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠E的度数。
【解析】
在△CGD中，已知∠D=22°，∠CGD=92°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DCG = 180° - ∠ D - ∠ CGD = 180° - 22° - 92° = 66°$
∵ CD是∠ACB的平分线，
∴ $∠ ACB = 2∠ DCG = 2×66° = 132°$
又
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，全等三角形对应角相等，
∴ $∠ F = ∠ ACB = 132°$
在△DEF中，根据三角形内角和为180°：
$∠ E = 180° - ∠ D - ∠ F = 180° - 22° - 132° = 26°$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用考题，解题的关键是熟练掌握角的计算相关定理，通过全等三角形的性质实现不同三角形内角的转化，解题思路清晰，属于常规题型。
【难度系数】
0.7
13. [2026合肥期中] 如图，$△ ABC ≌ △ ADE$，$∠ CAE = 90°$，$AB = 2$，则图中阴影部分的面积为
2
。答案
13 2 如图,设AD与BC交于点F.
∵ △ABC≌△ADE,
∴ S△ABC = S△ADE,AD = AB = 2,∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠BAC - ∠FAC = ∠DAE - ∠FAC,即∠BAD = ∠CAE =90°,
∴ S阴影 = S△ABD + S△ADE - S△ABC = S△ABD = $\frac{1}{2}AB·AD = \frac{1}{2}×2×2 =2$(转化思想).
解析
【分析】
解题时先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、面积相等。观察图形可知阴影部分为不规则图形，可采用等积转化法求解：首先借助全等得到△ABC和△ADE面积相等，消去两个三角形重叠的空白部分后，可将阴影面积转化为△ABD的面积；再结合已知∠CAE=90°推导得出△ABD为直角三角形，最后代入对应边长计算面积即可。
【解析】
设AD与BC交于点F。
∵ $△ ABC≌△ ADE$，
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ ADE}$，$AD = AB = 2$，$∠ BAC = ∠ DAE$，
∴ $∠ BAC - ∠ FAC = ∠ DAE - ∠ FAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE = 90°$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ADE} + S_{△ ABD} - S_{△ ABC}$，
又$\because S_{△ ABC} = S_{△ ADE}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB·AD = \frac{1}{2}×2×2 =2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的性质，三角形面积计算，角度和差计算
【点评】
本题重点考查全等三角形性质的灵活应用，解题的关键是运用转化思想将不规则的阴影面积转化为规则的直角三角形面积，能有效锻炼学生的图形分析能力和等量代换思维。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、面积相等。观察图形可知阴影部分为不规则图形，可采用等积转化法求解：首先借助全等得到△ABC和△ADE面积相等，消去两个三角形重叠的空白部分后，可将阴影面积转化为△ABD的面积；再结合已知∠CAE=90°推导得出△ABD为直角三角形，最后代入对应边长计算面积即可。
【解析】
设AD与BC交于点F。
∵ $△ ABC≌△ ADE$，
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ ADE}$，$AD = AB = 2$，$∠ BAC = ∠ DAE$，
∴ $∠ BAC - ∠ FAC = ∠ DAE - ∠ FAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE = 90°$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ADE} + S_{△ ABD} - S_{△ ABC}$，
又$\because S_{△ ABC} = S_{△ ADE}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB·AD = \frac{1}{2}×2×2 =2$。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的性质，三角形面积计算，角度和差计算
【点评】
本题重点考查全等三角形性质的灵活应用，解题的关键是运用转化思想将不规则的阴影面积转化为规则的直角三角形面积，能有效锻炼学生的图形分析能力和等量代换思维。
【难度系数】
0.7
14. 新趋势·结论开放 如图,请分别画两条直线,把每个图案都分成四个全等的图形.
答案
14 解:如图所示.(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆全等图形的定义：能够完全重合的图形是全等图形，即分割后的四个部分形状、大小都要完全相同。观察两个十字形图案，均为对称图形，十字的中心点是它的对称中心，我们可以利用对称性，通过过中心点画直线的方式进行分割：
1. 对于第一个图案，考虑横竖方向的对称特征，过中心画水平和竖直两条直线，就能把图形分成四个完全相同的部分；
2. 对于第二个图案，考虑斜向的对称分割，过中心画两条互相垂直、与水平方向成45°的直线，也能得到四个全等的部分，分割方式不唯一，只要满足四部分全等即可。
【解析】
步骤1：确定每个十字图形的中心点，即图形内部两条相交长虚线的交点位置；
步骤2：第一个图形：过中心点分别作水平方向和竖直方向的直线，这两条直线将十字形平均分成四个形状、大小完全一致的图形；
步骤3：第二个图形：过中心点作两条互相垂直，且与水平方向夹角为45°的直线，这两条直线同样将十字形分成四个全等的图形。
注：分割方式不唯一，只要分割后四个图形能够完全重合即为正确。
【答案】
如图所示.(答案不唯一)
【知识点】
全等图形的概念，图形对称的应用，图形分割
【点评】
本题是开放类题目，核心考查对全等图形性质的理解与灵活运用，解题时可以先观察图形的对称性特征，以图形中心为切入点尝试分割，再验证分割后的四个部分是否满足全等的要求即可，思路灵活多样，能锻炼几何观察能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆全等图形的定义：能够完全重合的图形是全等图形，即分割后的四个部分形状、大小都要完全相同。观察两个十字形图案，均为对称图形，十字的中心点是它的对称中心，我们可以利用对称性，通过过中心点画直线的方式进行分割：
1. 对于第一个图案，考虑横竖方向的对称特征，过中心画水平和竖直两条直线，就能把图形分成四个完全相同的部分；
2. 对于第二个图案，考虑斜向的对称分割，过中心画两条互相垂直、与水平方向成45°的直线，也能得到四个全等的部分，分割方式不唯一，只要满足四部分全等即可。
【解析】
步骤1：确定每个十字图形的中心点，即图形内部两条相交长虚线的交点位置；
步骤2：第一个图形：过中心点分别作水平方向和竖直方向的直线，这两条直线将十字形平均分成四个形状、大小完全一致的图形；
步骤3：第二个图形：过中心点作两条互相垂直，且与水平方向夹角为45°的直线，这两条直线同样将十字形分成四个全等的图形。
注：分割方式不唯一，只要分割后四个图形能够完全重合即为正确。
【答案】
如图所示.(答案不唯一)
【知识点】
全等图形的概念，图形对称的应用，图形分割
【点评】
本题是开放类题目，核心考查对全等图形性质的理解与灵活运用，解题时可以先观察图形的对称性特征，以图形中心为切入点尝试分割，再验证分割后的四个部分是否满足全等的要求即可，思路灵活多样，能锻炼几何观察能力。
【难度系数】
0.7
15. [2025合肥庐阳区段考]如图,点A,D,E,B在同一直线上,点F在线段BC上,△ACD≌△ECD,△CEF≌△BEF,∠ACB=90°.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)求∠B的度数;
(3)求证:EF//AC.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)求∠B的度数;
(3)求证:EF//AC.
答案
15 (1)证明:
∵ △ACD≌△ECD,
∴ ∠ADC = ∠EDC.
∵ 点A,D,E在同一直线上,
∴ ∠ADC + ∠EDC =180°,
∴ ∠ADC = ∠EDC =90°,即CD⊥AB.
(2)解:
∵ △ACD≌△ECD,△CEF≌△BEF,
∴ ∠A = ∠CED,∠B = ∠BCE.
∵ ∠CED = ∠B + ∠BCE =2∠B,∠A + ∠B + ∠ACB =180°,∠ACB =90°,
∴ 2∠B + ∠B +90° =180°,
∴ ∠B =30°.
(3)证明:
∵ △CEF≌△BEF,
∴ ∠EFC = ∠EFB.
∵ ∠EFB + ∠EFC =180°,
∴ ∠EFB =90°.
∵ ∠ACB =90°,
∴ ∠ACB = ∠EFB,
∴ EF//AC.
∵ △ACD≌△ECD,
∴ ∠ADC = ∠EDC.
∵ 点A,D,E在同一直线上,
∴ ∠ADC + ∠EDC =180°,
∴ ∠ADC = ∠EDC =90°,即CD⊥AB.
(2)解:
∵ △ACD≌△ECD,△CEF≌△BEF,
∴ ∠A = ∠CED,∠B = ∠BCE.
∵ ∠CED = ∠B + ∠BCE =2∠B,∠A + ∠B + ∠ACB =180°,∠ACB =90°,
∴ 2∠B + ∠B +90° =180°,
∴ ∠B =30°.
(3)证明:
∵ △CEF≌△BEF,
∴ ∠EFC = ∠EFB.
∵ ∠EFB + ∠EFC =180°,
∴ ∠EFB =90°.
∵ ∠ACB =90°,
∴ ∠ACB = ∠EFB,
∴ EF//AC.
解析
【分析】
(1) 要证明CD⊥AB，只需证∠ADC=90°。已知△ACD≌△ECD，根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠EDC，又A、D、E共线，∠ADC与∠EDC是邻补角，和为180°，即可推出∠ADC=90°，完成垂直的证明。
(2) 求∠B的度数时，先利用全等三角形性质得∠A=∠CED、∠B=∠BCE，再结合三角形外角性质得∠CED=2∠B，即∠A=2∠B，最后在Rt△ACB中利用三角形内角和定理列方程求解即可。
(3) 要证明EF//AC，可通过同位角相等推导。由△CEF≌△BEF得∠EFC=∠EFB，结合邻补角性质得∠EFB=90°，与∠ACB=90°相等，同位角相等即可推出两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ACD≌△ECD，
∴ ∠ADC = ∠EDC，
∵ 点A,D,E在同一直线上，
∴ ∠ADC + ∠EDC =180°，
∴ ∠ADC = ∠EDC =90°，即CD⊥AB。
(2) 解：
∵ △ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，
∴ ∠A = ∠CED，∠B = ∠BCE，
∵ ∠CED是△BCE的外角，
∴ ∠CED = ∠B + ∠BCE =2∠B，
又
∵ ∠A + ∠B + ∠ACB =180°，∠ACB =90°，
∴ 2∠B + ∠B +90° =180°，
解得∠B =30°。
(3) 证明：
∵ △CEF≌△BEF，
∴ ∠EFC = ∠EFB，
∵ ∠EFB + ∠EFC =180°，
∴ ∠EFB =90°，
∵ ∠ACB =90°，
∴ ∠ACB = ∠EFB，
∴ EF//AC（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) CD⊥AB，证明成立；
(2) ∠B=30°；
(3) EF//AC，证明成立。
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；平行线的判定
【点评】
本题综合考查了全等三角形性质、垂直判定、角度计算和平行线判定，解题核心是灵活运用全等三角形对应角相等的性质，结合邻补角、三角形外角、内角和的角度关系逐步推导，能有效巩固基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CD⊥AB，只需证∠ADC=90°。已知△ACD≌△ECD，根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠EDC，又A、D、E共线，∠ADC与∠EDC是邻补角，和为180°，即可推出∠ADC=90°，完成垂直的证明。
(2) 求∠B的度数时，先利用全等三角形性质得∠A=∠CED、∠B=∠BCE，再结合三角形外角性质得∠CED=2∠B，即∠A=2∠B，最后在Rt△ACB中利用三角形内角和定理列方程求解即可。
(3) 要证明EF//AC，可通过同位角相等推导。由△CEF≌△BEF得∠EFC=∠EFB，结合邻补角性质得∠EFB=90°，与∠ACB=90°相等，同位角相等即可推出两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ACD≌△ECD，
∴ ∠ADC = ∠EDC，
∵ 点A,D,E在同一直线上，
∴ ∠ADC + ∠EDC =180°，
∴ ∠ADC = ∠EDC =90°，即CD⊥AB。
(2) 解：
∵ △ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，
∴ ∠A = ∠CED，∠B = ∠BCE，
∵ ∠CED是△BCE的外角，
∴ ∠CED = ∠B + ∠BCE =2∠B，
又
∵ ∠A + ∠B + ∠ACB =180°，∠ACB =90°，
∴ 2∠B + ∠B +90° =180°，
解得∠B =30°。
(3) 证明：
∵ △CEF≌△BEF，
∴ ∠EFC = ∠EFB，
∵ ∠EFB + ∠EFC =180°，
∴ ∠EFB =90°，
∵ ∠ACB =90°，
∴ ∠ACB = ∠EFB，
∴ EF//AC（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) CD⊥AB，证明成立；
(2) ∠B=30°；
(3) EF//AC，证明成立。
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；平行线的判定
【点评】
本题综合考查了全等三角形性质、垂直判定、角度计算和平行线判定，解题核心是灵活运用全等三角形对应角相等的性质，结合邻补角、三角形外角、内角和的角度关系逐步推导，能有效巩固基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
16. 易错题 推理能力 [2026六安金安区期中]如图,已知在$△ ABC$中,$AB = AC = 10$,$BC = 8$,点$D$为$AB$的中点.点$P$在线段$BC$上以每秒3个单位长度的速度由点$B$向点$C$运动,同时点$Q$在线段$CA$上以每秒$a$个单位长度的速度由点$C$向点$A$运动.设运动时间为$t$秒,若$△ CPQ$和$△ BDP$全等,且$∠ B$和$∠ C$是对应角,则$a$的值为
3或$\frac{15}{4}$
.答案
16 3或$\frac{15}{4}$ 由题意可知,$BP = 3t$,$CQ = at$,$∴ CP = BC - BP =8 -3t$.
∵ 点D为AB的中点,$∴ BD = \frac{1}{2}AB =5$.
∵ △CPQ和△BDP全等,且∠B和∠C是对应角,
∴ 分两种情况. ①当△BDP≌△CQP时,可得$BP = CP$,$BD = CQ$,$∴ 3t =8 -3t$,$5 = at$,解得$t = \frac{4}{3}$,$a = \frac{15}{4}$. ②当△BDP≌△CPQ时,可得$BD = CP$,$BP = CQ$,$∴ 5 =8 -3t$,$3t = at$,解得$t =1$,$a =3$.综上,$a$的值为3或$\frac{15}{4}$.
∵ 点D为AB的中点,$∴ BD = \frac{1}{2}AB =5$.
∵ △CPQ和△BDP全等,且∠B和∠C是对应角,
∴ 分两种情况. ①当△BDP≌△CQP时,可得$BP = CP$,$BD = CQ$,$∴ 3t =8 -3t$,$5 = at$,解得$t = \frac{4}{3}$,$a = \frac{15}{4}$. ②当△BDP≌△CPQ时,可得$BD = CP$,$BP = CQ$,$∴ 5 =8 -3t$,$3t = at$,解得$t =1$,$a =3$.综上,$a$的值为3或$\frac{15}{4}$.
解析
【分析】
首先我们先把运动过程中各线段的长度用含t、a的代数式表示：点P速度是3单位/秒，所以BP=3t，CP=BC-BP=8-3t；点Q速度是a单位/秒，所以CQ=at；D是AB中点，AB=10，所以BD=5。已知△CPQ和△BDP全等，且∠B与∠C是对应角，说明两个三角形已经固定了一组对应角，但对应边有两种可能的对应情况，需要分情况讨论，根据全等三角形对应边相等列方程求解即可。
【解析】
由题意得：$BP = 3t$，$CQ = at$，
$\therefore CP = BC - BP = 8 - 3t$，
∵点D为AB的中点，$AB=10$，
$\therefore BD = \frac{1}{2}AB = 5$，
∵△CPQ和△BDP全等，且∠B和∠C是对应角，分两种情况讨论：
①当$△ BDP ≌ △ CQP$时，对应边相等：$BP = CP$，$BD = CQ$，
列方程：$3t = 8 - 3t$，$5 = at$，
解得$t = \frac{4}{3}$，代入$5=at$得$a = \frac{15}{4}$；
②当$△ BDP ≌ △ CPQ$时，对应边相等：$BD = CP$，$BP = CQ$，
列方程：$5 = 8 - 3t$，$3t = at$，
解得$t=1$，代入$3t=at$得$a=3$。
综上，a的值为3或$\frac{15}{4}$。
【答案】
3或$\frac{15}{4}$
【知识点】
全等三角形的性质；动点问题处理；分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型易错题，解题的关键是在已知一组对应角的前提下，明确全等三角形存在两种不同的对应边匹配情况，避免漏解，同时计算出的时间t需符合运动的实际意义。
【难度系数】
0.6
首先我们先把运动过程中各线段的长度用含t、a的代数式表示：点P速度是3单位/秒，所以BP=3t，CP=BC-BP=8-3t；点Q速度是a单位/秒，所以CQ=at；D是AB中点，AB=10，所以BD=5。已知△CPQ和△BDP全等，且∠B与∠C是对应角，说明两个三角形已经固定了一组对应角，但对应边有两种可能的对应情况，需要分情况讨论，根据全等三角形对应边相等列方程求解即可。
【解析】
由题意得：$BP = 3t$，$CQ = at$，
$\therefore CP = BC - BP = 8 - 3t$，
∵点D为AB的中点，$AB=10$，
$\therefore BD = \frac{1}{2}AB = 5$，
∵△CPQ和△BDP全等，且∠B和∠C是对应角，分两种情况讨论：
①当$△ BDP ≌ △ CQP$时，对应边相等：$BP = CP$，$BD = CQ$，
列方程：$3t = 8 - 3t$，$5 = at$，
解得$t = \frac{4}{3}$，代入$5=at$得$a = \frac{15}{4}$；
②当$△ BDP ≌ △ CPQ$时，对应边相等：$BD = CP$，$BP = CQ$，
列方程：$5 = 8 - 3t$，$3t = at$，
解得$t=1$，代入$3t=at$得$a=3$。
综上，a的值为3或$\frac{15}{4}$。
【答案】
3或$\frac{15}{4}$
【知识点】
全等三角形的性质；动点问题处理；分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型易错题，解题的关键是在已知一组对应角的前提下，明确全等三角形存在两种不同的对应边匹配情况，避免漏解，同时计算出的时间t需符合运动的实际意义。
【难度系数】
0.6
