登录
6. ★★★ /真实情境题 生活应用 在某市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下.每到傍晚,市内某网红烧烤店就食客如云,这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销,店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售,其中海鲜串的成本为$m$元/支,肉串的成本为$n$元/支;两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与总成本如下表所示(成本包括进价和其他费用):
针对旅游团消费,店主决定每次消费海鲜串不超过200支时,每支售价5元;超过200支时,不超过200支的部分按原价,超过200支的部分打八折,每支肉串的售价为3.5元.
(1)求$m,n$的值;
(2)五一当天,一个旅游团去此店吃烧烤,一次性消费海鲜串和肉串共1 000支,且海鲜串不超过400支.在本次消费中,设该旅游团消费海鲜串$x$支,店主获得海鲜串的总利润为$y$元,求$y$与$x$之间的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围;
(3)在(2)的条件下,该旅游团消费的海鲜串超过了200支,店主决定给该旅游团更多优惠:对每支肉串降价$a$ $(0＜a＜1)$元,但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润,求$a$的最大值.
针对旅游团消费,店主决定每次消费海鲜串不超过200支时,每支售价5元;超过200支时,不超过200支的部分按原价,超过200支的部分打八折,每支肉串的售价为3.5元.
(1)求$m,n$的值;
(2)五一当天,一个旅游团去此店吃烧烤,一次性消费海鲜串和肉串共1 000支,且海鲜串不超过400支.在本次消费中,设该旅游团消费海鲜串$x$支,店主获得海鲜串的总利润为$y$元,求$y$与$x$之间的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围;
(3)在(2)的条件下,该旅游团消费的海鲜串超过了200支,店主决定给该旅游团更多优惠:对每支肉串降价$a$ $(0＜a＜1)$元,但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润,求$a$的最大值.
答案
6.【解】(1)根据表格可得
$\begin{cases}3\ 000m+4\ 000n=17\ 000,\\4\ 000m+3\ 000n=18\ 000,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=3,\\n=2,\end{cases}$
所以$m$的值为$3$,$n$的值为$2$.
(2)当$0＜x≤200$时,店主获得海鲜串的总利润$y=(5-3)x=2x$;
当$200＜x≤400$时,店主获得海鲜串的总利润$y=(5-3)×200+(5×0.8-3)(x-200)=x+200$.
所以$y=\begin{cases}2x(0＜x≤200),\\x+200(200＜x≤400).\end{cases}$
(3)设降价后获得肉串的总利润为$z$元,令$W=z-y$.
根据题意得$z=(3.5-a-2\ )(1\ 000-x\ )=(a-1.5)x+1\ 500-1\ 000a$,
因为$200＜x≤400$,
所以$y=x+200$.
所以$W=z-y=(a-2.5)x+1\ 300-1\ 000a$,
因为$0＜a＜1$,所以$a-2.5＜0$,
所以$W$随$x$的增大而减小,所以当$x=400$时,$W$的值最小,$W_{\mathrm{最小}}=(a-2.5)×400+1\ 300-1\ 000a=-600a+300$.由题意可得$z≥y$,所以$W≥0$,
即$-600a+300≥0$,解得$a≤0.5$,
所以$a$的最大值是$0.5$.
$\begin{cases}3\ 000m+4\ 000n=17\ 000,\\4\ 000m+3\ 000n=18\ 000,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=3,\\n=2,\end{cases}$
所以$m$的值为$3$,$n$的值为$2$.
(2)当$0＜x≤200$时,店主获得海鲜串的总利润$y=(5-3)x=2x$;
当$200＜x≤400$时,店主获得海鲜串的总利润$y=(5-3)×200+(5×0.8-3)(x-200)=x+200$.
所以$y=\begin{cases}2x(0＜x≤200),\\x+200(200＜x≤400).\end{cases}$
(3)设降价后获得肉串的总利润为$z$元,令$W=z-y$.
根据题意得$z=(3.5-a-2\ )(1\ 000-x\ )=(a-1.5)x+1\ 500-1\ 000a$,
因为$200＜x≤400$,
所以$y=x+200$.
所以$W=z-y=(a-2.5)x+1\ 300-1\ 000a$,
因为$0＜a＜1$,所以$a-2.5＜0$,
所以$W$随$x$的增大而减小,所以当$x=400$时,$W$的值最小,$W_{\mathrm{最小}}=(a-2.5)×400+1\ 300-1\ 000a=-600a+300$.由题意可得$z≥y$,所以$W≥0$,
即$-600a+300≥0$,解得$a≤0.5$,
所以$a$的最大值是$0.5$.
解析
【分析】
(1) 要求m、n的值，可根据两次进货的数量和总成本找到两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可。
(2) 海鲜串售价分“不超过200支”和“超过200支”两种情况，结合x的上限400，分两段按“利润=（售价-成本）×销售数量”计算利润，分别写出对应函数关系式，标注自变量范围即可。
(3) 先表示出降价后肉串的总利润z，根据“肉串总利润始终不低于海鲜串总利润”的要求，构造差值函数W=z-y，结合x的取值范围分析W的单调性，找到W的最小值，令最小值≥0，解不等式即可得到a的最大值。
【解析】
(1) 根据表格信息列二元一次方程组：
$\begin{cases}3\,000m+4\,000n=17\,000\\4\,000m+3\,000n=18\,000\end{cases}$
整理得$\begin{cases}3m+4n=17\\4m+3n=18\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}$。
(2) 分两种情况计算海鲜串利润：
① 当$0＜x≤200$时，每支海鲜串利润为$5-3=2$元，总利润$y=2x$；
② 当$200＜x≤400$时，200支以内的利润为$200×(5-3)=400$元，超过200支的部分每支售价为$5×0.8=4$元，每支利润为$4-3=1$元，这部分利润为$1×(x-200)$，因此总利润$y=400+(x-200)=x+200$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为$y=\begin{cases}2x&(0＜x≤200)\\x+200&(200＜x≤400)\end{cases}$。
(3) 设降价后肉串总利润为$z$元，肉串数量为$1000-x$支，每支肉串利润为$3.5-a-2=1.5-a$元，因此：
$z=(1.5-a)(1000-x)=(a-1.5)x+1500-1000a$
由题意$200＜x≤400$，此时海鲜串利润$y=x+200$。
要求$z≥y$恒成立，令$W=z-y$，则$W≥0$对$200＜x≤400$恒成立：
$W=(a-1.5)x+1500-1000a-(x+200)=(a-2.5)x+1300-1000a$
因为$0＜a＜1$，所以$a-2.5＜0$，$W$随$x$的增大而减小，当$x=400$时$W$取最小值：
$W_{\mathrm{最小}}=(a-2.5)×400+1300-1000a=-600a+300$
令$W_{\mathrm{最小}}≥0$，即$-600a+300≥0$，解得$a≤0.5$，因此$a$的最大值为0.5。
【答案】
(1) $m=3$，$n=2$；
(2) $y=\begin{cases}2x&(0＜x≤200)\\x+200&(200＜x≤400)\end{cases}$；
(3) $a$的最大值为$0.5$。
【知识点】
二元一次方程组的应用；分段函数；一次函数的性质
【点评】
本题结合实际消费场景，考查了方程组、分段函数、一次函数性质与不等式的综合应用，解题时需注意分段函数的自变量取值边界，处理恒成立问题时要结合函数单调性找最值，能够锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
(1) 要求m、n的值，可根据两次进货的数量和总成本找到两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可。
(2) 海鲜串售价分“不超过200支”和“超过200支”两种情况，结合x的上限400，分两段按“利润=（售价-成本）×销售数量”计算利润，分别写出对应函数关系式，标注自变量范围即可。
(3) 先表示出降价后肉串的总利润z，根据“肉串总利润始终不低于海鲜串总利润”的要求，构造差值函数W=z-y，结合x的取值范围分析W的单调性，找到W的最小值，令最小值≥0，解不等式即可得到a的最大值。
【解析】
(1) 根据表格信息列二元一次方程组：
$\begin{cases}3\,000m+4\,000n=17\,000\\4\,000m+3\,000n=18\,000\end{cases}$
整理得$\begin{cases}3m+4n=17\\4m+3n=18\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}$。
(2) 分两种情况计算海鲜串利润：
① 当$0＜x≤200$时，每支海鲜串利润为$5-3=2$元，总利润$y=2x$；
② 当$200＜x≤400$时，200支以内的利润为$200×(5-3)=400$元，超过200支的部分每支售价为$5×0.8=4$元，每支利润为$4-3=1$元，这部分利润为$1×(x-200)$，因此总利润$y=400+(x-200)=x+200$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为$y=\begin{cases}2x&(0＜x≤200)\\x+200&(200＜x≤400)\end{cases}$。
(3) 设降价后肉串总利润为$z$元，肉串数量为$1000-x$支，每支肉串利润为$3.5-a-2=1.5-a$元，因此：
$z=(1.5-a)(1000-x)=(a-1.5)x+1500-1000a$
由题意$200＜x≤400$，此时海鲜串利润$y=x+200$。
要求$z≥y$恒成立，令$W=z-y$，则$W≥0$对$200＜x≤400$恒成立：
$W=(a-1.5)x+1500-1000a-(x+200)=(a-2.5)x+1300-1000a$
因为$0＜a＜1$，所以$a-2.5＜0$，$W$随$x$的增大而减小，当$x=400$时$W$取最小值：
$W_{\mathrm{最小}}=(a-2.5)×400+1300-1000a=-600a+300$
令$W_{\mathrm{最小}}≥0$，即$-600a+300≥0$，解得$a≤0.5$，因此$a$的最大值为0.5。
【答案】
(1) $m=3$，$n=2$；
(2) $y=\begin{cases}2x&(0＜x≤200)\\x+200&(200＜x≤400)\end{cases}$；
(3) $a$的最大值为$0.5$。
【知识点】
二元一次方程组的应用；分段函数；一次函数的性质
【点评】
本题结合实际消费场景，考查了方程组、分段函数、一次函数性质与不等式的综合应用，解题时需注意分段函数的自变量取值边界，处理恒成立问题时要结合函数单调性找最值，能够锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
