1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$.分别以点$B$和点$C$为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧交于点$D$,作直线$AD$交$BC$于点$E$,若$∠ BAC=110°$,则$∠ BAE$的大小为°.

1. 55

【分析】
首先由AB=AC可判断△ABC为等腰三角形；再根据题中的尺规作图步骤，可知直线AD是线段BC的垂直平分线；结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是∠BAC的角平分线，因此∠BAE等于∠BAC的一半，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
由尺规作图的方法可知，直线AD为线段BC的垂直平分线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，可得AD平分∠BAC。
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
55
【知识点】
等腰三角形三线合一、尺规作垂直平分线、角的运算
【点评】
本题属于基础题型，考查了尺规作图的识别和等腰三角形的性质，解题的关键是正确判断AD的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的特点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 新考向·知识情境化 2025·扬州 在如图的房屋人字梁架中，$AB=AC$，点$D$在$BC$上，下列条件中不能说明$AD⊥BC$的是（）

A.$∠ADB=∠ADC$
B.$∠B=∠C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠BAC$

2. B

【分析】
首先由已知AB=AC可得△ABC是等腰三角形，BC为底边。要判断哪个条件不能推出AD⊥BC，可结合等腰三角形“三线合一”的性质，以及垂直的定义，对每个选项逐一分析：①若条件能推出AD是等腰三角形的顶角平分线或底边上的中线，即可由三线合一得AD是底边上的高，即AD⊥BC；②若条件能直接推出∠ADB或∠ADC为90°，也可得到AD⊥BC；③若条件是等腰三角形本身就具备的性质，无法额外推导AD的位置，则不能说明AD⊥BC。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，底边为BC。
对选项A：∠ADB与∠ADC是邻补角，和为180°，若∠ADB=∠ADC，则∠ADB=∠ADC=90°，可直接得AD⊥BC，不符合题意；
对选项B：等腰三角形本身就具备“等边对等角”的性质，即AB=AC时∠B=∠C恒成立，该条件无法推导AD与BC的位置关系，不能说明AD⊥BC，符合题意；
对选项C：若BD=CD，说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意；
对选项D：若AD平分∠BAC，说明AD是等腰△ABC的顶角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，垂直判定
【点评】
本题结合生活中的人字梁架场景考查等腰三角形相关性质的应用，解题的核心是准确理解等腰三角形三线合一的适用条件，注意区分等腰三角形的固有性质和额外添加的推理条件，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC中点,连接AD,若∠BAD=y,∠B=2x,则y与x之间的函数关系图象是 ()

A
B
C
D

3. D

【分析】
首先利用等腰三角形“三线合一”的性质确定AD与BC的位置关系，再结合直角三角形两锐角互余的性质推导y与x的数量关系，最后根据角的实际取值范围确定函数图象的形状即可解题。解题思路：第一步：回忆等腰三角形三线合一性质，明确等腰三角形底边上的中线同时是底边上的高；第二步：在直角三角形中利用两锐角互余的性质，列出y与x的关系式；第三步：结合三角形内角的取值要求确定x的范围，匹配对应的函数图象。
【解析】
∵AB=AC，D为BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，两个锐角互余，因此∠B + ∠BAD = 90°。
已知∠B=2x，∠BAD=y，代入得：2x + y = 90，整理可得y = -2x + 90。
再确定自变量x的取值范围：三角形内角为正角，且∠B是Rt△ABD的锐角，因此2x＞0且2x＜90°，解得0＜x＜45。
因此y与x的函数关系是一次函数y=-2x+90在0＜x＜45范围内的部分，为不含两个端点的线段，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；一次函数图象
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，既考查等腰三角形性质的应用，也要求结合几何意义确定函数自变量的取值范围，做题时要注意避免忽略取值范围误选完整直线的错误。
【难度系数】
0.7

4. 新考法 等面积转换法 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$AB=AC=6$，$D$为边$BC$的中点，点$E,F$分别在边$AB,AC$上，$AE=CF$，则四边形$AEDF$的面积为（）

A.$18$
B.$9\sqrt{2}$
C.$9$
D.$6\sqrt{2}$

4. C 【点拨】连接AD,如图. $\because ∠BAC=90°,AB=AC=6$,D是BC的中点,$\therefore ∠BAD=∠CAD=45°,∠B=∠C=45°$,$\therefore AD=BD=DC$. 又$\because AE=CF$,$\therefore △ADE≌△CDF$.
$\therefore S_{四边形AEDF} = S_{△AED} + S_{△ADF} = S_{△CFD} + S_{△ADF} = S_{△ADC} = \frac{1}{2}S_{△ABC}$. 又
$\because S_{△ABC} = 6 × 6 × \frac{1}{2} = 18$,
$\therefore S_{四边形AEDF} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = 9$.

【分析】
解题时先从已知条件入手：①△ABC是∠A=90°的等腰直角三角形，D是BC中点，等腰直角三角形斜边中点有“三线合一”、斜边中线等于斜边一半的性质，所以首先考虑连接AD，得到相等的边和相等的角；②已知AE=CF，结合AD=CD、∠EAD=∠C=45°，可证△ADE≌△CDF，全等三角形面积相等，就可以将△ADE的面积替换为△CDF的面积，此时四边形AEDF的面积就转化为△ADC的面积，而△ADC的面积是大三角形ABC面积的一半，计算出△ABC的面积即可得解。
【解析】
连接AD，如图。
$\because ∠ BAC=90°$，$AB=AC=6$，D是BC的中点，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD=45°$，$∠ B=∠ C=45°$，$AD=BD=DC$。
又$\because AE=CF$，
$\therefore △ ADE≌△ CDF$（SAS）。
$\therefore S_{△ ADE}=S_{△ CDF}$，
$\therefore S_{四边形AEDF}=S_{△ AED}+S_{△ ADF}=S_{△ CFD}+S_{△ ADF}=S_{△ ADC}$。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×6=18$，
且D为BC中点，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
$\therefore S_{四边形AEDF}=\frac{1}{2}×18=9$。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，等面积转换
【点评】
本题是等面积转换法的典型考法，核心是利用等腰直角三角形的性质构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为易求的规则三角形面积求解，掌握连接斜边中点这类常见辅助线的做法是解题关键。
【难度系数】
0.7

5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=6$，$S_{△ ABC}=27$，直线$EF$垂直平分线段$AB$，若$D$为边$BC$的中点，点$G$为直线$EF$上一动点，则$△ BDG$周长的最小值为（）

A.10
B.11
C.12
D.13

5. C 【点拨】如图,连接AD,AG,
$\because AB=AC$, D 为边 BC 的中点,
$BC=6$,
$\therefore AD⊥BC,BD=\frac{1}{2}BC=3$.
$\because S_{△ABC}=27$,
$\therefore \frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×6AD=27$,
解得 $AD=9$. $\because$ 直线 EF 垂直平分线段 AB,$\therefore AG=BG$,
$\therefore △BDG$ 的周长为 $BD+BG+DG=3+AG+DG$. 由两点之间线段最短可知, 当 A,G,D 三点共线时,$AG+DG$的值最小,最小值为 AD 的长,$\therefore △BDG$ 周长的最小值为$3+AD=3+9=12$.

【分析】
要解决△BDG周长最小值的问题，首先分析周长的组成：$C_{△BDG}=BD+BG+DG$。其中D是BC中点，BC=6，因此BD=3是定值，只需让$BG+DG$取得最小值即可。已知EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，直线EF上的点G到A、B的距离相等，即$BG=AG$，可将$BG+DG$转化为$AG+DG$。根据两点之间线段最短，当A、G、D三点共线时，$AG+DG$的最小值为AD的长度。接下来利用等腰三角形“三线合一”的性质和已知的三角形面积求出AD的长度，即可算出周长的最小值。
【解析】
解：如图，连接AD、AG。
$\because AB=AC$，D为边BC的中点，$BC=6$，
$\therefore AD⊥ BC$，$BD=\frac{1}{2}BC=3$。
$\because S_{△ ABC}=27$，
$\therefore \frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}×6× AD=27$，
解得$AD=9$。
$\because$直线EF垂直平分线段AB，
$\therefore AG=BG$。
$\therefore △ BDG$的周长为$BD+BG+DG=3+AG+DG$。
由两点之间线段最短可知，当A、G、D三点共线时，$AG+DG$的值最小，最小值为AD的长9。
$\therefore △ BDG$周长的最小值为$3+9=12$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质；最短路径问题
【点评】
本题综合考查了等腰三角形性质、线段垂直平分线性质和最短路径的求解，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，把动态的线段和最值问题转化为静态的定长线段计算，能有效检验对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$D$是$AB$的中点，点$E$是线段$AD$上一点.$BF⊥ CE$于点$F$，$BF$交$CD$于点$G$.
(1)如图①，求证:
①$∠ ACE=∠ CBG$；②$AE=CG$.
(2)如图②，过点$A$作$AH⊥ CE$交$CE$的延长线于点$H$，$AH$的延长线交$CD$的延长线于点$M$，请在图中找出与$BE$相等的线段，并证明.

6. (1)【证明】①$\because BF⊥ CE, \therefore ∠CBG+∠BCF=90°$.
又$\because ∠ACE+∠BCF=∠ACB=90°$,
$\therefore ∠ACE=∠CBG$.
②$\because D$ 是 $AB$ 的中点,$AC=BC,∠ACB=90°$,
$\therefore CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,∠CAD=∠CBD=45°$.
$\therefore ∠CAE=∠BCG$.
由①知$∠ACE=∠CBG$,
在$△AEC$ 和$△CGB$ 中,$\because \begin{cases} ∠CAE=∠BCG, \\ AC=CB, \\ ∠ACE=∠CBG, \end{cases}$
$\therefore △AEC≌△CGB(\mathrm{ASA}),\therefore AE=CG$.
(2)【解】$BE=CM$. 证明如下：
$\because CH⊥HM,CD⊥ED$,
$\therefore ∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°$,
$\therefore ∠CMA=∠BEC$.
由(1)②知$∠ACM=∠CBE=45°$.
在$△BCE$ 和$△CAM$ 中,$\because \begin{cases} ∠BEC=∠CMA, \\ ∠CBE=∠ACM, \\ BC=CA, \end{cases}$
$\therefore △BCE≌△CAM(\mathrm{AAS}),\therefore BE=CM$.

【分析】
(1)①要证∠ACE=∠CBG，可利用同角的余角相等推导：已知BF⊥CE，可得∠CBG与∠BCF互余，又∠ACB=90°，则∠ACE与∠BCF互余，两个角都是∠BCF的余角，因此相等。
②要证AE=CG，可通过证明两条线段所在的△AEC和△CGB全等求解：先由等腰直角三角形“三线合一”的性质，得到∠CAE=∠BCG=45°，再结合已知AC=CB，以及①中得到的∠ACE=∠CBG，用ASA即可判定两三角形全等，全等三角形对应边相等，因此AE=CG。
(2)首先观察图形可猜测与BE相等的线段为CM，要证BE=CM，同样通过证明三角形全等推导：先由AH⊥CE、CD⊥AB，可得∠CMA和∠BEC都与∠MCH互余，根据同角的余角相等得∠CMA=∠BEC，再结合∠ACM=∠CBE=45°、BC=CA，用AAS判定△BCE和△CAM全等，即可得到BE=CM。
【解析】
(1) 证明：
①$\because BF⊥ CE, \therefore ∠CBG+∠BCF=90°$。
又$\because ∠ACE+∠BCF=∠ACB=90°$,
$\therefore ∠ACE=∠CBG$。
②$\because D$ 是 $AB$ 的中点,$AC=BC,∠ACB=90°$,
$\therefore CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,∠CAD=∠CBD=45°$,
$\therefore ∠CAE=∠BCG$。
由①知$∠ACE=∠CBG$,
在$△AEC$ 和$△CGB$ 中,$\because \begin{cases} ∠CAE=∠BCG, \\ AC=CB, \\ ∠ACE=∠CBG, \end{cases}$
$\therefore △AEC≌△CGB(\mathrm{ASA}),\therefore AE=CG$。
(2) 解：$BE=CM$，证明如下：
$\because CH⊥HM,CD⊥ED$,
$\therefore ∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°$,
$\therefore ∠CMA=∠BEC$。
由(1)②知$∠ACM=∠CBE=45°$,
在$△BCE$ 和$△CAM$ 中,$\because \begin{cases} ∠BEC=∠CMA, \\ ∠CBE=∠ACM, \\ BC=CA, \end{cases}$
$\therefore △BCE≌△CAM(\mathrm{AAS}),\therefore BE=CM$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{∠ACE=∠CBG}$得证；②$\boldsymbol{AE=CG}$得证；(2) 与BE相等的线段是$\boldsymbol{CM}$，$\boldsymbol{BE=CM}$得证。
【知识点】
同角的余角相等；等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰直角三角形与全等三角形结合的典型几何证明题，解题核心是利用直角的性质推导等角，结合等腰直角三角形的边角特征寻找全等的判定条件，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6