1[2025安徽亳州质检]将二次函数$y=x^2+4x-4$化成$y=a(x+h)^2+k$的形式为（）

A.$y=(x+2)^2-8$
B.$y=(x-2)^2$
C.$y=(x+2)^2-4$
D.$y=x^2-8$

$y=x^2+4x-4=x^2+4x+4-8=(x+2)^2-8.$ 故选A.

2[2025 江苏南通质检]把二次函数$y=\frac{1}{4}x^2 -x +3$化为$y=a(x-h)^2 +k$的形式，则$k=$.

$y=\frac{1}{4}x^2 -x +3 = \frac{1}{4}(x^2 -4x) +3 = \frac{1}{4}(x^2-4x+4-4)+3=\frac{1}{4}(x-2)^2+2,\therefore k=2,$ 故答案为2.

3[2025江西九江期末]在平面直角坐标系中,若把对称轴为直线$x=1$的抛物线$y=mx^2+nx+m-2(m＞2)$向上平移,使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点,则下列平移方式正确的是
()

A.向上平移1个单位长度
B.向上平移2个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向上平移4个单位长度

$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=1$, $\therefore -\frac{n}{2m}=1, \therefore n=-2m, \therefore y=mx^2+nx+m-2=mx^2-2mx+m-2=m(x-1)^2-2, \therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,-2). \because m＞2, \therefore$ 抛物线与$y$轴交于正半轴. $\because$ 平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点, $\therefore$ 平移后的抛物线顶点在$x$轴上, $\therefore$ 抛物线应向上平移2个单位长度,故选B.

4[2026 黑龙江牡丹江期中]将抛物线$y=ax^2+bx+c$向左平移一个单位长度后得到的抛物线的解析式为$y=3x^2-2x+1$，则$a+b+c$的值为.

将抛物线$y=ax^2+bx+c$向左平移一个单位长度后,所得抛物线的解析式为$y=a(x+1)^2+b(x+1)+c$,即$y=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)$. 又$\because$ 平移后所得抛物线的解析式为$y=3x^2-2x+1, \therefore a+b+c=1.$

5 二次函数$y=2x^2+8x+7$的图象是（）

$\because a=2＞0, \therefore$ 抛物线开口向上. $\because$ 二次函数的解析式为$y=2x^2+8x+7=2(x+2)^2-1, \therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(-2,-1)$,对称轴为直线$x=-2.$ 故选C.

6[2026江苏南京期中]当$m≤x≤4$时,函数$y=-x^2+4x$的$y$的取值范围是$0≤y≤4$,则$m$的取值范围是（）

A.$0＜m≤2$
B.$0≤m＜2$
C.$0＜m＜2$
D.$0≤m≤2$

因为二次函数解析式为$y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$,所以抛物线的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,4)$,且开口向下. 由$-x^2+4x=0$得$x=0$或$4$,所以抛物线与$x$轴的交点为$(0,0),(4,0)$,所以当$0≤x≤4$时,$0≤y≤4$. 又因为$m≤x≤4$时,$0≤y≤4$,所以$0≤m≤2.$ 故选D.

7 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx+c$($a＞0$)的部分图象如图所示,其对称轴为直线$x=2$,与$y$轴交于点$(0,-2)$,则当$y＜-2$时,$x$的取值范围是.

$\because$ 抛物线对称轴为直线$x=2$,抛物线经过点$(0,-2), \therefore$ 由抛物线的对称性可得抛物线经过点$(4,-2), \therefore$ 当$0＜x＜4$时,$y＜-2$,故答案为$0＜x＜4.$

8[2025上海闵行区期中]已知$(-1,y_{1}),(2,y_{2})$，$(4,y_{3})$都是二次函数$y=ax^2 -2ax +3a(a≠0)$的图象上的点，当$x＞2$时，$y$随着$x$的增大而增大，则$y_{1},y_{2},y_{3}$按从小到大的顺序排列是.（用“＜”连接）

$\because y=ax^2-2ax+3a(a ≠ 0), \therefore$ 图象的对称轴是直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1. \because$ 当$x＞2$时,$y$随着$x$的增大而增大, $\therefore a＞0.$ 点$(-1,y_1)$关于直线$x = 1$的对称点是$(3,y_1). \because 2＜3＜4, \therefore y_2＜y_1＜y_3.$ 故答案为$y_2＜y_1＜y_3.$

9[2026福建泉州期中]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量x与函数值y之间满足表格中的数量关系，那么$(4a-2b+c)(a-b+c)$的值为。

由所给表格可知,当$x=-1$时,$y=2$,所以$a-b+c=2.$ 当$x=-1$和$x=3$时,函数值相等,所以抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$,则当$x=-2$和$x=4$时函数值相等,所以$4a-2b+c=5$,所以$(4a-2b+c)(a-b+c)=5 × 2=10.$ 故答案为10.

10 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，对称轴是直线$x=1$. 下列结论：①$abc＜0$；②$3a+c＞0$；③$(a+c)^2-b^2＜0$；④$a+b≤m(am+b)$（$m$为实数）. 其中结论正确的个数为 （）


A.1
B.2
C.3
D.4

①$\because$ 抛物线开口向下, $\therefore a＜0. \because$ 抛物线的对称轴在$y$轴右侧, $\therefore b＞0. \because$ 抛物线与$y$轴交于正半轴, $\therefore c＞0, \therefore abc＜0, \therefore$ ①正确.
②当$x=-1$时,$y＜0, \therefore a-b+c＜0. \because$ 对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1, \therefore b=-2a.$ 把$b=-2a$代入$a-b+c＜0$,得$3a+c＜0, \therefore$ ②错误.
③当$x=-1$时,$y＜0, \therefore a-b+c＜0$,当$x=1$时,$y＞0, \therefore a+b+c＞0, \therefore (a+c-b)(a+c+b)=(a+c)^2-b^2＜0, \therefore$ ③正确.
④$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=1$,开口向下, $\therefore x=1$时,函数有最大值,为$a+b+c, \therefore a+b+c \ge am^2+mb+c$,即$a+b \ge m(am+b), \therefore$ ④错误. 故选B.