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13. 已知代数式$P=3ax-8x+1,Q=x-2ax-3$.若无论$x$取何值,$3P-2Q=9$恒成立,则$a$的值为
$2$
.答案
13. 2 解析:因为$P=3ax-8x+1,Q=x-2ax-3,$所以$3P-2Q=3(3ax-8x+1)-2(x-2ax-3)=9ax-24x+3-2x+4ax+6=13ax-26x+9=(13a-26)x+9=9,$所以$13a-26=0,$所以$a=2.$
14. 已知$A = 3a^2b - 2ab^2 + abc$，小明在计算“$2A - B$”时错将“$-$”号看成“$+$”号，算得结果$C = 4a^2b - 3ab^2 + 4abc$。
（1）求B的表达式；
（2）求正确结果的表达式。
（1）求B的表达式；
（2）求正确结果的表达式。
答案
14. (1) 因为$2A+B=C,$所以$B=C-2A=4a^2b-3ab^2+4abc-2(3a^2b-2ab^2+abc)=4a^2b-3ab^2+4abc-6a^2b+4ab^2-2abc=-2a^2b+ab^2+2abc.$
(2) $2A-B=2(3a^2b-2ab^2+abc)-(-2a^2b+ab^2+2abc)=6a^2b-4ab^2+2abc+2a^2b-ab^2-2abc=8a^2b-5ab^2.$
(2) $2A-B=2(3a^2b-2ab^2+abc)-(-2a^2b+ab^2+2abc)=6a^2b-4ab^2+2abc+2a^2b-ab^2-2abc=8a^2b-5ab^2.$
15. 某校实行小班制教学，七年级四个班共有学生$(6m-3n)$人，其中一班有学生$m$人，二班人数比一班人数的2倍少$n$，三班人数比二班人数的一半多12.
（1）求三班的学生人数；（用含$m$，$n$的代数式表示）
（2）求四班的学生人数；（用含$m$，$n$的代数式表示）
（3）若这四个班共有学生120人，则二班比三班多多少人？
（1）求三班的学生人数；（用含$m$，$n$的代数式表示）
（2）求四班的学生人数；（用含$m$，$n$的代数式表示）
（3）若这四个班共有学生120人，则二班比三班多多少人？
答案
15. (1) 由题意,得二班的学生人数为$2m-n,$所以三班的学生人数为$\frac{1}{2}(2m-n)+12=m-\frac{1}{2}n+12.$
(2) 由题意,得四班的学生人数为$6m-3n-m-(2m-n)-(m-\frac{1}{2}n+12)=6m-3n-m-2m+n-m+\frac{1}{2}n-12=2m-\frac{3}{2}n-12.$
(3) 由题意,得二班比三班多的人数为$2m-n-(m-\frac{1}{2}n+12)=m-\frac{1}{2}n-12.$因为这四个班共有学生120人,所以$6m-3n=120,$所以$m-\frac{1}{2}n=20,$所以$m-\frac{1}{2}n-12=8,$所以二班比三班多8人.
(2) 由题意,得四班的学生人数为$6m-3n-m-(2m-n)-(m-\frac{1}{2}n+12)=6m-3n-m-2m+n-m+\frac{1}{2}n-12=2m-\frac{3}{2}n-12.$
(3) 由题意,得二班比三班多的人数为$2m-n-(m-\frac{1}{2}n+12)=m-\frac{1}{2}n-12.$因为这四个班共有学生120人,所以$6m-3n=120,$所以$m-\frac{1}{2}n=20,$所以$m-\frac{1}{2}n-12=8,$所以二班比三班多8人.
16. (2026·江苏淮安期末)依次排列的3个数：$a,b,c$,对任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串：$a,b-a,b,c-b,c$,这称为第1次操作；第2次同样的操作后也可以产生一个新数串：$a,b-2a,b-a,a,b$,
$c-2b,c-b,b,c$；继续依次操作下去,则第10次操作后所产生的新数串的所有数之和是 （
A.$10a+10b+10c$
B.$-8a+b+10c$
C.$9a+10b+11c$
D.$-9a+b+11c$
$c-2b,c-b,b,c$；继续依次操作下去,则第10次操作后所产生的新数串的所有数之和是 （
D
）A.$10a+10b+10c$
B.$-8a+b+10c$
C.$9a+10b+11c$
D.$-9a+b+11c$
答案
16. D 解析:设第$n$次操作后所产生的新数串的所有数之和是$S_n.$当$n=1$时,$S_1=a+(b-a)+b+(c-b)+c=b+2c=(a+b+c)+1×(c-a);$当$n=2$时,$S_2=a+(b-2a)+(b-a)+a+b+(c-2b)+(c-b)+b+c=-a+b+3c=(a+b+c)+2×(c-a)$……依此类推,当$n=10$时,$S_{10}=(a+b+c)+10×(c-a)=-9a+b+11c.$
17. 6张如图①所示的长为a，宽为b(a＞b)的小长方形纸片，按图②所示不重叠地放在长方形ABCD内，将未被覆盖的部分(两个长方形)涂上阴影。设右下角与左上角阴影部分的面积的差为S，当边BC的长变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式是
$a=2b$
。答案
17. $a=2b$ 解析:设题图②中右下角与左上角阴影部分的面积分别为$S_1,S_2,BC$的长为$x,$则$S_1=2bx-2ab,S_2=ax-4ab,$所以$S=S_1-S_2=(2bx-2ab)-(ax-4ab)=(2b-a)x+2ab.$因为$S$始终保持不变,所以$2b-a=0,$所以$a,b$满足的关系式是$a=2b.$
18. 新素养 推理能力 小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子打包，箱子的尺寸如图①所示$(b＞a＞c＞0)$，售货员可分别按图②③④所示的三种方法进行捆绑，问：哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由。
答案
18. 题图③的捆绑方法用绳最短,题图④的捆绑方法用绳最长.理由如下:设题图②的捆绑方法所用绳长为$l_1,$则$l_1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c;$设题图③的捆绑方法所用绳长为$l_2,$则$l_2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c;$设题图④的捆绑方法所用绳长为$l_3,$则$l_3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c.$因为$l_1-l_2=(4a+4b+8c)-(4a+4b+4c)=4c＞0,$所以$l_1＞l_2.$因为$l_3-l_1=(6a+4b+6c)-(4a+4b+8c)=2a-2c=2(a-c),$且$a＞c,$所以$2(a-c)＞0,$所以$l_3-l_1＞0,$所以$l_3＞l_1,$所以$l_3＞l_1＞l_2.$综上所述,题图③的捆绑方法用绳最短,题图④的捆绑方法用绳最长.
