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5. 如图是某机器零件的设计图纸(图中长度单位:mm),用不等式表示零件长度L的合格尺寸(L的取值范围)。
(第5题)
(第5题)答案
5. $29.98≤ L≤30.02$
解析
【分析】
首先理解标注“$30\pm0.02$”的含义：“$+0.02$”表示零件长度最多可比标准长度30mm多0.02mm，“$-0.02$”表示零件长度最少可比标准长度30mm少0.02mm，先计算出合格长度的最大值和最小值，即可用不等式表示出L的取值范围。
【解析】
标注“$L=30\pm0.02$”表示零件长度的标准值为30mm，允许的误差范围为上下0.02mm。
合格长度的最大值为：$30+0.02=30.02(\mathrm{mm})$
合格长度的最小值为：$30-0.02=29.98(\mathrm{mm})$
因此零件长度L的合格范围是不小于29.98mm，且不大于30.02mm，用不等式表示即可。
【答案】
$29.98≤ L≤30.02$
【知识点】
正负号的实际意义，不等式表示取值范围
【点评】
本题是结合生产实际的基础题，核心考察“±”在误差表示中的含义，以及将实际范围转化为不等式的能力，侧重对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.8
首先理解标注“$30\pm0.02$”的含义：“$+0.02$”表示零件长度最多可比标准长度30mm多0.02mm，“$-0.02$”表示零件长度最少可比标准长度30mm少0.02mm，先计算出合格长度的最大值和最小值，即可用不等式表示出L的取值范围。
【解析】
标注“$L=30\pm0.02$”表示零件长度的标准值为30mm，允许的误差范围为上下0.02mm。
合格长度的最大值为：$30+0.02=30.02(\mathrm{mm})$
合格长度的最小值为：$30-0.02=29.98(\mathrm{mm})$
因此零件长度L的合格范围是不小于29.98mm，且不大于30.02mm，用不等式表示即可。
【答案】
$29.98≤ L≤30.02$
【知识点】
正负号的实际意义，不等式表示取值范围
【点评】
本题是结合生产实际的基础题，核心考察“±”在误差表示中的含义，以及将实际范围转化为不等式的能力，侧重对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.8
6.（多选题）实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（
A. $a＜0$
B. $a+b＜0$
C. $ab＜0$
D. $\dfrac{a}{b}＜0$
E. $|a|＜|b|$
ACDE
）。A. $a＜0$
B. $a+b＜0$
C. $ab＜0$
D. $\dfrac{a}{b}＜0$
E. $|a|＜|b|$
答案
6. ACDE
解析
【分析】
解题时首先利用数轴的基本性质：数轴上越靠右的数越大，原点左侧的数为负数、右侧的数为正数，绝对值是数对应的点到原点的距离。我们先根据数轴判断出a、b的正负以及二者绝对值的大小关系，再结合有理数的加减乘除运算法则，逐一验证每个选项是否正确即可。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$a＜0＜b$，且a到原点的距离小于b到原点的距离，即$|a|＜|b|$。
对各选项逐一分析：
A. a在原点左侧，因此$a＜0$，该选项正确；
B. 异号两数相加，和的符号与绝对值更大的数一致，因为$|b|＞|a|$，故$a+b＞0$，该选项错误；
C. 两数相乘，异号得负，a为负、b为正，故$ab＜0$，该选项正确；
D. 两数相除，异号得负，a为负、b为正，故$\dfrac{a}{b}＜0$，该选项正确；
E. 绝对值表示数对应点到原点的距离，a到原点的距离小于b到原点的距离，故$|a|＜|b|$，该选项正确。
【答案】
ACDE
【知识点】
数轴的应用；有理数运算符号判断；绝对值的意义
【点评】
本题结合数轴考查有理数的相关性质，解题关键是先从数轴中提取出数的正负、绝对值大小关系，再结合有理数运算法则判断即可，属于基础类题型，作答多选题时要注意不要漏选或错选。
【难度系数】
0.75
解题时首先利用数轴的基本性质：数轴上越靠右的数越大，原点左侧的数为负数、右侧的数为正数，绝对值是数对应的点到原点的距离。我们先根据数轴判断出a、b的正负以及二者绝对值的大小关系，再结合有理数的加减乘除运算法则，逐一验证每个选项是否正确即可。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$a＜0＜b$，且a到原点的距离小于b到原点的距离，即$|a|＜|b|$。
对各选项逐一分析：
A. a在原点左侧，因此$a＜0$，该选项正确；
B. 异号两数相加，和的符号与绝对值更大的数一致，因为$|b|＞|a|$，故$a+b＞0$，该选项错误；
C. 两数相乘，异号得负，a为负、b为正，故$ab＜0$，该选项正确；
D. 两数相除，异号得负，a为负、b为正，故$\dfrac{a}{b}＜0$，该选项正确；
E. 绝对值表示数对应点到原点的距离，a到原点的距离小于b到原点的距离，故$|a|＜|b|$，该选项正确。
【答案】
ACDE
【知识点】
数轴的应用；有理数运算符号判断；绝对值的意义
【点评】
本题结合数轴考查有理数的相关性质，解题关键是先从数轴中提取出数的正负、绝对值大小关系，再结合有理数运算法则判断即可，属于基础类题型，作答多选题时要注意不要漏选或错选。
【难度系数】
0.75
7. 在数轴上表示不等式$-\sqrt{15}≤ x＜3$和$x$的下列取值：$-1,-2.5,-4,0,3,3.5$，并利用数轴说明，$x$的这些取值中，哪些满足不等式$-\sqrt{15}≤ x＜3$，哪些不满足。
答案
7. 数轴表示略。$-1,-2.5,0$满足不等式$-\sqrt{15}≤ x＜3$，$-4,3,3.5$不满足。
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步先估算无理数$-\sqrt{15}$的取值范围，明确不等式$-\sqrt{15}≤ x＜3$的边界：左边界$-\sqrt{15}$是包含在解集中的（带等号），右边界3是不包含在解集中的（不带等号）；第二步可通过两种方法判断给出的x值是否符合：一是直接将x值和解集范围比较，二是把解集和所有x值都标在数轴上，落在解集区间内的就满足不等式，落在区间外的就不满足，注意边界点的开闭规则。
【解析】
1. 先估算$-\sqrt{15}$的范围：
因为$9＜15＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$，因此$-4＜-\sqrt{15}＜-3$，近似为$-\sqrt{15}\approx-3.87$。
不等式$-\sqrt{15}≤ x＜3$的含义是：x的取值大于等于-3.87，且小于3。
2. 逐个判断x的取值：
$-1$：满足$-3.87＜-1＜3$，符合不等式要求；
$-2.5$：满足$-3.87＜-2.5＜3$，符合不等式要求；
$-4$：$-4＜-3.87$，超出左边界，不符合；
$0$：满足$-3.87＜0＜3$，符合不等式要求；
$3$：不等式要求$x＜3$，3等于右边界，不符合；
$3.5$：$3.5＞3$，超出右边界，不符合。
若用数轴验证：先画数轴，在约-3.87的位置标实心点（代表包含该点），在3的位置标空心点（代表不包含该点），连接两点之间的区域就是不等式的解集，再把所有x的取值标在数轴上，落在上述区域内的就是满足不等式的取值。
【答案】
数轴表示略。$-1,-2.5,0$满足不等式$-\sqrt{15}≤ x＜3$，$-4,3,3.5$不满足。
【知识点】
无理数估算、不等式解集、数轴表示不等式解集
【点评】
本题是不等式章节的基础题型，重点考查对不等式解集边界开闭的理解，解题关键是先准确估算无理数的范围明确解集边界，再逐一判断即可。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第一步先估算无理数$-\sqrt{15}$的取值范围，明确不等式$-\sqrt{15}≤ x＜3$的边界：左边界$-\sqrt{15}$是包含在解集中的（带等号），右边界3是不包含在解集中的（不带等号）；第二步可通过两种方法判断给出的x值是否符合：一是直接将x值和解集范围比较，二是把解集和所有x值都标在数轴上，落在解集区间内的就满足不等式，落在区间外的就不满足，注意边界点的开闭规则。
【解析】
1. 先估算$-\sqrt{15}$的范围：
因为$9＜15＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$，因此$-4＜-\sqrt{15}＜-3$，近似为$-\sqrt{15}\approx-3.87$。
不等式$-\sqrt{15}≤ x＜3$的含义是：x的取值大于等于-3.87，且小于3。
2. 逐个判断x的取值：
$-1$：满足$-3.87＜-1＜3$，符合不等式要求；
$-2.5$：满足$-3.87＜-2.5＜3$，符合不等式要求；
$-4$：$-4＜-3.87$，超出左边界，不符合；
$0$：满足$-3.87＜0＜3$，符合不等式要求；
$3$：不等式要求$x＜3$，3等于右边界，不符合；
$3.5$：$3.5＞3$，超出右边界，不符合。
若用数轴验证：先画数轴，在约-3.87的位置标实心点（代表包含该点），在3的位置标空心点（代表不包含该点），连接两点之间的区域就是不等式的解集，再把所有x的取值标在数轴上，落在上述区域内的就是满足不等式的取值。
【答案】
数轴表示略。$-1,-2.5,0$满足不等式$-\sqrt{15}≤ x＜3$，$-4,3,3.5$不满足。
【知识点】
无理数估算、不等式解集、数轴表示不等式解集
【点评】
本题是不等式章节的基础题型，重点考查对不等式解集边界开闭的理解，解题关键是先准确估算无理数的范围明确解集边界，再逐一判断即可。
【难度系数】
0.8
8. 小明和小霞决定把每月省下来的零用钱存起来。小明原来存了80元，小霞原来存了54元。从这个月开始，小明计划每月存16元，小霞计划每月存20元。
（1）设x个月后小霞的存款数超过小明，试根据题意列出不等式。
（2）6个月后，小霞的存款数是否已超过小明？7个月后呢？
（1）设x个月后小霞的存款数超过小明，试根据题意列出不等式。
（2）6个月后，小霞的存款数是否已超过小明？7个月后呢？
答案
8. (1) $80+16x＜54+20x$。
(2) 当$x=6$时，$80+16x=80+16×6=176$，$54+20x=54+20×6=174$，小霞的存款数没超过小明；
当$x=7$时，$80+16x=80+16×7=192$，$54+20x=54+20×7=194$，小霞的存款数超过了小明。
(2) 当$x=6$时，$80+16x=80+16×6=176$，$54+20x=54+20×6=174$，小霞的存款数没超过小明；
当$x=7$时，$80+16x=80+16×7=192$，$54+20x=54+20×7=194$，小霞的存款数超过了小明。
解析
【分析】
（1）解题时先明确存款总额的计算规则：存款总额=原有存款+每月存款金额×存款月数，先分别写出x个月后小明和小霞的存款代数式，再根据“小霞的存款数超过小明”这一不等关系（即小霞存款＞小明存款），即可列出对应不等式。
（2）要判断6个月、7个月后小霞存款是否超过小明，只需将x=6、x=7分别代入两人的存款代数式计算出具体数值，再比较两个数值的大小即可得出结论。
【解析】
（1）x个月后，小明的存款总额为原有80元加上x个月累计存的16x元，即$(80+16x)$元；
小霞的存款总额为原有54元加上x个月累计存的20x元，即$(54+20x)$元。
根据“x个月后小霞的存款数超过小明”的要求，可得不等关系：小霞存款 ＞ 小明存款，因此列出不等式：
$80+16x＜54+20x$
（2）①当$x=6$时：
小明的存款：$80+16x=80+16×6=80+96=176$元
小霞的存款：$54+20x=54+20×6=54+120=174$元
因为$174＜176$，所以6个月后小霞的存款数没有超过小明。
②当$x=7$时：
小明的存款：$80+16x=80+16×7=80+112=192$元
小霞的存款：$54+20x=54+20×7=54+140=194$元
因为$194＞192$，所以7个月后小霞的存款数超过了小明。
【答案】
(1) $80+16x＜54+20x$
(2) 6个月后小霞的存款数没超过小明；7个月后小霞的存款数超过了小明。
【知识点】
1. 列一元一次不等式
2. 代数式求值
3. 有理数大小比较
【点评】
本题是不等式的基础实际应用类题目，解题核心是准确梳理数量关系写出对应代数式，再结合不等关系列式或比较大小，题目贴近生活场景，能很好地锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
（1）解题时先明确存款总额的计算规则：存款总额=原有存款+每月存款金额×存款月数，先分别写出x个月后小明和小霞的存款代数式，再根据“小霞的存款数超过小明”这一不等关系（即小霞存款＞小明存款），即可列出对应不等式。
（2）要判断6个月、7个月后小霞存款是否超过小明，只需将x=6、x=7分别代入两人的存款代数式计算出具体数值，再比较两个数值的大小即可得出结论。
【解析】
（1）x个月后，小明的存款总额为原有80元加上x个月累计存的16x元，即$(80+16x)$元；
小霞的存款总额为原有54元加上x个月累计存的20x元，即$(54+20x)$元。
根据“x个月后小霞的存款数超过小明”的要求，可得不等关系：小霞存款 ＞ 小明存款，因此列出不等式：
$80+16x＜54+20x$
（2）①当$x=6$时：
小明的存款：$80+16x=80+16×6=80+96=176$元
小霞的存款：$54+20x=54+20×6=54+120=174$元
因为$174＜176$，所以6个月后小霞的存款数没有超过小明。
②当$x=7$时：
小明的存款：$80+16x=80+16×7=80+112=192$元
小霞的存款：$54+20x=54+20×7=54+140=194$元
因为$194＞192$，所以7个月后小霞的存款数超过了小明。
【答案】
(1) $80+16x＜54+20x$
(2) 6个月后小霞的存款数没超过小明；7个月后小霞的存款数超过了小明。
【知识点】
1. 列一元一次不等式
2. 代数式求值
3. 有理数大小比较
【点评】
本题是不等式的基础实际应用类题目，解题核心是准确梳理数量关系写出对应代数式，再结合不等关系列式或比较大小，题目贴近生活场景，能很好地锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
