1. 亮点原创·如果规定$[x]$表示不大于$x$的最大整数,例如:$[2.3]=2$,那么函数$y=[x]-x$的图象为 ( )

A

2. 定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为________.

6

3. 定义:若某三角形的三边长$a,b,c$满足$ab+a^2=c^2$,则称该三角形为“类勾股三角形”.已知等腰三角形$ABC$是“类勾股三角形”,且$AC=BC$,$AB＞AC$,则$∠ A$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$.

$45^{\circ}$

4. 对于给定的两个函数,任取自变量 x 的一个值,当 x＜0 时,它们对应的函数值互为相反数;当 x≥0 时,它们对应的函数值相等.我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数 y=x-1 ,它的相关函数为$ y=\begin{cases}-x+1(x＜0),\\x-1(x≥0).\end{cases} $若一次函数 y=-2x+3 ,且点 B(t,-4) 在该函数的相关函数的图象上,则 t 的值为_________ .

$-0.5$或$3.5$

5. 在平面直角坐标系中,对于任意两点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$,定义如下:点$M$与点$N$的“直角距离”为$|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$,记作$d_{MN}$.例如:点$M(1,5)$与点$N(7,2)$的“直角距离”$d_{MN} = |1 - 7| + |5 - 2| = 9$.
(1) 已知点$P_1(-1,0),P_2(-\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2})$,$P_3(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4}),P_4(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2})$,则在这四个点中,与原点$O$的“直角距离”等于$1$的点是______;
(2) 如图,$A,B$两点的坐标分别为$(1,0)$和$(0,1)$,根据定义可知线段$AB$上的任意一点与原点$O$的“直角距离”都等于$1$.若点$P$与原点$O$的“直角距离”$d_{OP} = 1$,请在图中将所有满足条件的点$P$组成的图形补全;
(3) 已知直线$y = kx + 2$,$C(t,0)$是$x$轴上的一个动点.当$t = 3$时,若直线$y = kx + 2$上存在点$D$,满足$d_{CD} = 1$,求$k$的取值范围.

$P_1，$$P_4$ ; 解：​$(2)$​设点​$P $​的坐标为​$(x，$​​$y)$​∵点​$P $​与原点​$O$​的​$''$​直角距离​$''d_{OP}=1$​∴​$|x| + |y| = 1$​当​$0\leq x\leq 1，$​​$0\leq y\leq 1$​时，​$x + y = 1，$​即​$y=-x + 1$​当​$0\leq x\leq 1，$​​$-1\leq y<0$​时，​$x - y = 1，$​即​$y=x - 1$​当​$-1\leq x＜0，$​​$0\leq y\leq 1$​时，​$-x + y = 1，$​即​$y=x + 1$​当​$-1\leq x＜0，$​​$-1\leq y＜0$​时，​$-x - y = 1，$​即​$y=-x - 1$​∴所有满足条件的点​$P $​组成的图形如图​$①$​所示​$(3)$​当​$t = 3$​时，点​$C$​的坐标为​$(3，$​​$0)$​又​$d_{CD}=1$​∴由​$(2)$​得点​$D$​在如图​$②$​所示的正方形​$KLPQ $​的边上，且​$C$​为​$QL $​的中点易得点​$P $​的坐标为​$(3，$​​$1)，$​点​$Q $​的坐标为​$(2，$​​$0)，$​点​$K$​的坐标为​$(3，$​​$-1)，$​点​$L $​的坐标为​$(4，$​​$0)$​又直线​$y = kx + 2$​经过点​$D$​∴由图②，得当直线​$y = kx + 2$​经过点​$P $​时，​$k$​取最大值，记为​$k_{1}；$​当直线​$y = kx + 2$​经过点​$Q $​时，​$k$​取最小值，记为​$k_{2}，$​即​$3k_{1}+2 = 1，$​​$2k_{2}+2 = 0$​解得​$k_{1}=-\frac 13，$​​$k_{2}=-1$​∴​$k$​的取值范围是​$-1\leq k\leq -\frac 13$​