1. 如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合,AB//x轴,交y轴于点P.将△OAP绕点O按顺时针方向旋转,每次旋转90°,则第2 025次旋转结束时,点A的坐标为
( )
A. $(\sqrt{3},-1)$
B. $(-1,-\sqrt{3})$
C. $(-\sqrt{3},-1)$
D. $(1,\sqrt{3})$

A

2. 亮点原创·如图,在平面直角坐标系中,有直线$a:y=x$、直线$b:y=-\dfrac{1}{2}x$和点$P(1,0)$,过点$P$作$y$轴的平行线交直线$a$于点$P_1$,过点$P_1$作$x$轴的平行线交直线$b$于点$P_2$,过点$P_2$作$y$轴的平行线交直线$a$于点$P_3$,过点$P_3$作$x$轴的平行线交直线$b$于点$P_4$……按此作法进行下去,则点$P_{2025}$的横坐标为______.

$4^{506}$

3. 已知 $S_{1}=\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}},S_{2}=\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}},$
$S_{3}=\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}},···,S_{n}=\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}\mathrm{.计}$
算前三个式子,观察结果,用你发现的规律
计算 $S_{1}+S_{2}+S_{3}+··· +S_{50}=$ ______.

$50\frac{50}{51}$

4.（1）动手操作，探究结论：如图①，$△ ABO$三个顶点的坐标分别是$A(2,4)$，$B(4,0)$，$O(0,0)$，将$△ ABO$三个顶点的横坐标都加上$2$，纵坐标不变，分别得到$A'$，
$B'$，$O'$三点，依次连接$A'$，$B'$，$O'$三点，画出$△ A'B'O'$，并说明$△ A'B'O'$与$△ ABO$在大小、形状、位置上有什么关系；
（2）仔细观察，探究规律：如图②，第一次将$△ OAB$变换成$△ OA_1B_1$，第二次将$△ OA_1B_1$变换成$△ OA_2B_2$，第三次将$△ OA_2B_2$变换成$△ OA_3B_3$，且$A(1,4)$，$A_1(2,4)$，$A_2(4,4)$，$A_3(8,4)$，$B(2,0)$，$B_1(4,0)$，$B_2(8,0)$，$B_3(16,0)······$
① 按此图形变化规律将$△ OA_3B_3$变换成$△ OA_4B_4$，则点$A_4$的坐标是______，点$B_4$的坐标是______；
② 按此图形变化规律将$△ OAB$进行$n$（$n$为正整数）次变换，得到$△ OA_nB_n$，求$A_n$，$B_n$两点的坐标；
③ 猜想：$△ OA_nB_n$的面积是$△ OAB$面积的多少倍？

$(16,4)$ ; $(32,0)$ ;
; 解：​$(1)$​如图，​$∆A'B'O'$​即为所作​$∆A'B'O'$​与​$∆ABO $​的形状、大小完全相同，​$∆A'B'O'$​可以看作是将​$∆ABO$​向右平移​$2$​个单位长度得到的​$(2)②$​由题意得​$∆OAB$​每进行​$1$​次变换，得到的三角形顶点的横坐标乘​$2，$​纵坐标不变∵将​$∆OAB$​进行​$n$​次变换得到​$∆OA_{n}B_{n}，$​且点​$A$​的坐标是​$(1，$​​$4)，$​点​$B$​的坐标是​$(2，$​​$0)$​∴点​$A_{n}$​的坐标是​$(2^n，$​​$4)，$​点​$B_{n}$​的坐标是​$(2^{n+1}，$​​$0)$​​$③$​根据规律可知​$∆OA_{n}B_{n}$​与​$∆OAB$​的高相等由​$(2)②，$​得点​$B_{n}$​的坐标是​$(2^{n+1}，$​​$0)，$​且点​$B$​的坐标是​$(2，$​​$0)$​∴​$OB_{n}=2^{n+1}，$​​$OB=2，$​即​$S_{∆OA_{n}B_{n}}$​：​$S{∆OAB}=OB_{n}∶OB$​​$=2^{n+1}∶2=2^n$​：​$1$​∴​$∆OA_{n}B_{n}$​的面积是​$∆OAB$​面积的​$2^n$​倍