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1. 估算一下圆的面积大约是( )个小方格。
答案
42
解析
通过数方格估算，满格按1格算，不满格按半格算。圆占满格约32个，不满格约20个，半格算10个，共32+10=42个。
2. 如图,把一个圆分成若干(偶数)等份后,拼成了一个近似的平行四边形,这个平行四边形的底近似于圆的周长的( ),高近似于圆的( )。因为平行四边形的面积= ( )×( ),所以圆的面积 $ S = $ ( )。(用字母表示)
答案
$\frac{1}{2}$，半径，底，高，$\pi r^2$
解析
将圆分成若干等份后拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的底近似于圆的周长的一半，即 $\frac{C}{2} = \pi r$，高近似于圆的半径 $r$。
平行四边形的面积公式为：面积 = 底 × 高。
因此，圆的面积 $S$ 可以表示为：
$S = \pi r × r = \pi r^2$。
所以，平行四边形的底近似于圆的周长的 $\frac{1}{2}$，高近似于圆的半径，平行四边形的面积 = 底 × 高，圆的面积 $S = \pi r^2$。
平行四边形的面积公式为：面积 = 底 × 高。
因此，圆的面积 $S$ 可以表示为：
$S = \pi r × r = \pi r^2$。
所以，平行四边形的底近似于圆的周长的 $\frac{1}{2}$，高近似于圆的半径，平行四边形的面积 = 底 × 高，圆的面积 $S = \pi r^2$。
3. 大圆的直径是小圆直径的4倍。大圆的周长是小圆周长的( )倍,大圆的面积是小圆面积的( )倍。
答案
4，16
解析
设小圆直径为 $d$，则大圆直径为 $4d$。
周长关系：
小圆周长：$C_{小} = \pi d$，
大圆周长：$C_{大} = \pi × 4d = 4\pi d$，
因此，大圆周长是小圆周长的4倍。
面积关系：
小圆半径：$r_{小} = \frac{d}{2}$，
大圆半径：$r_{大} = \frac{4d}{2} = 2d$，
小圆面积：$S_{小} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$，
大圆面积：$S_{大} = \pi (2d)^2 = 4\pi d^2$，
因此，大圆面积是小圆面积的16倍。
周长关系：
小圆周长：$C_{小} = \pi d$，
大圆周长：$C_{大} = \pi × 4d = 4\pi d$，
因此，大圆周长是小圆周长的4倍。
面积关系：
小圆半径：$r_{小} = \frac{d}{2}$，
大圆半径：$r_{大} = \frac{4d}{2} = 2d$，
小圆面积：$S_{小} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$，
大圆面积：$S_{大} = \pi (2d)^2 = 4\pi d^2$，
因此，大圆面积是小圆面积的16倍。
1. 求某自动旋转喷灌装置喷水的范围,就是求圆的( )。
A.周长
B.面积
C.圆周率
D.半径
A.周长
B.面积
C.圆周率
D.半径
答案
B
解析
求自动旋转喷灌装置喷水的范围，即求喷水区域所覆盖的平面大小。圆的周长是圆周的长度；圆周率是一个固定的数值；半径是圆从圆心到圆上的一点的长度，而平面大小需要用面积来衡量，所以求喷水的范围就是求圆的面积。
2. 一个圆的半径是 $ 3 \, cm $,另一个圆的直径是 $ 4 \, cm $,则这两个圆的面积相差( ) $ cm^2 $。
A.$ 3.14 $
B.$ 15.7 $
C.$ 21.98 $
D.$ 62.8 $
A.$ 3.14 $
B.$ 15.7 $
C.$ 21.98 $
D.$ 62.8 $
答案
B
解析
首先计算半径为$3cm$的圆的面积，公式为$S_1 = \pi r^2 = \pi × 3^2 = 9\pi$。
然后计算直径为$4cm$的圆（半径为$2cm$）的面积，公式为$S_2 = \pi r^2 = \pi × 2^2 = 4\pi$。
两圆面积相差$S_1 - S_2 = 9\pi - 4\pi = 5\pi$，取$\pi \approx 3.14$，则差值为$5 × 3.14 = 15.7$。
然后计算直径为$4cm$的圆（半径为$2cm$）的面积，公式为$S_2 = \pi r^2 = \pi × 2^2 = 4\pi$。
两圆面积相差$S_1 - S_2 = 9\pi - 4\pi = 5\pi$，取$\pi \approx 3.14$，则差值为$5 × 3.14 = 15.7$。
3. 若大圆的半径是 $ r $,小圆的直径是 $ r $,则小圆的面积是大圆面积的( )。
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{1}{4} $
C.$ \dfrac{1}{8} $
D.$ \dfrac{1}{16} $
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{1}{4} $
C.$ \dfrac{1}{8} $
D.$ \dfrac{1}{16} $
答案
B
解析
大圆的半径为$r$，其面积$S_1$为：$S_1 = \pi r^2$。
小圆的直径为$r$，则其半径为$\frac{r}{2}$，面积$S_2$为：$S_2 = \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \pi × \frac{r^2}{4} = \frac{\pi r^2}{4}$。
小圆面积与大圆面积的比值为：$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi r^2}{4}}{\pi r^2} = \frac{1}{4}$。
小圆的直径为$r$，则其半径为$\frac{r}{2}$，面积$S_2$为：$S_2 = \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \pi × \frac{r^2}{4} = \frac{\pi r^2}{4}$。
小圆面积与大圆面积的比值为：$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi r^2}{4}}{\pi r^2} = \frac{1}{4}$。
三、求下列各圆的面积。(单位：$ cm $)
1.
2.
1.
2.
答案
1.
解：$S = \pi r^2$，
$S = 3.14 × 7^2$，
$S = 3.14 × 49$，
$S = 153.86 cm^2$。
答：面积为$153.86 cm^2$。
2.
解：$r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8 $，
$S = \pi r^2$，
$S = 3.14 × 8^2$，
$S = 3.14 × 64$，
$S = 200.96 cm^2$。
答：面积为$200.96 cm^2$。
解：$S = \pi r^2$，
$S = 3.14 × 7^2$，
$S = 3.14 × 49$，
$S = 153.86 cm^2$。
答：面积为$153.86 cm^2$。
2.
解：$r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8 $，
$S = \pi r^2$，
$S = 3.14 × 8^2$，
$S = 3.14 × 64$，
$S = 200.96 cm^2$。
答：面积为$200.96 cm^2$。
四、解决问题。
如图,将一个圆剪拼成一个近似的长方形,已知长方形的周长是 $ 33.12 \, dm $,求圆的面积。
如图,将一个圆剪拼成一个近似的长方形,已知长方形的周长是 $ 33.12 \, dm $,求圆的面积。
答案
设圆的半径为$ r \, dm $。
1. 拼成的近似长方形的长为圆周长的一半，即$ \pi r \, dm $，宽为圆的半径$ r \, dm $。
2. 长方形周长公式：$ 2×(长 + 宽) = 33.12 \, dm $，代入得：$ 2×(\pi r + r) = 33.12 $。
3. 化简：$ 2r(\pi + 1) = 33.12 $，取$ \pi = 3.14 $，则$ 2r(3.14 + 1) = 8.28r = 33.12 $。
4. 解得半径：$ r = 33.12 ÷ 8.28 = 4 \, dm $。
5. 圆的面积：$ S = \pi r^2 = 3.14 × 4^2 = 50.24 \, dm^2 $。
答：圆的面积是$ 50.24 \, dm^2 $。
1. 拼成的近似长方形的长为圆周长的一半，即$ \pi r \, dm $，宽为圆的半径$ r \, dm $。
2. 长方形周长公式：$ 2×(长 + 宽) = 33.12 \, dm $，代入得：$ 2×(\pi r + r) = 33.12 $。
3. 化简：$ 2r(\pi + 1) = 33.12 $，取$ \pi = 3.14 $，则$ 2r(3.14 + 1) = 8.28r = 33.12 $。
4. 解得半径：$ r = 33.12 ÷ 8.28 = 4 \, dm $。
5. 圆的面积：$ S = \pi r^2 = 3.14 × 4^2 = 50.24 \, dm^2 $。
答：圆的面积是$ 50.24 \, dm^2 $。
五、奇思妙想。
如图,一块边长为 $ 10 \, m $ 的正方形草地,在相对的一对顶点上各有一棵树,树上各拴着一头牛,绳长都是 $ 10 \, m $,两头牛都能吃到的草地面积是多少平方米？
如图,一块边长为 $ 10 \, m $ 的正方形草地,在相对的一对顶点上各有一棵树,树上各拴着一头牛,绳长都是 $ 10 \, m $,两头牛都能吃到的草地面积是多少平方米？
答案
57平方米。
解析
1. 一个扇形面积：半径$ r=10m $，圆心角$ 90° $（正方形内角），扇形面积为$\frac{90°}{360°} × \pi r^2 = \frac{1}{4} × \pi × 10^2 = 25\pi \, m^2$。
2. 两个扇形面积和：$ 2 × 25\pi = 50\pi \, m^2 $。
3. 正方形面积：$ 10 × 10 = 100 \, m^2 $。
4. 重叠面积（两头牛都能吃到的面积）：$ 50\pi - 100 $。
5. 代入$\pi \approx 3.14$：$ 50 × 3.14 - 100 = 157 - 100 = 57 \, m^2$。
2. 两个扇形面积和：$ 2 × 25\pi = 50\pi \, m^2 $。
3. 正方形面积：$ 10 × 10 = 100 \, m^2 $。
4. 重叠面积（两头牛都能吃到的面积）：$ 50\pi - 100 $。
5. 代入$\pi \approx 3.14$：$ 50 × 3.14 - 100 = 157 - 100 = 57 \, m^2$。
