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基础知识·预习
问题1 写出一个二次函数，并在平面直角坐标系中画出它的图象，图象与x轴的公共点的横坐标是多少？怎样求公共点的横坐标？
问题2 通过对上面问题的解答，你能体会到二次函数图象与x轴的公共点个数、公共点的横坐标与一元二次方程之间的关系吗？
问题1 写出一个二次函数，并在平面直角坐标系中画出它的图象，图象与x轴的公共点的横坐标是多少？怎样求公共点的横坐标？
问题2 通过对上面问题的解答，你能体会到二次函数图象与x轴的公共点个数、公共点的横坐标与一元二次方程之间的关系吗？
答案
解：
问题1
选取二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$，通过描点法可画出该开口向上的抛物线，其顶点为$(1,-4)$，经过点$(-1,0)$、$(0,-3)$、$(1,-4)$、$(2,-3)$、$(3,0)$。
观察图象可得它与$x$轴公共点的横坐标为$-1$和$3$。
求公共点横坐标的方法：令二次函数的$y=0$，得到一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，所得方程的实数根就是图象与$x$轴公共点的横坐标。
问题2
对二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$和对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，有如下关系：
1. 二次函数图象与$x$轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根；
2. 二次函数图象与$x$轴的公共点个数，和一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数一一对应：
当图象与$x$轴有2个公共点时，方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$；
当图象与$x$轴有1个公共点时，方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$；
当图象与$x$轴没有公共点时，方程没有实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$。
问题1
选取二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$，通过描点法可画出该开口向上的抛物线，其顶点为$(1,-4)$，经过点$(-1,0)$、$(0,-3)$、$(1,-4)$、$(2,-3)$、$(3,0)$。
观察图象可得它与$x$轴公共点的横坐标为$-1$和$3$。
求公共点横坐标的方法：令二次函数的$y=0$，得到一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，所得方程的实数根就是图象与$x$轴公共点的横坐标。
问题2
对二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$和对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，有如下关系：
1. 二次函数图象与$x$轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根；
2. 二次函数图象与$x$轴的公共点个数，和一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数一一对应：
当图象与$x$轴有2个公共点时，方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$；
当图象与$x$轴有1个公共点时，方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$；
当图象与$x$轴没有公共点时，方程没有实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$。
解析
【分析】
解决问题1时，可先选取系数简单的二次函数，用描点法绘制图象：先确定顶点、与坐标轴交点等特殊点，再描点连线得到抛物线；观察图象可直接得到与x轴公共点的横坐标，结合x轴上点的纵坐标为0的特征，可知求公共点横坐标只需令函数的y=0，解所得的一元二次方程即可。解决问题2时，可从问题1的具体实例出发，推广到一般形式的二次函数和对应的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式的相关知识，总结出二次函数图象与x轴公共点个数、公共点横坐标和一元二次方程的对应关系。
【解析】
问题1
选取二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$，通过描点法可画出该开口向上的抛物线，其顶点为$(1,-4)$，经过点$(-1,0)$、$(0,-3)$、$(1,-4)$、$(2,-3)$、$(3,0)$。
观察图象可得它与$x$轴公共点的横坐标为$-1$和$3$。
求公共点横坐标的方法：令二次函数的$y=0$，得到一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，所得方程的实数根就是图象与$x$轴公共点的横坐标。
问题2
对二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$和对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，有如下关系：
1. 二次函数图象与$x$轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根；
2. 二次函数图象与$x$轴的公共点个数，和一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数一一对应：
当图象与$x$轴有2个公共点时，方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$；
当图象与$x$轴有1个公共点时，方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$；
当图象与$x$轴没有公共点时，方程没有实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$。
【答案】
问题1：示例二次函数为$y = x^2 - 2x - 3$，图象与x轴公共点横坐标为$-1$和$3$，求法为令$y=0$，解所得一元二次方程，方程的实数根就是公共点的横坐标；
问题2：二次函数图象与x轴公共点的横坐标是对应一元二次方程的实数根；公共点个数和方程实数根个数一一对应，$\Delta＞0$时有2个公共点、2个不等实根，$\Delta=0$时有1个公共点、2个相等实根，$\Delta＜0$时没有公共点、没有实根。
【知识点】
二次函数的图象；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题从具体二次函数实例入手，逐步引导探究二次函数与一元二次方程的内在联系，渗透了数形结合的数学思想，帮助学生建立函数与方程的关联，是二次函数相关应用的基础内容。
【难度系数】
0.8
解决问题1时，可先选取系数简单的二次函数，用描点法绘制图象：先确定顶点、与坐标轴交点等特殊点，再描点连线得到抛物线；观察图象可直接得到与x轴公共点的横坐标，结合x轴上点的纵坐标为0的特征，可知求公共点横坐标只需令函数的y=0，解所得的一元二次方程即可。解决问题2时，可从问题1的具体实例出发，推广到一般形式的二次函数和对应的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式的相关知识，总结出二次函数图象与x轴公共点个数、公共点横坐标和一元二次方程的对应关系。
【解析】
问题1
选取二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$，通过描点法可画出该开口向上的抛物线，其顶点为$(1,-4)$，经过点$(-1,0)$、$(0,-3)$、$(1,-4)$、$(2,-3)$、$(3,0)$。
观察图象可得它与$x$轴公共点的横坐标为$-1$和$3$。
求公共点横坐标的方法：令二次函数的$y=0$，得到一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，所得方程的实数根就是图象与$x$轴公共点的横坐标。
问题2
对二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$和对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，有如下关系：
1. 二次函数图象与$x$轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根；
2. 二次函数图象与$x$轴的公共点个数，和一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数一一对应：
当图象与$x$轴有2个公共点时，方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$；
当图象与$x$轴有1个公共点时，方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$；
当图象与$x$轴没有公共点时，方程没有实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$。
【答案】
问题1：示例二次函数为$y = x^2 - 2x - 3$，图象与x轴公共点横坐标为$-1$和$3$，求法为令$y=0$，解所得一元二次方程，方程的实数根就是公共点的横坐标；
问题2：二次函数图象与x轴公共点的横坐标是对应一元二次方程的实数根；公共点个数和方程实数根个数一一对应，$\Delta＞0$时有2个公共点、2个不等实根，$\Delta=0$时有1个公共点、2个相等实根，$\Delta＜0$时没有公共点、没有实根。
【知识点】
二次函数的图象；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题从具体二次函数实例入手，逐步引导探究二次函数与一元二次方程的内在联系，渗透了数形结合的数学思想，帮助学生建立函数与方程的关联，是二次函数相关应用的基础内容。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象如图
所示，观察图象并回答下列问题.
(1)方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=$，$x_2=$.
(2)当$y＞0$时，$x$的取值范围为.
(3)若关于$x$的方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，则$t$的取值范围是.
【答案】(1)$-3$ $1$ (2)$-3＜x＜1$
(3)$t≤4$
所示，观察图象并回答下列问题.(1)方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=$，$x_2=$.
(2)当$y＞0$时，$x$的取值范围为.
(3)若关于$x$的方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，则$t$的取值范围是.
【答案】(1)$-3$ $1$ (2)$-3＜x＜1$
(3)$t≤4$
答案
解：
(1) 二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$-x^2-2x+3=0$的解，
由图象可知抛物线与x轴交于点$(-3,0)$和$(1,0)$，
因此$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) 当$y＞0$时，对应函数图象位于x轴上方的部分，
结合图象可得x的取值范围为$-3＜x＜1$。
(3) 方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，等价于抛物线$y=-x^2-2x+3$与直线$y=t$有交点。
将二次函数配方得：$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$，
可知抛物线的最大值为4，
因此t的取值范围是$t≤4$。
(1) 二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$-x^2-2x+3=0$的解，
由图象可知抛物线与x轴交于点$(-3,0)$和$(1,0)$，
因此$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) 当$y＞0$时，对应函数图象位于x轴上方的部分，
结合图象可得x的取值范围为$-3＜x＜1$。
(3) 方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，等价于抛物线$y=-x^2-2x+3$与直线$y=t$有交点。
将二次函数配方得：$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$，
可知抛物线的最大值为4，
因此t的取值范围是$t≤4$。
解析
【分析】
解题运用数形结合思想：(1) 一元二次方程的解对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，直接观察图象与x轴的交点坐标即可得到方程的解；(2) $y＞0$对应函数图象在x轴上方的部分，找到这部分图象对应的x的取值区间即可；(3) 方程有实数根等价于二次函数图象与直线$y=t$有交点，先求出二次函数的最大值，结合开口方向即可确定t的取值范围。
【解析】
(1) 二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$-x^2-2x+3=0$的解，由图象可知抛物线与x轴交于点$(-3,0)$和$(1,0)$，因此$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) 当$y＞0$时，对应函数图象位于x轴上方的部分，结合图象可得x的取值范围为$-3＜x＜1$。
(3) 方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，等价于抛物线$y=-x^2-2x+3$与直线$y=t$有交点。将二次函数配方得：$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$，可知抛物线开口向下，最大值为4，因此t的取值范围是$t≤4$。
【答案】
(1)$-3$，$1$；(2)$-3＜x＜1$；(3)$t≤4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数图象性质，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数与方程、不等式结合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，通过观察函数图象即可快速求解相关问题，是高频考点。
【难度系数】
0.7
解题运用数形结合思想：(1) 一元二次方程的解对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，直接观察图象与x轴的交点坐标即可得到方程的解；(2) $y＞0$对应函数图象在x轴上方的部分，找到这部分图象对应的x的取值区间即可；(3) 方程有实数根等价于二次函数图象与直线$y=t$有交点，先求出二次函数的最大值，结合开口方向即可确定t的取值范围。
【解析】
(1) 二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$-x^2-2x+3=0$的解，由图象可知抛物线与x轴交于点$(-3,0)$和$(1,0)$，因此$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) 当$y＞0$时，对应函数图象位于x轴上方的部分，结合图象可得x的取值范围为$-3＜x＜1$。
(3) 方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，等价于抛物线$y=-x^2-2x+3$与直线$y=t$有交点。将二次函数配方得：$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$，可知抛物线开口向下，最大值为4，因此t的取值范围是$t≤4$。
【答案】
(1)$-3$，$1$；(2)$-3＜x＜1$；(3)$t≤4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数图象性质，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数与方程、不等式结合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，通过观察函数图象即可快速求解相关问题，是高频考点。
【难度系数】
0.7
