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5.已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，当$0≤ x≤4$时，y的取值范围是
$-4≤ y≤5$
。答案
5.$-4≤ y≤5$
解析
【分析】
要确定二次函数在给定闭区间内y的取值范围，需按以下思路推导：第一步，先将二次函数一般式配方为顶点式，判断开口方向、求出对称轴和顶点坐标；第二步，判断对称轴是否落在给定的区间[0,4]内；第三步，结合二次函数的增减性：开口向上时，顶点处取最小值，区间端点中离对称轴越远的点对应的函数值越大，分别计算顶点和区间端点的函数值，比较后即可得到y的取值范围。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$
由此可知：该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
∵ 对称轴$x=1$在区间$0≤x≤4$内，
∴ 当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-4$。
再计算区间两个端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=16-8-3=5$。
∵ 开口向上的二次函数，在区间内离对称轴越远，函数值越大，$4$到$1$的距离大于$0$到$1$的距离，
∴ 当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为$5$。
综上，当$0≤x≤4$时，$y$的取值范围是$-4≤y≤5$。
【答案】
$-4≤y≤5$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数区间最值求解
3. 配方法化简二次函数
【点评】
本题是二次函数取值范围的常规考题，解题核心是明确二次函数的最值不会仅出现在区间端点，需先判断对称轴与给定区间的位置关系，再结合开口方向计算最值，避免直接代入两端点计算的误区。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数在给定闭区间内y的取值范围，需按以下思路推导：第一步，先将二次函数一般式配方为顶点式，判断开口方向、求出对称轴和顶点坐标；第二步，判断对称轴是否落在给定的区间[0,4]内；第三步，结合二次函数的增减性：开口向上时，顶点处取最小值，区间端点中离对称轴越远的点对应的函数值越大，分别计算顶点和区间端点的函数值，比较后即可得到y的取值范围。
【解析】
先对二次函数解析式配方：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$
由此可知：该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
∵ 对称轴$x=1$在区间$0≤x≤4$内，
∴ 当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-4$。
再计算区间两个端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=16-8-3=5$。
∵ 开口向上的二次函数，在区间内离对称轴越远，函数值越大，$4$到$1$的距离大于$0$到$1$的距离，
∴ 当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为$5$。
综上，当$0≤x≤4$时，$y$的取值范围是$-4≤y≤5$。
【答案】
$-4≤y≤5$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数区间最值求解
3. 配方法化简二次函数
【点评】
本题是二次函数取值范围的常规考题，解题核心是明确二次函数的最值不会仅出现在区间端点，需先判断对称轴与给定区间的位置关系，再结合开口方向计算最值，避免直接代入两端点计算的误区。
【难度系数】
0.7
6.如图，矩形OABC的顶点A，B在抛物线$y=x^2+bx-3$上，点C在x轴上，且OA=3，OC=2.求抛物线对应的函数解析式及抛物线的对称轴.
答案
6.【解】$\because OA=3,OC=2$，
$\therefore A(0,-3),C(2,0).$
$\because$ 四边形OABC为矩形，
$\therefore B(2,-3).$
把$(2,-3)$代入$y=x^2+bx-3$，得$-3=4+2b-3.$
解得$b=-2.$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3.$
$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4,$
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=1.$
$\therefore A(0,-3),C(2,0).$
$\because$ 四边形OABC为矩形，
$\therefore B(2,-3).$
把$(2,-3)$代入$y=x^2+bx-3$，得$-3=4+2b-3.$
解得$b=-2.$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3.$
$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4,$
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=1.$
解析
【分析】
首先根据OA、OC的长度和点在坐标系中的位置，确定点A、点C的坐标；再利用矩形对边分别平行于坐标轴的性质，推导得到点B的坐标；将点B的坐标代入二次函数解析式，求解出参数b即可得到抛物线的函数解析式；最后将解析式配方为顶点式，或利用对称轴公式即可求出抛物线的对称轴。
【解析】
解：$\because OA=3$，点A在y轴负半轴，$OC=2$，点C在x轴正半轴，
$\therefore A(0,-3),C(2,0)$。
$\because$ 四边形OABC为矩形，
$\therefore$ AB平行于x轴，BC平行于y轴，点B的横坐标与点C相同，纵坐标与点A相同，即$B(2,-3)$。
把$B(2,-3)$代入$y=x^2+bx-3$，得：
$-3=2^2+2b-3$，
整理得$-3=4+2b-3$，
解得$b=-2$。
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
将解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，抛物线的对称轴为$\boldsymbol{直线x=1}$。
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题型，解题关键是利用矩形性质得到抛物线上点B的坐标，再通过代入计算求解参数，掌握基础性质和运算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先根据OA、OC的长度和点在坐标系中的位置，确定点A、点C的坐标；再利用矩形对边分别平行于坐标轴的性质，推导得到点B的坐标；将点B的坐标代入二次函数解析式，求解出参数b即可得到抛物线的函数解析式；最后将解析式配方为顶点式，或利用对称轴公式即可求出抛物线的对称轴。
【解析】
解：$\because OA=3$，点A在y轴负半轴，$OC=2$，点C在x轴正半轴，
$\therefore A(0,-3),C(2,0)$。
$\because$ 四边形OABC为矩形，
$\therefore$ AB平行于x轴，BC平行于y轴，点B的横坐标与点C相同，纵坐标与点A相同，即$B(2,-3)$。
把$B(2,-3)$代入$y=x^2+bx-3$，得：
$-3=2^2+2b-3$，
整理得$-3=4+2b-3$，
解得$b=-2$。
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
将解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，抛物线的对称轴为$\boldsymbol{直线x=1}$。
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础题型，解题关键是利用矩形性质得到抛物线上点B的坐标，再通过代入计算求解参数，掌握基础性质和运算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 如果二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，那么下列结论正确的是（
A.$abc＜0$
B.$2a - b = 0$
C.$a - b + c ＞ 0$
D.$a + b + c ＞ 0$
C
）A.$abc＜0$
B.$2a - b = 0$
C.$a - b + c ＞ 0$
D.$a + b + c ＞ 0$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先从二次函数图像的特征推导系数的符号与关系：第一步由开口方向判断a的符号，第二步由与y轴交点判断c的值，第三步由与x轴的两个交点求出对称轴，推导b和a的关系，再结合特殊x值对应的函数值逐一判断选项即可。
【解析】
1. 推导系数关系：
① 抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
② 抛物线过原点$(0,0)$，代入解析式得$c=0$；
③ 抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(2,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$，$\because a＞0$，$\therefore b＜0$。
2. 逐个判断选项：
A选项：$\because c=0$，$\therefore abc=0$，故A错误；
B选项：将$b=-2a$代入$2a-b$，得$2a-(-2a)=4a≠0$（$a≠0$），故B错误；
C选项：$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，由图像可知$x=-1$时，对应点在x轴上方，即函数值$y＞0$，$\therefore a-b+c＞0$，故C正确；
D选项：$a+b+c$是$x=1$时的函数值，$x=1$是抛物线顶点，对应点在x轴下方，即函数值$y＜0$，$\therefore a+b+c＜0$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数图象的常考题型，需要结合图像特征将几何信息转化为代数关系，重点考查对二次函数特殊点函数值、对称轴等性质的理解和运用。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数图像的特征推导系数的符号与关系：第一步由开口方向判断a的符号，第二步由与y轴交点判断c的值，第三步由与x轴的两个交点求出对称轴，推导b和a的关系，再结合特殊x值对应的函数值逐一判断选项即可。
【解析】
1. 推导系数关系：
① 抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
② 抛物线过原点$(0,0)$，代入解析式得$c=0$；
③ 抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(2,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$，$\because a＞0$，$\therefore b＜0$。
2. 逐个判断选项：
A选项：$\because c=0$，$\therefore abc=0$，故A错误；
B选项：将$b=-2a$代入$2a-b$，得$2a-(-2a)=4a≠0$（$a≠0$），故B错误；
C选项：$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，由图像可知$x=-1$时，对应点在x轴上方，即函数值$y＞0$，$\therefore a-b+c＞0$，故C正确；
D选项：$a+b+c$是$x=1$时的函数值，$x=1$是抛物线顶点，对应点在x轴下方，即函数值$y＜0$，$\therefore a+b+c＜0$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数图象的常考题型，需要结合图像特征将几何信息转化为代数关系，重点考查对二次函数特殊点函数值、对称轴等性质的理解和运用。
【难度系数】
0.7
8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+b(a≠0)$和二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可能是（
A
B
C D
A
）A
B
C D
答案
8.A
解析
【分析】
本题可通过参数的符号一致性判断，两个函数解析式中a、b为相同参数：①先判断a的符号：一次函数中a为斜率，a＞0时直线从左下向右上倾斜，a＜0时直线从左上向右下倾斜；二次函数中a决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下，先排除a符号矛盾的选项。②再判断b的符号：结合一次函数与y轴交点判断b的符号，再通过二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$验证对称轴位置是否与图象一致，最终确定正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：
一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$，与y轴交于正半轴，可得$b＞0$；
二次函数图象开口向上，符合$a＞0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（即对称轴在y轴左侧），与图象中二次函数对称轴位置一致，参数符号无矛盾，符合要求。
2. 选项B：
一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$，但二次函数图象开口向下，即$a＜0$，a的符号矛盾，排除。
3. 选项C：
二次函数图象开口向上，可得$a＞0$，但一次函数图象从左上向右下倾斜，即$a＜0$，a的符号矛盾，排除。
4. 选项D：
二次函数图象开口向下，可得$a＜0$，一次函数图象从左上向右下倾斜，符合$a＜0$；一次函数与y轴交于正半轴，可得$b＞0$，此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$（即对称轴应在y轴右侧），但图象中二次函数对称轴在y轴左侧，b的符号矛盾，排除。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与性质，二次函数图象与性质，函数图象与参数关系
【点评】
本题属于函数图象综合判断题，解题核心是抓住两个函数中相同参数的符号一致性，采用先判断a、再验证b的排除法快速解题，无需复杂计算即可得到答案。
【难度系数】
0.7
本题可通过参数的符号一致性判断，两个函数解析式中a、b为相同参数：①先判断a的符号：一次函数中a为斜率，a＞0时直线从左下向右上倾斜，a＜0时直线从左上向右下倾斜；二次函数中a决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下，先排除a符号矛盾的选项。②再判断b的符号：结合一次函数与y轴交点判断b的符号，再通过二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$验证对称轴位置是否与图象一致，最终确定正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：
一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$，与y轴交于正半轴，可得$b＞0$；
二次函数图象开口向上，符合$a＞0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（即对称轴在y轴左侧），与图象中二次函数对称轴位置一致，参数符号无矛盾，符合要求。
2. 选项B：
一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$，但二次函数图象开口向下，即$a＜0$，a的符号矛盾，排除。
3. 选项C：
二次函数图象开口向上，可得$a＞0$，但一次函数图象从左上向右下倾斜，即$a＜0$，a的符号矛盾，排除。
4. 选项D：
二次函数图象开口向下，可得$a＜0$，一次函数图象从左上向右下倾斜，符合$a＜0$；一次函数与y轴交于正半轴，可得$b＞0$，此时二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$（即对称轴应在y轴右侧），但图象中二次函数对称轴在y轴左侧，b的符号矛盾，排除。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与性质，二次函数图象与性质，函数图象与参数关系
【点评】
本题属于函数图象综合判断题，解题核心是抓住两个函数中相同参数的符号一致性，采用先判断a、再验证b的排除法快速解题，无需复杂计算即可得到答案。
【难度系数】
0.7
9. 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的顶点为M，该抛物线与x轴交于A，B两点，OA=1，OB=OC=3，则CM的长为
$\sqrt{2}$
。答案
9.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据OA、OB、OC的长度及各点在坐标系中的位置，确定A、B、C三点的坐标；再将三点坐标代入抛物线的一般式，解三元一次方程组求出a、b、c的值，得到抛物线的解析式；接着通过配方法求出顶点M的坐标；最后利用两点间距离公式计算CM的长度即可。
【解析】
步骤1：确定点坐标
由OA=1，点A在x轴负半轴，得A(-1,0)；
由OB=3，点B在x轴正半轴，得B(3,0)；
由OC=3，点C在y轴负半轴，得C(0,-3)。
步骤2：求抛物线解析式
将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)代入$y = ax^2 + bx + c$，可得：
$\begin{cases}c=-3 \\a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0\end{cases}$
把$c=-3$代入后两个方程，化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$4a=4$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a - b = 3$，得$b=-2$。
因此抛物线解析式为$y = x^2 - 2x - 3$。
步骤3：求顶点M的坐标
对解析式配方：$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，
所以顶点M的坐标为$(1,-4)$。
步骤4：计算CM的长度
根据两点间距离公式，C(0,-3)、M(1,-4)之间的距离为：
$CM = \sqrt{(1-0)^2 + (-4 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，两点间距离公式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题核心是准确获取图像与坐标轴交点的坐标，再结合二次函数性质和距离公式求解，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据OA、OB、OC的长度及各点在坐标系中的位置，确定A、B、C三点的坐标；再将三点坐标代入抛物线的一般式，解三元一次方程组求出a、b、c的值，得到抛物线的解析式；接着通过配方法求出顶点M的坐标；最后利用两点间距离公式计算CM的长度即可。
【解析】
步骤1：确定点坐标
由OA=1，点A在x轴负半轴，得A(-1,0)；
由OB=3，点B在x轴正半轴，得B(3,0)；
由OC=3，点C在y轴负半轴，得C(0,-3)。
步骤2：求抛物线解析式
将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)代入$y = ax^2 + bx + c$，可得：
$\begin{cases}c=-3 \\a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0\end{cases}$
把$c=-3$代入后两个方程，化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$4a=4$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a - b = 3$，得$b=-2$。
因此抛物线解析式为$y = x^2 - 2x - 3$。
步骤3：求顶点M的坐标
对解析式配方：$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，
所以顶点M的坐标为$(1,-4)$。
步骤4：计算CM的长度
根据两点间距离公式，C(0,-3)、M(1,-4)之间的距离为：
$CM = \sqrt{(1-0)^2 + (-4 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，两点间距离公式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题核心是准确获取图像与坐标轴交点的坐标，再结合二次函数性质和距离公式求解，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
10. 如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是$(0,\sqrt{3})$,以点C为顶点的抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$恰好经过x轴上的A,B两点,过点C作$CE⊥x$轴,垂足为E.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)求经过A,B,C三点的抛物线对应的函数解析式.
(3)若上述抛物线向上平移后恰好过点D,求平移后所得抛物线对应的函数解析式,并指出平移了多少个单位长度.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)求经过A,B,C三点的抛物线对应的函数解析式.
(3)若上述抛物线向上平移后恰好过点D,求平移后所得抛物线对应的函数解析式,并指出平移了多少个单位长度.
答案
10.【解】(1)由四边形ABCD是菱形可知,$AB=AD=BC=DC$.易得四边形ODCE为矩形.
$\therefore OD=EC.$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOD≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL}).$
由抛物线的对称性可知,$AE=BE.$
$\therefore OA=EB=EA.$
设菱形的边长为$2m$,则$OA=EB=EA=\frac{1}{2}AB=m.$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,$m^2+(\sqrt{3})^2=(2m)^2.$
解得$m=1.$
$\therefore DC=2,OA=1,OB=3.$
$\therefore A,B,C$三点的坐标分别为$(1,0),(3,0),(2,\sqrt{3}).$
(2)设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+\sqrt{3}$.代入点A的坐标$(1,0)$,得$a=-\sqrt{3},$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}.$
(3)设平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+k$.代入点D的坐标$(0,\sqrt{3})$,得$k=5\sqrt{3}.$
$\therefore$ 平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$,平移了$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$(个)单位长度.
$\therefore OD=EC.$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOD≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL}).$
由抛物线的对称性可知,$AE=BE.$
$\therefore OA=EB=EA.$
设菱形的边长为$2m$,则$OA=EB=EA=\frac{1}{2}AB=m.$
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,$m^2+(\sqrt{3})^2=(2m)^2.$
解得$m=1.$
$\therefore DC=2,OA=1,OB=3.$
$\therefore A,B,C$三点的坐标分别为$(1,0),(3,0),(2,\sqrt{3}).$
(2)设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+\sqrt{3}$.代入点A的坐标$(1,0)$,得$a=-\sqrt{3},$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}.$
(3)设平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+k$.代入点D的坐标$(0,\sqrt{3})$,得$k=5\sqrt{3}.$
$\therefore$ 平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$,平移了$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$(个)单位长度.
解析
【分析】
(1) 求A、B、C三点坐标：先利用菱形四边相等的性质，结合以C为顶点的抛物线的轴对称性，可得AE=EB；再由四边形ODCE是矩形得CE=OD=√3，设菱形边长为2m，可推出OA=AE=EB=m，在Rt△AOD中用勾股定理列方程求解m，即可得到三点坐标。
(2) 求抛物线解析式：已知抛物线顶点C的坐标，选择顶点式设解析式，代入A点坐标求解参数a即可。
(3) 求平移后解析式：抛物线上下平移时二次项系数不变、顶点横坐标不变，设平移后的顶点式解析式，代入D点坐标求解新的常数项，新顶点纵坐标与原顶点纵坐标的差就是平移的单位长度。
【解析】
(1) 由四边形ABCD是菱形可知，$AB=AD=BC=DC$。易得四边形ODCE为矩形，$\therefore OD=EC$，$\therefore \mathrm{Rt}△ AOD≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$。由抛物线的对称性可知，$AE=BE$，$\therefore OA=EB=EA$。
设菱形的边长为$2m$，则$OA=EB=EA=\frac{1}{2}AB=m$，在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$m^2+(\sqrt{3})^2=(2m)^2$，解得$m=1$。
$\therefore DC=2,OA=1,OB=3$，即$A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(2,\sqrt{3})$。
(2) 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+\sqrt{3}$，代入点A的坐标$(1,0)$，得$0=a(1-2)^2+\sqrt{3}$，解得$a=-\sqrt{3}$，$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$。
(3) 设平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+k$，代入点D的坐标$(0,\sqrt{3})$，得$\sqrt{3} = -\sqrt{3}×(0-2)^2 +k$，解得$k=5\sqrt{3}$。
$\therefore$ 平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$，平移的单位长度为$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(2,\sqrt{3})$；
(2) $y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$；
(3) 平移后解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$，平移了$4\sqrt{3}$个单位长度。
【知识点】
菱形的性质；二次函数解析式求解；二次函数的平移
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题型，既考查了菱形、直角三角形的性质应用，又考查了二次函数顶点式的运用及平移规律，解题时需要结合图形特征分析数量关系，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 求A、B、C三点坐标：先利用菱形四边相等的性质，结合以C为顶点的抛物线的轴对称性，可得AE=EB；再由四边形ODCE是矩形得CE=OD=√3，设菱形边长为2m，可推出OA=AE=EB=m，在Rt△AOD中用勾股定理列方程求解m，即可得到三点坐标。
(2) 求抛物线解析式：已知抛物线顶点C的坐标，选择顶点式设解析式，代入A点坐标求解参数a即可。
(3) 求平移后解析式：抛物线上下平移时二次项系数不变、顶点横坐标不变，设平移后的顶点式解析式，代入D点坐标求解新的常数项，新顶点纵坐标与原顶点纵坐标的差就是平移的单位长度。
【解析】
(1) 由四边形ABCD是菱形可知，$AB=AD=BC=DC$。易得四边形ODCE为矩形，$\therefore OD=EC$，$\therefore \mathrm{Rt}△ AOD≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$。由抛物线的对称性可知，$AE=BE$，$\therefore OA=EB=EA$。
设菱形的边长为$2m$，则$OA=EB=EA=\frac{1}{2}AB=m$，在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$m^2+(\sqrt{3})^2=(2m)^2$，解得$m=1$。
$\therefore DC=2,OA=1,OB=3$，即$A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(2,\sqrt{3})$。
(2) 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+\sqrt{3}$，代入点A的坐标$(1,0)$，得$0=a(1-2)^2+\sqrt{3}$，解得$a=-\sqrt{3}$，$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$。
(3) 设平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+k$，代入点D的坐标$(0,\sqrt{3})$，得$\sqrt{3} = -\sqrt{3}×(0-2)^2 +k$，解得$k=5\sqrt{3}$。
$\therefore$ 平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$，平移的单位长度为$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(2,\sqrt{3})$；
(2) $y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$；
(3) 平移后解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$，平移了$4\sqrt{3}$个单位长度。
【知识点】
菱形的性质；二次函数解析式求解；二次函数的平移
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题型，既考查了菱形、直角三角形的性质应用，又考查了二次函数顶点式的运用及平移规律，解题时需要结合图形特征分析数量关系，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,该抛物线的顶点为C.点P为该抛物线上一点,其横坐标为m.当$m＞0$时,设该抛物线在点B与点P之间(包含点B和点P)的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为$d,n$.当$d - n = 1$时,m的取值范围为
$1≤ m≤ 2$ 或 $m=1+\sqrt{7}$
.答案
11.$1≤ m≤ 2$ 或 $m=1+\sqrt{7}$
解析
【分析】
首先先求出抛物线与y轴交点、顶点坐标，明确抛物线的对称轴与增减性，再根据m＞0时分段讨论点B到点P之间抛物线段的最高点和最低点：结合d-n=1的条件，分别对不同区间内的最值到x轴的距离列等式或不等式求解即可。
【解析】
步骤1：求关键点坐标与抛物线性质
将抛物线解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，因此抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点$C(1,-4)$，开口向上；
令$x=0$，得$y=-3$，即$B(0,-3)$；点$P$横坐标为$m(m＞0)$，则$P(m, m^2-2m-3)$。
步骤2：分情况讨论
①当$0＜m≤1$时，BP段在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，最低点为$P$，最高点为$B$：
$d=|y_P|=-m^2+2m+3$，$n=|y_B|=3$，
代入$d-n=1$得$-m^2+2m=1$，解得$m=1$，为区间端点。
②当$1＜m≤2$时，BP段包含顶点$C$，最低点为$C$，故$d=|-4|=4$；
此时BP段最高点为$B$，$n=|-3|=3$，
$d-n=4-3=1$，满足条件，故$1＜m≤2$符合要求。
③当$m＞2$时，BP段最低点仍为$C$，$d=4$，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，最高点为$P$，$n=|y_P|$，
代入$d-n=1$得$4-|y_P|=1$，即$|y_P|=3$；
因$m＞2$，$y_P=-3$时$x=2$（舍去），令$y_P=3$，得$x^2-2x-3=3$，解得$x=1+\sqrt{7}$（负根舍去），故$m=1+\sqrt{7}$符合条件。
综上，$m$的取值范围为$1≤m≤2$或$m=1+\sqrt{7}$。
【答案】
$1≤ m≤ 2$ 或 $m=1+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的区间最值，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查二次函数区间内最值的判断，解题核心是结合抛物线对称轴、增减性分段讨论最值点的位置，注意不要遗漏$m＞2$时的特殊解。
【难度系数】
0.3
首先先求出抛物线与y轴交点、顶点坐标，明确抛物线的对称轴与增减性，再根据m＞0时分段讨论点B到点P之间抛物线段的最高点和最低点：结合d-n=1的条件，分别对不同区间内的最值到x轴的距离列等式或不等式求解即可。
【解析】
步骤1：求关键点坐标与抛物线性质
将抛物线解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，因此抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点$C(1,-4)$，开口向上；
令$x=0$，得$y=-3$，即$B(0,-3)$；点$P$横坐标为$m(m＞0)$，则$P(m, m^2-2m-3)$。
步骤2：分情况讨论
①当$0＜m≤1$时，BP段在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，最低点为$P$，最高点为$B$：
$d=|y_P|=-m^2+2m+3$，$n=|y_B|=3$，
代入$d-n=1$得$-m^2+2m=1$，解得$m=1$，为区间端点。
②当$1＜m≤2$时，BP段包含顶点$C$，最低点为$C$，故$d=|-4|=4$；
此时BP段最高点为$B$，$n=|-3|=3$，
$d-n=4-3=1$，满足条件，故$1＜m≤2$符合要求。
③当$m＞2$时，BP段最低点仍为$C$，$d=4$，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，最高点为$P$，$n=|y_P|$，
代入$d-n=1$得$4-|y_P|=1$，即$|y_P|=3$；
因$m＞2$，$y_P=-3$时$x=2$（舍去），令$y_P=3$，得$x^2-2x-3=3$，解得$x=1+\sqrt{7}$（负根舍去），故$m=1+\sqrt{7}$符合条件。
综上，$m$的取值范围为$1≤m≤2$或$m=1+\sqrt{7}$。
【答案】
$1≤ m≤ 2$ 或 $m=1+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的区间最值，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查二次函数区间内最值的判断，解题核心是结合抛物线对称轴、增减性分段讨论最值点的位置，注意不要遗漏$m＞2$时的特殊解。
【难度系数】
0.3
