1.【例1】分解因式：
(1)$x^4 -1$；
(2)$x^4 -2x^2y^2 + y^4$。

1.(1) 解:原式 = $(x^2 + 1)(x^2 -1)$ = $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$。
1.(2) 解:原式 = $(x^2 - y^2)^2 = (x + y)^2(x - y)^2$。

【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤，本题两个式子都没有公因式，直接套用乘法公式，最后检查是否分解彻底即可。
(1)观察$x^4 -1$，是两项、符号相反，且两项都可写成平方形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，第一次分解后得到的$x^2-1$仍然符合平方差公式特征，需要继续分解到所有因式不能再分解为止。
(2)观察$x^4 -2x^2y^2 + y^4$，是三项式，满足“首平方、尾平方，乘积2倍在中央”的完全平方公式特征，先套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解，得到的$x^2-y^2$仍符合平方差公式结构，继续分解后整理结果即可。
【解析】
(1) 解：将原式转化为平方差形式
原式=$(x^2)^2 - 1^2$
第一次套用平方差公式：$=(x^2 + 1)(x^2 -1)$
$x^2-1$仍可分解，再次套用平方差公式：$=(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$
(2) 解：将原式转化为完全平方形式
原式=$(x^2)^2 - 2· x^2· y^2 + (y^2)^2$
套用完全平方差公式：$=(x^2 - y^2)^2$
将括号内的式子用平方差公式分解后整体平方：$=[(x + y)(x - y)]^2=(x + y)^2(x - y)^2$
【答案】
(1) $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$
(2) $(x + y)^2(x - y)^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 因式分解的彻底性
【点评】
本题是公式法分解因式的基础典型题，解题核心是准确识别多项式对应的公式结构，分解完成后要注意检查每个因式是否还能继续分解，避免出现分解不彻底的常见错误。
【难度系数】
0.7

2. 分解因式:
(1)$m^4 - n^4$;
(2)$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$.

2.(1) 解:原式 = $(m^2 + n^2)(m^2 - n^2)$ = $(m^2 + n^2)(m + n)(m - n)$。
2.(2) 解:原式 = $(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)$ = $(x + y)^2(x - y)^2$。

【分析】
这两道因式分解题均考查公式法的应用，解题思路如下：
（1）对于$m^4 - n^4$，首先观察到式子是两个四次幂的差，可变形为平方差的形式$(m^2)^2-(n^2)^2$，先套用平方差公式分解，分解后得到的因式$m^2 - n^2$仍符合平方差公式的形式，需要继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
（2）对于$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$，首先将$4x^2y^2$变形为$(2xy)^2$，原式即为平方差形式，先用平方差公式分解，得到的两个因式刚好符合完全平方公式的结构，再分别套用完全平方公式继续分解即可。
【解析】
(1) 先逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将原式变形：
原式$=(m^2)^2 - (n^2)^2=(m^2 + n^2)(m^2 - n^2)$
发现$m^2 - n^2$仍可继续用平方差公式分解：
$=(m^2 + n^2)(m + n)(m - n)$
(2) 先将$4x^2y^2$改写为$(2xy)^2$，逆用平方差公式分解：
原式$=(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2=(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)$
再逆用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$分别分解两个因式：
$=(x + y)^2(x - y)^2$
【答案】
(1) $(m^2 + n^2)(m + n)(m - n)$
(2) $(x + y)^2(x - y)^2$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的关键是准确识别式子符合的公式结构，同时要牢记因式分解的要求：必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7

3.【例2】分解因式:
(1)$m - m^3$;
(2)$4ax^2 + 8axy + 4ay^2$;
(3)$-4x^3 + 4x^2y - xy^2$.
4.分解因式:
(1)$x^2(a - b) - y^2(a - b)$;
(2)$2x^3 + 4x^2 + 2x$;
(3)$-2x^3 + 12x^2 - 18x$.

3.(1) 解:原式 = $m(1 - m^2) = m(1 + m)(1 - m)$。
3.(2) 解:原式 = $4a(x^2 + 2xy + y^2) = 4a(x + y)^2$。
3.(3) 解:原式 = $-x(4x^2 - 4xy + y^2) = -x(2x - y)^2$。
4.(1) 解:原式 = $(a - b)(x^2 - y^2)$ = $(a - b)(x + y)(x - y)$。
4.(2) 解:原式 = $2x(x^2 + 2x + 1) = 2x(x + 1)^2$。
4.(3) 解:原式 = $-2x(x^2 - 6x + 9) = -2x(x - 3)^2$。

【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的思路解题：①先观察多项式是否存在公因式，若有则先提取公因式，若多项式首项为负，可优先提取负号简化后续计算；②提取公因式后，判断剩余多项式的结构：两项式可验证是否符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，三项式可验证是否符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的形式，匹配对应公式继续分解；③最后检查所有因式是否都不能再分解，确保分解彻底。
【解析】
3.(1) 先提取公因式$m$，剩余的$1-m^2$符合平方差公式形式，继续分解：
原式 = $m(1 - m^2) = m(1 + m)(1 - m)$
3.(2) 先提取公因式$4a$，剩余的$x^2+2xy+y^2$符合完全平方公式形式，继续分解：
原式 = $4a(x^2 + 2xy + y^2) = 4a(x + y)^2$
3.(3) 先提取公因式$-x$，剩余的$4x^2-4xy+y^2$符合完全平方公式形式，继续分解：
原式 = $-x(4x^2 - 4xy + y^2) = -x(2x - y)^2$
4.(1) 先提取公因式$(a-b)$，剩余的$x^2-y^2$符合平方差公式形式，继续分解：
原式 = $(a - b)(x^2 - y^2) = (a - b)(x + y)(x - y)$
4.(2) 先提取公因式$2x$，剩余的$x^2+2x+1$符合完全平方公式形式，继续分解：
原式 = $2x(x^2 + 2x + 1) = 2x(x + 1)^2$
4.(3) 先提取公因式$-2x$，剩余的$x^2-6x+9$符合完全平方公式形式，继续分解：
原式 = $-2x(x^2 - 6x + 9) = -2x(x - 3)^2$
【答案】
3.(1) $m(1 + m)(1 - m)$；3.(2) $4a(x + y)^2$；3.(3) $-x(2x - y)^2$
4.(1) $(a - b)(x + y)(x - y)$；4.(2) $2x(x + 1)^2$；4.(3) $-2x(x - 3)^2$
【知识点】
提公因式法、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本组题目是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的基本操作步骤，解题时需注意公因式要提取完全，匹配公式时要准确对应公式的结构特征，最后要检查分解结果，避免出现分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.8

5.【例3】(人教八上$\mathrm{P}_{132}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编)分解因式:$(x-3)(x+1)+4$.
6.分解因式:$(x+1)(x+2)+\dfrac{1}{4}$.

5. 解:原式 = $x^2 + x - 3x - 3 + 4 = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$。
6. 解:原式 = $x^2 + 3x + 2 + \dfrac{1}{4} = x^2 + 3x + \dfrac{9}{4} = (x + \dfrac{3}{2})^2$。

【分析】
这两道因式分解题都属于“多项式乘积+常数”的形式，无法直接提取公因式或套用公式，解题思路分为三步：第一步先利用多项式乘多项式的法则把乘积部分展开，第二步合并同类项将原式整理为二次三项式的形式，第三步观察二次三项式是否符合完全平方公式的结构特征，若符合则套用完全平方公式完成因式分解。
【解析】
5. 解：先展开多项式乘积：
原式 = $x^2 + x - 3x - 3 + 4$
合并同类项得：
$=x^2 - 2x + 1$
该式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=x$，$b=1$），因此分解得：
$=(x-1)^2$
6. 解：先展开多项式乘积：
原式 = $x^2 + 2x + x + 2 + \frac{1}{4}$
合并同类项得：
$=x^2 + 3x + \frac{9}{4}$
该式符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（其中$a=x$，$b=\frac{3}{2}$），因此分解得：
$=(x+\frac{3}{2})^2$
【答案】
5. $(x-1)^2$；6. $(x+\frac{3}{2})^2$
【知识点】
多项式乘法，合并同类项，完全平方公式因式分解
【点评】
这两道是因式分解的常规基础题型，解题核心是先对原式展开化简，再结合公式的结构特征判断是否可套用公式分解，要求熟练掌握多项式运算规则和完全平方公式的形式，做题时切忌未化简就盲目拆分原式。
【难度系数】
0.8