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8.【例4】利用因式分解计算：$34^2 + 34 × 32 + 16^2$
答案
8. 解:原式$=34^2 + 2 × 34 × 16 + 16^2 = (34 + 16)^2 = 50^2 = 2500$.
解析
【分析】首先观察算式的结构特征，发现算式包含两个平方项$34^2$和$16^2$，再看中间项$34×32$，可将32拆分为$2×16$，此时中间项变为$2×34×16$，刚好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2$的结构，因此可以套用完全平方和公式进行因式分解，简化计算过程，避免直接计算大数乘法的繁琐。
【解析】解：原式$=34^2 + 2 × 34 × 16 + 16^2$
$=(34 + 16)^2$
$=50^2$
$=2500$
【答案】2500
【知识点】完全平方公式，因式分解的应用
【点评】本题是利用因式分解简化运算的典型题型，解题核心是准确识别式子的结构，将中间项变形为完全平方公式对应的2ab形式，套用公式后可以快速得出结果，有效减少计算错误。
【难度系数】0.8
【解析】解：原式$=34^2 + 2 × 34 × 16 + 16^2$
$=(34 + 16)^2$
$=50^2$
$=2500$
【答案】2500
【知识点】完全平方公式，因式分解的应用
【点评】本题是利用因式分解简化运算的典型题型，解题核心是准确识别式子的结构，将中间项变形为完全平方公式对应的2ab形式，套用公式后可以快速得出结果，有效减少计算错误。
【难度系数】0.8
9. 利用因式分解计算: $38.5^2 - 77 × 48.5 + 48.5^2$
答案
9. 解:原式$=38.5^2 - 2 × 38.5 × 48.5 + 48.5^2 = (38.5 - 48.5)^2 = (-10)^2 = 100$.
解析
【分析】
观察待计算的式子，发现包含两个数的平方项，联想到完全平方公式的结构特征：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。首先验证中间项：$77=2×38.5$，因此可将中间项变形为$2×38.5×48.5$，此时原式恰好符合完全平方差公式的结构，套用公式后即可将复杂的小数平方运算转化为简单的整数运算，大幅降低计算难度。
【解析】
解：先将原式变形为符合完全平方差公式的形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=38.5^2 - 2 × 38.5 × 48.5 + 48.5^2 \\&=(38.5 - 48.5)^2 \\&=(-10)^2 \\&=100\end{aligned}$
【答案】
$100$
【知识点】
完全平方公式；因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解简化数值计算，解题关键是准确识别式子的结构特征，通过调整中间项匹配完全平方公式，可避免直接计算高次幂，提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
观察待计算的式子，发现包含两个数的平方项，联想到完全平方公式的结构特征：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。首先验证中间项：$77=2×38.5$，因此可将中间项变形为$2×38.5×48.5$，此时原式恰好符合完全平方差公式的结构，套用公式后即可将复杂的小数平方运算转化为简单的整数运算，大幅降低计算难度。
【解析】
解：先将原式变形为符合完全平方差公式的形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=38.5^2 - 2 × 38.5 × 48.5 + 48.5^2 \\&=(38.5 - 48.5)^2 \\&=(-10)^2 \\&=100\end{aligned}$
【答案】
$100$
【知识点】
完全平方公式；因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解简化数值计算，解题关键是准确识别式子的结构特征，通过调整中间项匹配完全平方公式，可避免直接计算高次幂，提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
1. 下列是完全平方式的是 （
A.$x^2 - x + 1$
B.$2x^2 + 4xy + y^2$
C.$4x^2 + 4x + 1$
D.$x^2 - y^2 + 2xy$
C
）A.$x^2 - x + 1$
B.$2x^2 + 4xy + y^2$
C.$4x^2 + 4x + 1$
D.$x^2 - y^2 + 2xy$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个式子是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：完全平方式是两个数的平方和加上或减去这两个数乘积的2倍，即形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子。解题时先找出选项中的平方项，确定对应的底数，再验证中间项是否为两个底数乘积的2倍，逐个比对即可得出答案。
【解析】
完全平方式的标准形式为：$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个同号的平方项，以及一个等于两平方项底数乘积2倍的交叉项（符号可正可负）。
选项A：$x^2-x+1$的平方项为$x^2$和$1^2$，对应底数为$x$和$1$，两底数乘积的2倍为$\pm2x$，但中间项是$-x$，不符合要求，不是完全平方式。
选项B：$2x^2+4xy+y^2$中，$2x^2$不是某个整式的完全平方，且若以$\sqrt{2}x$和$y$为底数，乘积的2倍为$\pm2\sqrt{2}xy$，与中间项$4xy$不符，不是完全平方式。
选项C：$4x^2+4x+1$的平方项为$(2x)^2$和$1^2$，对应底数为$2x$和$1$，两底数乘积的2倍为$2×2x×1=4x$，正好是中间项，可变形为$(2x+1)^2$，是完全平方式。
选项D：$x^2-y^2+2xy$中$y^2$前面为负号，不存在两个同号的平方项，不符合完全平方式的结构，不是完全平方式。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的判定
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构识别，解题关键是牢记完全平方式“两平方项同号，交叉项为两底数乘积2倍”的特征，做题时逐一匹配结构即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：完全平方式是两个数的平方和加上或减去这两个数乘积的2倍，即形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子。解题时先找出选项中的平方项，确定对应的底数，再验证中间项是否为两个底数乘积的2倍，逐个比对即可得出答案。
【解析】
完全平方式的标准形式为：$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个同号的平方项，以及一个等于两平方项底数乘积2倍的交叉项（符号可正可负）。
选项A：$x^2-x+1$的平方项为$x^2$和$1^2$，对应底数为$x$和$1$，两底数乘积的2倍为$\pm2x$，但中间项是$-x$，不符合要求，不是完全平方式。
选项B：$2x^2+4xy+y^2$中，$2x^2$不是某个整式的完全平方，且若以$\sqrt{2}x$和$y$为底数，乘积的2倍为$\pm2\sqrt{2}xy$，与中间项$4xy$不符，不是完全平方式。
选项C：$4x^2+4x+1$的平方项为$(2x)^2$和$1^2$，对应底数为$2x$和$1$，两底数乘积的2倍为$2×2x×1=4x$，正好是中间项，可变形为$(2x+1)^2$，是完全平方式。
选项D：$x^2-y^2+2xy$中$y^2$前面为负号，不存在两个同号的平方项，不符合完全平方式的结构，不是完全平方式。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的判定
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构识别，解题关键是牢记完全平方式“两平方项同号，交叉项为两底数乘积2倍”的特征，做题时逐一匹配结构即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 分解因式:
(1)$x^2 -6x +9 =$
(2)$4y^2 -4y +1 =$
(3)$4b^2 +2ab +\dfrac{1}{4}a^2 =$
(1)$x^2 -6x +9 =$
$(x-3)^2$
;(2)$4y^2 -4y +1 =$
$(2y-1)^2$
;(3)$4b^2 +2ab +\dfrac{1}{4}a^2 =$
$(2b + \dfrac{1}{2}a)^2$
.答案
2. (1) $(x-3)^2$ (2) $(2y-1)^2$ (3) $(2b + \dfrac{1}{2}a)^2$
解析
【分析】
这三道题均考查利用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先找出式子中对应公式里$a^2$和$b^2$的项，确定a和b分别是什么，再验证中间项是否为$\pm2ab$，最后套用公式写出分解结果即可。
【解析】
(1) 式子$x^2-6x+9$中，$x^2$对应公式里的$a^2$，即$a=x$；$9=3^2$对应公式里的$b^2$，即$b=3$；中间项$-6x=-2× x×3$，符合完全平方差公式的结构，因此$x^2-6x+9=(x-3)^2$。
(2) 式子$4y^2-4y+1$中，$4y^2=(2y)^2$对应$a^2$，即$a=2y$；$1=1^2$对应$b^2$，即$b=1$；中间项$-4y=-2×2y×1$，符合完全平方差公式的结构，因此$4y^2-4y+1=(2y-1)^2$。
(3) 式子$4b^2+2ab+\frac{1}{4}a^2$中，$4b^2=(2b)^2$对应$a^2$，即这里的第一个数为$2b$；$\frac{1}{4}a^2=(\frac{1}{2}a)^2$对应$b^2$，即第二个数为$\frac{1}{2}a$；中间项$2ab=2×2b×\frac{1}{2}a$，符合完全平方和公式的结构，因此$4b^2+2ab+\frac{1}{4}a^2=(2b+\frac{1}{2}a)^2$。
【答案】
(1) $(x-3)^2$；(2) $(2y-1)^2$；(3) $(2b + \dfrac{1}{2}a)^2$
【知识点】
1.因式分解 2.完全平方公式 3.完全平方式识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时要注意准确识别公式中对应的两个平方项及中间项的符号，避免因混淆a、b或符号出错。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查利用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先找出式子中对应公式里$a^2$和$b^2$的项，确定a和b分别是什么，再验证中间项是否为$\pm2ab$，最后套用公式写出分解结果即可。
【解析】
(1) 式子$x^2-6x+9$中，$x^2$对应公式里的$a^2$，即$a=x$；$9=3^2$对应公式里的$b^2$，即$b=3$；中间项$-6x=-2× x×3$，符合完全平方差公式的结构，因此$x^2-6x+9=(x-3)^2$。
(2) 式子$4y^2-4y+1$中，$4y^2=(2y)^2$对应$a^2$，即$a=2y$；$1=1^2$对应$b^2$，即$b=1$；中间项$-4y=-2×2y×1$，符合完全平方差公式的结构，因此$4y^2-4y+1=(2y-1)^2$。
(3) 式子$4b^2+2ab+\frac{1}{4}a^2$中，$4b^2=(2b)^2$对应$a^2$，即这里的第一个数为$2b$；$\frac{1}{4}a^2=(\frac{1}{2}a)^2$对应$b^2$，即第二个数为$\frac{1}{2}a$；中间项$2ab=2×2b×\frac{1}{2}a$，符合完全平方和公式的结构，因此$4b^2+2ab+\frac{1}{4}a^2=(2b+\frac{1}{2}a)^2$。
【答案】
(1) $(x-3)^2$；(2) $(2y-1)^2$；(3) $(2b + \dfrac{1}{2}a)^2$
【知识点】
1.因式分解 2.完全平方公式 3.完全平方式识别
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时要注意准确识别公式中对应的两个平方项及中间项的符号，避免因混淆a、b或符号出错。
【难度系数】
0.8
3. (2026云浮市期末)如果多项式$m^2 +1$加上一个单项式后,可以用公式法分解因式,那么这个单项式可以是
2m(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
3. 2m(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先明确核心要求：给多项式$m^2 +1$添加一个单项式后，可使用公式法分解因式，首先回忆初中阶段用于因式分解的公式为完全平方公式和平方差公式；2. 优先匹配完全平方公式，完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，现有式子中的$m^2$可看作$a^2$（即$a=m$），$1$可看作$b^2$（即$b=1$），此时缺少的是$\pm2ab$项，计算得$\pm2× m×1=\pm2m$，添加$2m$后式子刚好符合完全平方公式的结构，可直接分解因式，因此可填$2m$（答案不唯一）。
【解析】
我们利用完全平方公式求解：
完全平方公式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将现有多项式$m^2+1$中的$m^2$对应$a^2$，$1$对应$b^2$（即$a=m$，$b=1$），
则缺少的交叉项为$2ab=2× m×1=2m$，
添加$2m$后得到的式子为$m^2+2m+1=(m+1)^2$，满足用公式法分解因式的要求，
因此这个单项式可以是$2m$（答案不唯一，$-2m$、$-1$等也符合要求）。
【答案】
2m（答案不唯一）
【知识点】
公式法因式分解；完全平方公式
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对因式分解常用公式结构的理解与运用，需要结合已知多项式的特征灵活匹配公式，符合条件的单项式不止一个，写出任意一个满足要求的即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先明确核心要求：给多项式$m^2 +1$添加一个单项式后，可使用公式法分解因式，首先回忆初中阶段用于因式分解的公式为完全平方公式和平方差公式；2. 优先匹配完全平方公式，完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，现有式子中的$m^2$可看作$a^2$（即$a=m$），$1$可看作$b^2$（即$b=1$），此时缺少的是$\pm2ab$项，计算得$\pm2× m×1=\pm2m$，添加$2m$后式子刚好符合完全平方公式的结构，可直接分解因式，因此可填$2m$（答案不唯一）。
【解析】
我们利用完全平方公式求解：
完全平方公式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将现有多项式$m^2+1$中的$m^2$对应$a^2$，$1$对应$b^2$（即$a=m$，$b=1$），
则缺少的交叉项为$2ab=2× m×1=2m$，
添加$2m$后得到的式子为$m^2+2m+1=(m+1)^2$，满足用公式法分解因式的要求，
因此这个单项式可以是$2m$（答案不唯一，$-2m$、$-1$等也符合要求）。
【答案】
2m（答案不唯一）
【知识点】
公式法因式分解；完全平方公式
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对因式分解常用公式结构的理解与运用，需要结合已知多项式的特征灵活匹配公式，符合条件的单项式不止一个，写出任意一个满足要求的即可。
【难度系数】
0.7
4.若$a - 2b - 3 = 0$,则$a^2 - 4ab + 4b^2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
4. 9
解析
【分析】
首先观察已知条件和所求代数式的结构，已知等式移项后可得到$a-2b$的值；所求代数式符合完全平方差公式的结构特征，可先利用完全平方公式对其因式分解，再将$a-2b$的值整体代入计算即可求出结果。
【解析】
解：由已知条件$a - 2b - 3 = 0$，移项可得：
$a - 2b = 3$
根据完全平方差公式，对所求代数式因式分解：
$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2$
将$a - 2b = 3$代入上式得：
$(a - 2b)^2 = 3^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，将所求式子正确因式分解后，结合已知条件运用整体代入思想计算即可。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件和所求代数式的结构，已知等式移项后可得到$a-2b$的值；所求代数式符合完全平方差公式的结构特征，可先利用完全平方公式对其因式分解，再将$a-2b$的值整体代入计算即可求出结果。
【解析】
解：由已知条件$a - 2b - 3 = 0$，移项可得：
$a - 2b = 3$
根据完全平方差公式，对所求代数式因式分解：
$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2$
将$a - 2b = 3$代入上式得：
$(a - 2b)^2 = 3^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，将所求式子正确因式分解后，结合已知条件运用整体代入思想计算即可。
【难度系数】
0.8
5. 已知正方形的面积是$(y^2 + 8y + 16)\ \mathrm{m}^2$（$y ＞ -4$），则正方形的边长为
$(y+4)$
m.答案
5. $(y+4)$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长²，因此边长是面积的算术平方根。接下来观察给出的面积表达式是二次三项式，符合完全平方式的结构，我们可以先利用完全平方公式对其因式分解，再结合$y＞-4$的条件判断因式的正负，从而得到符合实际意义（边长为正数）的结果。
【解析】
解：设正方形的边长为$a\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式得：
$a^2 = y^2 + 8y + 16$
根据完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，对右侧多项式因式分解：
$y^2 + 8y + 16 = y^2 + 2× y×4 + 4^2 = (y+4)^2$
因此$a^2=(y+4)^2$，边长$a$为正数，即$a$是$(y+4)^2$的算术平方根。
已知$y＞-4$，所以$y+4＞0$，根据算术平方根的性质$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$，可得：
$a=\sqrt{(y+4)^2}=y+4$
【答案】
$(y+4)$
【知识点】
完全平方公式，算术平方根，正方形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将代数因式分解知识与几何图形面积公式结合考查，重点是识别完全平方式的结构，同时要注意结合给出的取值范围确保边长为正，符合实际意义。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长²，因此边长是面积的算术平方根。接下来观察给出的面积表达式是二次三项式，符合完全平方式的结构，我们可以先利用完全平方公式对其因式分解，再结合$y＞-4$的条件判断因式的正负，从而得到符合实际意义（边长为正数）的结果。
【解析】
解：设正方形的边长为$a\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式得：
$a^2 = y^2 + 8y + 16$
根据完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，对右侧多项式因式分解：
$y^2 + 8y + 16 = y^2 + 2× y×4 + 4^2 = (y+4)^2$
因此$a^2=(y+4)^2$，边长$a$为正数，即$a$是$(y+4)^2$的算术平方根。
已知$y＞-4$，所以$y+4＞0$，根据算术平方根的性质$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$，可得：
$a=\sqrt{(y+4)^2}=y+4$
【答案】
$(y+4)$
【知识点】
完全平方公式，算术平方根，正方形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将代数因式分解知识与几何图形面积公式结合考查，重点是识别完全平方式的结构，同时要注意结合给出的取值范围确保边长为正，符合实际意义。
【难度系数】
0.8
6. 分解因式：
(1) $-9 + 12a - 4a^2$；
(2) $4 - 12(x - y) + 9(x - y)^2$。
能力提升
(1) $-9 + 12a - 4a^2$；
(2) $4 - 12(x - y) + 9(x - y)^2$。
能力提升
答案
6. (1) 解:原式 = $-(9 - 12a + 4a^2) = -[3^2 - 2 × 3 × 2a + (2a)^2] = -(3 - 2a)^2$.
(2) 解:原式 = $2^2 - 2 × 2 × 3(x - y) + [3(x - y)]^2 = [2 - 3(x - y)]^2 = (2 - 3x + 3y)^2$.
(2) 解:原式 = $2^2 - 2 × 2 × 3(x - y) + [3(x - y)]^2 = [2 - 3(x - y)]^2 = (2 - 3x + 3y)^2$.
解析
【分析】
这两道因式分解题都可利用完全平方公式求解，解题思路如下：(1)观察原式发现最高次项系数为负，先提取负号将多项式变形为正系数的二次三项式，再判断变形后的式子符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，对应找到$a=3$、$b=2a$代入公式即可；(2)观察原式可将$(x-y)$看作一个整体，判断式子符合完全平方差公式的结构，先套用公式分解，再去括号化简得到最终结果即可。
【解析】
(1) 解：原式 = $-(9 - 12a + 4a^2) = -[3^2 - 2 × 3 × 2a + (2a)^2] = -(3 - 2a)^2$
(2) 解：原式 = $2^2 - 2 × 2 × 3(x - y) + [3(x - y)]^2 = [2 - 3(x - y)]^2 = (2 - 3x + 3y)^2$
【答案】
(1) $-(3 - 2a)^2$；(2) $(2 - 3x + 3y)^2$
【知识点】
提公因式法；完全平方公式；整体思想
【点评】
本题是因式分解的常规题型，考查对完全平方公式的灵活运用，解题时需注意先整理式子结构，负号要优先提取，相同多项式可作为整体套用公式，最终结果要化简到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
这两道因式分解题都可利用完全平方公式求解，解题思路如下：(1)观察原式发现最高次项系数为负，先提取负号将多项式变形为正系数的二次三项式，再判断变形后的式子符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，对应找到$a=3$、$b=2a$代入公式即可；(2)观察原式可将$(x-y)$看作一个整体，判断式子符合完全平方差公式的结构，先套用公式分解，再去括号化简得到最终结果即可。
【解析】
(1) 解：原式 = $-(9 - 12a + 4a^2) = -[3^2 - 2 × 3 × 2a + (2a)^2] = -(3 - 2a)^2$
(2) 解：原式 = $2^2 - 2 × 2 × 3(x - y) + [3(x - y)]^2 = [2 - 3(x - y)]^2 = (2 - 3x + 3y)^2$
【答案】
(1) $-(3 - 2a)^2$；(2) $(2 - 3x + 3y)^2$
【知识点】
提公因式法；完全平方公式；整体思想
【点评】
本题是因式分解的常规题型，考查对完全平方公式的灵活运用，解题时需注意先整理式子结构，负号要优先提取，相同多项式可作为整体套用公式，最终结果要化简到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
7. (过程性学习)如图是小明做的一道因式分解题目,请解答下面问题:
因式分解: $-4x^2 +12x -9$.
解: $-4x^2 +12x -9$
$= -(4x^2 +12x -9)$
……………… 第一步
$= -[(4x)^2 -2×4x×3 +3^3]$…… 第二步
$= -(4x -3)^2$. …………………… 第三步
(1)此题从第
(2)写出它的正确解答过程.
因式分解: $-4x^2 +12x -9$.
解: $-4x^2 +12x -9$
$= -(4x^2 +12x -9)$
……………… 第一步$= -[(4x)^2 -2×4x×3 +3^3]$…… 第二步
$= -(4x -3)^2$. …………………… 第三步
(1)此题从第
一
步开始出现错误,错误的原因是添括号时,括号前面是负号,括号内的项没有全部变号
;(2)写出它的正确解答过程.
答案
7. (1) 一 添括号时,括号前面是负号,括号内的项没有全部变号
(2) $-4x^2 + 12x - 9 = -(4x^2 - 12x + 9) = -[(2x)^2 - 2 × 2x × 3 + 3^2] = -(2x - 3)^2$.
(2) $-4x^2 + 12x - 9 = -(4x^2 - 12x + 9) = -[(2x)^2 - 2 × 2x × 3 + 3^2] = -(2x - 3)^2$.
解析
【分析】
对于第(1)问，先逐步骤核对变形规则：第一步是提取负号将二次项系数化为正，根据添括号法则，括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，对比小明的第一步变形即可发现错误。对于第(2)问，正确解题思路为：先正确提取负号，再判断括号内三项是否符合完全平方公式的结构$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，识别对应$a、b$后代入公式即可完成因式分解。
【解析】
(1) 核对第一步变形：原式$-4x^2+12x-9$提取负号后，正确变形应为$-(4x^2-12x+9)$，小明第一步括号内的$12x$未变号、$-9$也未变为$+9$，因此第一步就出现错误，错误原因是添括号时，括号前面是负号，括号内的项没有全部变号。
(2) 正确解答过程如下：
$\begin{aligned}-4x^2 + 12x -9 &= -(4x^2 - 12x +9) \\&= -[(2x)^2 - 2×2x×3 + 3^2] \\&= -(2x-3)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) 一；添括号时，括号前面是负号，括号内的项没有全部变号
(2) $-4x^2 + 12x - 9 = -(4x^2 - 12x + 9) = -[(2x)^2 - 2 × 2x × 3 + 3^2] = -(2x - 3)^2$
【知识点】
添括号法则；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要格外注意提取负号后各项符号的变化，使用完全平方公式因式分解时要准确识别平方项的底数，避免出现变形错误。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，先逐步骤核对变形规则：第一步是提取负号将二次项系数化为正，根据添括号法则，括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，对比小明的第一步变形即可发现错误。对于第(2)问，正确解题思路为：先正确提取负号，再判断括号内三项是否符合完全平方公式的结构$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，识别对应$a、b$后代入公式即可完成因式分解。
【解析】
(1) 核对第一步变形：原式$-4x^2+12x-9$提取负号后，正确变形应为$-(4x^2-12x+9)$，小明第一步括号内的$12x$未变号、$-9$也未变为$+9$，因此第一步就出现错误，错误原因是添括号时，括号前面是负号，括号内的项没有全部变号。
(2) 正确解答过程如下：
$\begin{aligned}-4x^2 + 12x -9 &= -(4x^2 - 12x +9) \\&= -[(2x)^2 - 2×2x×3 + 3^2] \\&= -(2x-3)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) 一；添括号时，括号前面是负号，括号内的项没有全部变号
(2) $-4x^2 + 12x - 9 = -(4x^2 - 12x + 9) = -[(2x)^2 - 2 × 2x × 3 + 3^2] = -(2x - 3)^2$
【知识点】
添括号法则；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要格外注意提取负号后各项符号的变化，使用完全平方公式因式分解时要准确识别平方项的底数，避免出现变形错误。
【难度系数】
0.7
8.（规律探究）先观察下列计算过程，再解答问题.
$99^2 +199 =99^2 +198 +1 =99^2 +2×99×1 +1 =(99+1)^2 =100^2 =10\ 000.$
（1）计算：$999^2 +1\ 999 =$
（2）求$99\ 999^2 +199\ 999$的值.
$99^2 +199 =99^2 +198 +1 =99^2 +2×99×1 +1 =(99+1)^2 =100^2 =10\ 000.$
（1）计算：$999^2 +1\ 999 =$
1 000 000
；（2）求$99\ 999^2 +199\ 999$的值.
答案
8. (1) 1 000 000
(2) 原式 = $99\ 999^2 + 199\ 998 + 1 = 99\ 999^2 + 2 × 99\ 999 × 1 + 1 = (99\ 999 + 1)^2 = 100\ 000^2 = 10^{10}$.
(2) 原式 = $99\ 999^2 + 199\ 998 + 1 = 99\ 999^2 + 2 × 99\ 999 × 1 + 1 = (99\ 999 + 1)^2 = 100\ 000^2 = 10^{10}$.
解析
【分析】
本题是数字规律探究类题目，核心是运用完全平方公式简化大数运算。首先观察题干给出的示例，可知解题思路为：将式子中后一个加数拆成“2×第一个加数的底数+1”的形式，刚好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（此处$b=1$），凑成完全平方后再计算乘方即可快速得到结果，避免直接计算大数平方的复杂运算。（1）问直接模仿示例的变形方法计算即可；（2）问沿用同样的凑完全平方的思路求解。
【解析】
（1）模仿题干示例的变形过程计算：
$999^2 +1999 = 999^2 + 2×999×1 +1 = (999+1)^2 = 1000^2 = 1000000$
（2）对式子变形凑完全平方计算：
原式$=99999^2 + 199998 + 1 = 99999^2 + 2×99999×1 + 1 = (99999+1)^2 = 100000^2 = 10^{10}$
【答案】
（1）$\boxed{1000000}$
（2）$\boxed{10^{10}}$
【知识点】
完全平方公式；数字规律探究；乘方运算
【点评】
本题是典型的规律应用类题目，重点考查观察模仿能力和对完全平方公式的灵活运用能力，掌握凑完全平方简化运算的技巧，可大幅降低大数运算的出错率。
【难度系数】
0.8
本题是数字规律探究类题目，核心是运用完全平方公式简化大数运算。首先观察题干给出的示例，可知解题思路为：将式子中后一个加数拆成“2×第一个加数的底数+1”的形式，刚好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（此处$b=1$），凑成完全平方后再计算乘方即可快速得到结果，避免直接计算大数平方的复杂运算。（1）问直接模仿示例的变形方法计算即可；（2）问沿用同样的凑完全平方的思路求解。
【解析】
（1）模仿题干示例的变形过程计算：
$999^2 +1999 = 999^2 + 2×999×1 +1 = (999+1)^2 = 1000^2 = 1000000$
（2）对式子变形凑完全平方计算：
原式$=99999^2 + 199998 + 1 = 99999^2 + 2×99999×1 + 1 = (99999+1)^2 = 100000^2 = 10^{10}$
【答案】
（1）$\boxed{1000000}$
（2）$\boxed{10^{10}}$
【知识点】
完全平方公式；数字规律探究；乘方运算
【点评】
本题是典型的规律应用类题目，重点考查观察模仿能力和对完全平方公式的灵活运用能力，掌握凑完全平方简化运算的技巧，可大幅降低大数运算的出错率。
【难度系数】
0.8
