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8. 已知多项式$5x^2y^4 - 2x^3y + \frac{1}{4}x$，$m$是该多项式的次数，$n$是四次项系数的倒数，求$mn$的值.
答案
$-3$
解析
【分析】
解题需先明确多项式次数、单项式系数、倒数的相关定义，按三步推导：①先计算多项式中每一项的次数，找到最高次项的次数即为m的值；②找到多项式中的四次项，确定其系数后求倒数得到n的值；③将m、n代入计算mn的结果即可。
【解析】
首先计算多项式$5x^2y^4 - 2x^3y + \frac{1}{4}x$各项的次数：
1. 项$5x^2y^4$的次数为$2+4=6$；
2. 项$-2x^3y$的次数为$3+1=4$，为四次项；
3. 项$\frac{1}{4}x$的次数为$1$。
根据多项式次数的定义，最高次项的次数为多项式的次数，因此$m=6$。
四次项$-2x^3y$的系数为$-2$，其倒数为$\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$，因此$n=-\frac{1}{2}$。
计算$mn$：$mn=6×(-\frac{1}{2})=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式的次数；单项式的系数；倒数的定义
【点评】
本题侧重基础概念的应用，易错点是计算项的次数时漏加字母的次数、求系数倒数时忽略符号，掌握多项式相关基础定义是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题需先明确多项式次数、单项式系数、倒数的相关定义，按三步推导：①先计算多项式中每一项的次数，找到最高次项的次数即为m的值；②找到多项式中的四次项，确定其系数后求倒数得到n的值；③将m、n代入计算mn的结果即可。
【解析】
首先计算多项式$5x^2y^4 - 2x^3y + \frac{1}{4}x$各项的次数：
1. 项$5x^2y^4$的次数为$2+4=6$；
2. 项$-2x^3y$的次数为$3+1=4$，为四次项；
3. 项$\frac{1}{4}x$的次数为$1$。
根据多项式次数的定义，最高次项的次数为多项式的次数，因此$m=6$。
四次项$-2x^3y$的系数为$-2$，其倒数为$\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$，因此$n=-\frac{1}{2}$。
计算$mn$：$mn=6×(-\frac{1}{2})=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式的次数；单项式的系数；倒数的定义
【点评】
本题侧重基础概念的应用，易错点是计算项的次数时漏加字母的次数、求系数倒数时忽略符号，掌握多项式相关基础定义是解题的核心。
【难度系数】
0.8
9. (汕头期末)已知多项式$x^{|m|}+(m-2)x-10$是二次三项式，$m$为常数，则$m$的值为
【 】
A.$\pm2$
B.$-2$
C.$\pm3$
D.$3$
【 】
A.$\pm2$
B.$-2$
C.$\pm3$
D.$3$
答案
B
解析
【分析】
要确定m的值，需结合二次三项式的定义分步分析：①二次三项式要求最高次项的次数为2，据此可列出关于m的绝对值方程，得到m的初步取值；②三项式要求多项式有3个非零项，因此一次项的系数不能为0，否则一次项消失，多项式就变成二次二项式，不符合题意。先根据最高次的要求求出m的可能值，再结合项数的要求排除不符合的取值，即可得到正确的m值。
【解析】
解：
∵多项式$x^{|m|}+(m-2)x-10$是二次三项式，
∴第一步，根据“二次”的要求，最高次项的次数为2，可得：
$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
第二步，根据“三项式”的要求，一次项不能为0，即一次项系数不为0，可得：
$m-2≠0$，解得$m≠2$；
综合两个条件，舍去$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 多项式的次数
2. 多项式的项
3. 绝对值的性质
【点评】
本题核心是对二次三项式定义的准确理解，解题时容易忽略“三项式”对应的一次项系数不为0的限制条件，误选A选项，需要注意两个判定条件要同时满足。
【难度系数】
0.6
要确定m的值，需结合二次三项式的定义分步分析：①二次三项式要求最高次项的次数为2，据此可列出关于m的绝对值方程，得到m的初步取值；②三项式要求多项式有3个非零项，因此一次项的系数不能为0，否则一次项消失，多项式就变成二次二项式，不符合题意。先根据最高次的要求求出m的可能值，再结合项数的要求排除不符合的取值，即可得到正确的m值。
【解析】
解：
∵多项式$x^{|m|}+(m-2)x-10$是二次三项式，
∴第一步，根据“二次”的要求，最高次项的次数为2，可得：
$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
第二步，根据“三项式”的要求，一次项不能为0，即一次项系数不为0，可得：
$m-2≠0$，解得$m≠2$；
综合两个条件，舍去$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 多项式的次数
2. 多项式的项
3. 绝对值的性质
【点评】
本题核心是对二次三项式定义的准确理解，解题时容易忽略“三项式”对应的一次项系数不为0的限制条件，误选A选项，需要注意两个判定条件要同时满足。
【难度系数】
0.6
10. $ax^2+bx+c$为一次单项式的条件是 【 】
A.$a≠0$，$b=0$，$c=0$
B.$a=0$，$b≠0$，$c=0$
C.$a=0$，$b=0$，$c≠0$
D.$a=0$，$b=0$，$c=0$
A.$a≠0$，$b=0$，$c=0$
B.$a=0$，$b≠0$，$c=0$
C.$a=0$，$b=0$，$c≠0$
D.$a=0$，$b=0$，$c=0$
答案
B
解析
【分析】
解题时需同时满足“一次”和“单项式”两个要求，可分步骤推导：①先满足“一次”的要求：整式的次数由最高次项的次数决定，原式若为一次式，需先消去二次项，即二次项系数a=0；此时式子变为bx+c，要保证仍为一次式，一次项必须存在，因此一次项系数b≠0。②再满足“单项式”的要求：单项式仅含一项，因此bx+c中的常数项必须为0，即c=0。综上即可得到三个系数的取值条件，对应选项判断即可。
【解析】
要使$ax^2+bx+c$为一次单项式，需同时符合两个要求：
1. 满足是一次式：
需消去二次项，因此二次项系数$a=0$，此时式子简化为$bx+c$；
要保证为一次式，一次项必须存在，因此$b≠0$。
2. 满足是单项式：
单项式只含有一项，因此常数项$c=0$，此时式子变为$bx$，符合一次单项式的定义。
综上，条件为$a=0$，$b≠0$，$c=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的概念
2. 多项式的次数判定
3. 整式的分类
【点评】
本题是基础概念考察题，易错点在于容易忽略“单项式仅含一项”的要求，忘记常数项需为0，或漏记二次项系数必须为0的条件，解题时需拆解题目要求逐一验证，准确掌握相关定义即可正确作答。
【难度系数】
0.8
解题时需同时满足“一次”和“单项式”两个要求，可分步骤推导：①先满足“一次”的要求：整式的次数由最高次项的次数决定，原式若为一次式，需先消去二次项，即二次项系数a=0；此时式子变为bx+c，要保证仍为一次式，一次项必须存在，因此一次项系数b≠0。②再满足“单项式”的要求：单项式仅含一项，因此bx+c中的常数项必须为0，即c=0。综上即可得到三个系数的取值条件，对应选项判断即可。
【解析】
要使$ax^2+bx+c$为一次单项式，需同时符合两个要求：
1. 满足是一次式：
需消去二次项，因此二次项系数$a=0$，此时式子简化为$bx+c$；
要保证为一次式，一次项必须存在，因此$b≠0$。
2. 满足是单项式：
单项式只含有一项，因此常数项$c=0$，此时式子变为$bx$，符合一次单项式的定义。
综上，条件为$a=0$，$b≠0$，$c=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的概念
2. 多项式的次数判定
3. 整式的分类
【点评】
本题是基础概念考察题，易错点在于容易忽略“单项式仅含一项”的要求，忘记常数项需为0，或漏记二次项系数必须为0的条件，解题时需拆解题目要求逐一验证，准确掌握相关定义即可正确作答。
【难度系数】
0.8
11. 关于x的多项式$(a-4)x^4 - x^b + x - b$为二次三项式，则$a=$
若$x=-3$，则该二次三项式的值为
4
，$b=$2
。若$x=-3$，则该二次三项式的值为
-14
。答案
11. 4 2 -14
解析
【分析】
要解决本题，首先明确二次三项式的定义：一是多项式中最高次项的次数为2，二是多项式共包含3个单项式。首先观察给定的多项式，存在四次项$(a-4)x^4$，若要最高次为2，必须让四次项消失，即四次项的系数为0，由此可求出a的值；此时剩余项的最高次由$-x^b$决定，因此b的值应为2，再验证此时多项式的项数是否符合三项式的要求，最后将$x=-3$代入化简后的多项式计算数值即可。
【解析】
∵ 多项式$(a-4)x^4 - x^b + x - b$是二次三项式
∴ 四次项不能存在，即四次项系数为0：
$a-4=0$，解得$a=4$
此时剩余部分的最高次项为$-x^b$，要满足最高次为2，可得：
$b=2$
将$a=4$、$b=2$代入原多项式，化简得二次三项式为$-x^2 + x - 2$，验证项数共3项，符合要求。
当$x=-3$时，代入多项式计算：
$\begin{aligned}& -(-3)^2 + (-3) - 2 \\=& -9 - 3 - 2 \\=& -14\end{aligned}$
【答案】
4；2；-14
【知识点】
多项式的项与次数；代数式求值
【点评】
本题核心考查多项式次数、项数概念的应用，解题关键是理解“要消去高于二次的项，需令该项的系数为0”，确定参数后要注意验证是否符合三项式的要求，代入求值时需注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.75
要解决本题，首先明确二次三项式的定义：一是多项式中最高次项的次数为2，二是多项式共包含3个单项式。首先观察给定的多项式，存在四次项$(a-4)x^4$，若要最高次为2，必须让四次项消失，即四次项的系数为0，由此可求出a的值；此时剩余项的最高次由$-x^b$决定，因此b的值应为2，再验证此时多项式的项数是否符合三项式的要求，最后将$x=-3$代入化简后的多项式计算数值即可。
【解析】
∵ 多项式$(a-4)x^4 - x^b + x - b$是二次三项式
∴ 四次项不能存在，即四次项系数为0：
$a-4=0$，解得$a=4$
此时剩余部分的最高次项为$-x^b$，要满足最高次为2，可得：
$b=2$
将$a=4$、$b=2$代入原多项式，化简得二次三项式为$-x^2 + x - 2$，验证项数共3项，符合要求。
当$x=-3$时，代入多项式计算：
$\begin{aligned}& -(-3)^2 + (-3) - 2 \\=& -9 - 3 - 2 \\=& -14\end{aligned}$
【答案】
4；2；-14
【知识点】
多项式的项与次数；代数式求值
【点评】
本题核心考查多项式次数、项数概念的应用，解题关键是理解“要消去高于二次的项，需令该项的系数为0”，确定参数后要注意验证是否符合三项式的要求，代入求值时需注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.75
12. 若多项式 $x^4 - (m - 1)x^3 + 2x^2 - 3x + 2m + 1$ 不含 $x^3$ 项，则该多项式的常数项为
3
。答案
12. 3
解析
【分析】
解决本题首先要明确“多项式不含$x^3$项”的含义：即$x^3$项的系数为0。首先找到$x^3$项的系数，列关于$m$的方程求出$m$的值，再代入常数项的表达式计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定$x^3$项的系数：多项式中$x^3$项为$-(m-1)x^3$，系数为$-(m-1)$。
2. 列方程求$m$：因为多项式不含$x^3$项，所以$x^3$项系数为0，即：
$-(m-1)=0$
解得$m=1$。
3. 计算常数项：多项式的常数项为$2m+1$，将$m=1$代入得：
$2×1+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
多项式的项与系数、解一元一次方程
【点评】
本题核心是掌握多项式不含某一项的等价条件为该项的系数为0，属于基础题型，熟练掌握多项式相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确“多项式不含$x^3$项”的含义：即$x^3$项的系数为0。首先找到$x^3$项的系数，列关于$m$的方程求出$m$的值，再代入常数项的表达式计算即可得到结果。
【解析】
1. 确定$x^3$项的系数：多项式中$x^3$项为$-(m-1)x^3$，系数为$-(m-1)$。
2. 列方程求$m$：因为多项式不含$x^3$项，所以$x^3$项系数为0，即：
$-(m-1)=0$
解得$m=1$。
3. 计算常数项：多项式的常数项为$2m+1$，将$m=1$代入得：
$2×1+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
多项式的项与系数、解一元一次方程
【点评】
本题核心是掌握多项式不含某一项的等价条件为该项的系数为0，属于基础题型，熟练掌握多项式相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13. 如果$(m - 1)x^4 - x^n + x - 1$是二次三项式，求$m^2 - 2n$的值。
答案
$-3$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次三项式的定义：二次指多项式的最高次项的次数是2，三项指多项式由3个单项式组成。观察原式，存在四次项$(m-1)x^4$，如果该项系数不为0，多项式最高次数就是4，不符合“二次”的要求，因此首先要让四次项系数为0求出m的值；接下来剩下的项中最高次项只能是$-x^n$，因此该项的次数n必须等于2，才能满足最高次为2的要求，最后将m、n的值代入$m^2-2n$计算即可。
【解析】
∵ $(m - 1)x^4 - x^n + x - 1$是二次三项式
∴ 首先要消去四次项，即四次项系数为0：
$m - 1 = 0$，解得 $m = 1$
同时多项式最高次数为2，因此最高次项$-x^n$的次数为2：
$n = 2$
将$m=1$，$n=2$代入$m^2-2n$得：
$m^2 - 2n = 1^2 - 2×2 = 1 - 4 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式的次数、多项式的项数、代数式求值
【点评】
本题核心是考查多项式相关概念的应用，解题的关键是紧扣二次三项式的两个限定条件：最高次数为2、总项数为3，需要注意高次项（次数高于2的项）的系数必须为0，否则会不符合次数要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二次三项式的定义：二次指多项式的最高次项的次数是2，三项指多项式由3个单项式组成。观察原式，存在四次项$(m-1)x^4$，如果该项系数不为0，多项式最高次数就是4，不符合“二次”的要求，因此首先要让四次项系数为0求出m的值；接下来剩下的项中最高次项只能是$-x^n$，因此该项的次数n必须等于2，才能满足最高次为2的要求，最后将m、n的值代入$m^2-2n$计算即可。
【解析】
∵ $(m - 1)x^4 - x^n + x - 1$是二次三项式
∴ 首先要消去四次项，即四次项系数为0：
$m - 1 = 0$，解得 $m = 1$
同时多项式最高次数为2，因此最高次项$-x^n$的次数为2：
$n = 2$
将$m=1$，$n=2$代入$m^2-2n$得：
$m^2 - 2n = 1^2 - 2×2 = 1 - 4 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式的次数、多项式的项数、代数式求值
【点评】
本题核心是考查多项式相关概念的应用，解题的关键是紧扣二次三项式的两个限定条件：最高次数为2、总项数为3，需要注意高次项（次数高于2的项）的系数必须为0，否则会不符合次数要求。
【难度系数】
0.7
14. 已知多项式$(m-3)x^{|m|-2}y^3 + x^2y - 2xy^2$是关于$x$、$y$的四次三项式.
(1) 求$m$的值；
(2) 当$x=\frac{3}{2}$，$y=-1$时，求此多项式的值.
(1) 求$m$的值；
(2) 当$x=\frac{3}{2}$，$y=-1$时，求此多项式的值.
答案
（1）因为多项式$(m-3)x^{|m|-2}y^3 + x^2y - 2xy^2$是关于$x、y$的四次三项式，所以$|m|-2+3=4, m-3≠0$. 解得$m=-3$ （2）当$x=\frac{3}{2}, y=-1$时，此多项式的值为$-6×\frac{3}{2}×(-1)^3 + (\frac{3}{2})^2×(-1) - 2×\frac{3}{2}×(-1)^2 = 9 - \frac{9}{4} - 3 = \frac{15}{4}$
解析
【分析】
（1）求解m的值需结合四次三项式的定义思考：首先，四次指多项式的最高次项的次数为4，三项式指多项式包含3个单项式。因此最高次项$(m-3)x^{|m|-2}y^3$的次数为$|m|-2+3$，需等于4；同时要保证该项系数不为0，否则多项式会变成二项式，不符合三项式的要求，联立两个条件即可求出m的值。
（2）求出m后代入原多项式化简，再将x、y的数值代入化简后的多项式，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算即可得到多项式的值。
【解析】
（1）
∵ 多项式$(m-3)x^{|m|-2}y^3 + x^2y - 2xy^2$是关于x、y的四次三项式
∴ 最高次项的次数为4，且最高次项系数不为0，即：
$\begin{cases} |m|-2 + 3 = 4 \\ m - 3 ≠ 0 \end{cases}$
解第一个方程：$|m| +1 =4$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$
结合第二个条件$m≠3$，得$m=-3$
（2）将$m=-3$代入原多项式，得：
$(-3-3)x^{|-3|-2}y^3 + x^2y -2xy^2 = -6xy^3 +x^2y -2xy^2$
将$x=\frac{3}{2}$，$y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-6×\frac{3}{2}×(-1)^3 + (\frac{3}{2})^2×(-1) - 2×\frac{3}{2}×(-1)^2 \\&=9 - \frac{9}{4} -3 \\&=\frac{15}{4}\end{aligned}$
【答案】
（1）$m=-3$；（2）$\frac{15}{4}$
【知识点】
多项式的项与次数，代数式求值，绝对值运算
【点评】
本题重点考查多项式基本概念的应用，解题时要注意对“四次三项式”的理解要全面，既要满足最高次项次数要求，也不能忽略最高次项系数不为0的隐含条件，代入求值时要注意符号的处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
（1）求解m的值需结合四次三项式的定义思考：首先，四次指多项式的最高次项的次数为4，三项式指多项式包含3个单项式。因此最高次项$(m-3)x^{|m|-2}y^3$的次数为$|m|-2+3$，需等于4；同时要保证该项系数不为0，否则多项式会变成二项式，不符合三项式的要求，联立两个条件即可求出m的值。
（2）求出m后代入原多项式化简，再将x、y的数值代入化简后的多项式，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算即可得到多项式的值。
【解析】
（1）
∵ 多项式$(m-3)x^{|m|-2}y^3 + x^2y - 2xy^2$是关于x、y的四次三项式
∴ 最高次项的次数为4，且最高次项系数不为0，即：
$\begin{cases} |m|-2 + 3 = 4 \\ m - 3 ≠ 0 \end{cases}$
解第一个方程：$|m| +1 =4$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$
结合第二个条件$m≠3$，得$m=-3$
（2）将$m=-3$代入原多项式，得：
$(-3-3)x^{|-3|-2}y^3 + x^2y -2xy^2 = -6xy^3 +x^2y -2xy^2$
将$x=\frac{3}{2}$，$y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-6×\frac{3}{2}×(-1)^3 + (\frac{3}{2})^2×(-1) - 2×\frac{3}{2}×(-1)^2 \\&=9 - \frac{9}{4} -3 \\&=\frac{15}{4}\end{aligned}$
【答案】
（1）$m=-3$；（2）$\frac{15}{4}$
【知识点】
多项式的项与次数，代数式求值，绝对值运算
【点评】
本题重点考查多项式基本概念的应用，解题时要注意对“四次三项式”的理解要全面，既要满足最高次项次数要求，也不能忽略最高次项系数不为0的隐含条件，代入求值时要注意符号的处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
1. 把多项式$2a^2 + b^2 - 4ab^2 - 2a^3$按$a$的升幂排列正确的是 【 】
A.$-2a^3 + 2a^2 - 4ab^2 + b^2$
B.$b^2 - 4ab^2 + 2a^2 - 2a^3$
C.$b^2 - 4ab^2 + 2a^2 - 2a^3$
D.$b^2 - 4ab^2 - 2a^3 + 2a^2$
8
A.$-2a^3 + 2a^2 - 4ab^2 + b^2$
B.$b^2 - 4ab^2 + 2a^2 - 2a^3$
C.$b^2 - 4ab^2 + 2a^2 - 2a^3$
D.$b^2 - 4ab^2 - 2a^3 + 2a^2$
8
答案
C
解析
【分析】
要解决按a的升幂排列的问题，首先要明确两个核心规则：一是升幂排列是按指定字母的指数从小到大排列各项；二是移动多项式的项时，必须连同项前面的符号一起移动，不能丢失符号。解题时先找出多项式的所有项，再分别确定每个项中字母a的指数（不含a的项a的指数为0），最后按a的指数从小到大排序，对比选项就能得到答案。
【解析】
首先确定多项式$2a^2 + b^2 - 4ab^2 - 2a^3$的各项分别为：$2a^2$、$b^2$、$-4ab^2$、$-2a^3$。
接下来分别统计每个项中$a$的次数：
1. $b^2$不含字母$a$，$a$的次数为0；
2. $-4ab^2$中$a$的次数为1；
3. $2a^2$中$a$的次数为2；
4. $-2a^3$中$a$的次数为3。
按$a$的升幂排列即按$a$的次数从小到大排列，且每项要连同前面的符号一起移动，最终排列结果为：$b^2 - 4ab^2 + 2a^2 - 2a^3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
升幂排列；单项式的次数；多项式的项
【点评】
本题考查多项式按指定字母升幂排列的应用，解题关键是牢记排列规则，易错点是移动项时遗漏项前面的符号，或者混淆升幂、降幂的排列顺序，同时要注意不含指定字母的项对应指定字母的次数为0，排在升幂排列的最前面。
【难度系数】
0.8
要解决按a的升幂排列的问题，首先要明确两个核心规则：一是升幂排列是按指定字母的指数从小到大排列各项；二是移动多项式的项时，必须连同项前面的符号一起移动，不能丢失符号。解题时先找出多项式的所有项，再分别确定每个项中字母a的指数（不含a的项a的指数为0），最后按a的指数从小到大排序，对比选项就能得到答案。
【解析】
首先确定多项式$2a^2 + b^2 - 4ab^2 - 2a^3$的各项分别为：$2a^2$、$b^2$、$-4ab^2$、$-2a^3$。
接下来分别统计每个项中$a$的次数：
1. $b^2$不含字母$a$，$a$的次数为0；
2. $-4ab^2$中$a$的次数为1；
3. $2a^2$中$a$的次数为2；
4. $-2a^3$中$a$的次数为3。
按$a$的升幂排列即按$a$的次数从小到大排列，且每项要连同前面的符号一起移动，最终排列结果为：$b^2 - 4ab^2 + 2a^2 - 2a^3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
升幂排列；单项式的次数；多项式的项
【点评】
本题考查多项式按指定字母升幂排列的应用，解题关键是牢记排列规则，易错点是移动项时遗漏项前面的符号，或者混淆升幂、降幂的排列顺序，同时要注意不含指定字母的项对应指定字母的次数为0，排在升幂排列的最前面。
【难度系数】
0.8
