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如图，在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，现在要在公路l上建一个汽车站P，使汽车站到A，B两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.
答案
解：点P即为所求.
解析
【分析】
我们的目标是在直线l上找到点P，使P到A、B的距离之和最小。首先回忆线段的基本性质：两点之间，线段最短。由于A、B分别在直线l的两侧，我们只需要连接A、B两点，线段AB和直线l的交点就是所求的P点。若在l上取任意其他点P'，根据两点之间线段最短，P'A+P'B＞AB，而PA+PB=AB，因此此时PA+PB的和是最小的。
【解析】
步骤1：用直尺连接点A和点B，得到线段AB；
步骤2：线段AB与直线l的交点即为所求的汽车站P。
原理：根据两点之间线段最短，此时PA+PB=AB，是A、B到直线l上点的距离之和的最小值。
【答案】
点P即为所求.
【知识点】
两点之间线段最短；线段作图
【点评】
本题是最短路径选址的基础题型，解题核心是灵活运用两点之间线段最短的性质，结合简单作图即可完成求解，是后续复杂最短路径问题的重要基础。
【难度系数】
0.85
我们的目标是在直线l上找到点P，使P到A、B的距离之和最小。首先回忆线段的基本性质：两点之间，线段最短。由于A、B分别在直线l的两侧，我们只需要连接A、B两点，线段AB和直线l的交点就是所求的P点。若在l上取任意其他点P'，根据两点之间线段最短，P'A+P'B＞AB，而PA+PB=AB，因此此时PA+PB的和是最小的。
【解析】
步骤1：用直尺连接点A和点B，得到线段AB；
步骤2：线段AB与直线l的交点即为所求的汽车站P。
原理：根据两点之间线段最短，此时PA+PB=AB，是A、B到直线l上点的距离之和的最小值。
【答案】
点P即为所求.
【知识点】
两点之间线段最短；线段作图
【点评】
本题是最短路径选址的基础题型，解题核心是灵活运用两点之间线段最短的性质，结合简单作图即可完成求解，是后续复杂最短路径问题的重要基础。
【难度系数】
0.85
探究1: 如图，点M在线段AB上，线段AM和AB的长度关系是怎样的？线段AB与线段AM的差等于哪条线段的长？你还能从图中观察出其他线段之间的和、差关系吗？
答案
解：AM＜AB；AB－AM＝MB，故线段AB与线段AM的差等于线段BM的长；AM＋MB＝AB.
解析
【分析】
首先观察图形，明确点M的位置是在线段AB上，即线段AB被点M分为AM、MB两段。思考时先依据“整体大于部分”的几何规律判断AM和AB的大小关系；再根据线段的组成，推导AB与AM的差对应的线段；最后从和、差两个角度梳理其余线段关系即可。
【解析】
1. 判断AM和AB的长度关系：
因为点M在线段AB上，AM是AB的一部分，部分线段的长度小于整体线段的长度，因此$AM ＜ AB$。
2. 推导AB与AM的差对应的线段：
线段AB由AM和MB两段首尾顺次连接组成，因此$AB = AM + MB$，根据等式的性质变形可得$AB - AM = MB$，即线段AB与线段AM的差等于线段BM的长。
3. 梳理其他线段和差关系：
结合线段的组成，还可得到两段部分线段相加等于整体线段，即$AM + MB = AB$，也可推出另一组差的关系$AB - MB = AM$。
【答案】
AM＜AB；线段AB与线段AM的差等于线段BM的长；AM＋MB＝AB
【知识点】
线段的大小比较、线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的基础题，侧重考查对线段整体与部分关系的理解，结合直观图形就能快速梳理各线段的大小、和差关系，是后续解决复杂线段计算问题的基础。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，明确点M的位置是在线段AB上，即线段AB被点M分为AM、MB两段。思考时先依据“整体大于部分”的几何规律判断AM和AB的大小关系；再根据线段的组成，推导AB与AM的差对应的线段；最后从和、差两个角度梳理其余线段关系即可。
【解析】
1. 判断AM和AB的长度关系：
因为点M在线段AB上，AM是AB的一部分，部分线段的长度小于整体线段的长度，因此$AM ＜ AB$。
2. 推导AB与AM的差对应的线段：
线段AB由AM和MB两段首尾顺次连接组成，因此$AB = AM + MB$，根据等式的性质变形可得$AB - AM = MB$，即线段AB与线段AM的差等于线段BM的长。
3. 梳理其他线段和差关系：
结合线段的组成，还可得到两段部分线段相加等于整体线段，即$AM + MB = AB$，也可推出另一组差的关系$AB - MB = AM$。
【答案】
AM＜AB；线段AB与线段AM的差等于线段BM的长；AM＋MB＝AB
【知识点】
线段的大小比较、线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的基础题，侧重考查对线段整体与部分关系的理解，结合直观图形就能快速梳理各线段的大小、和差关系，是后续解决复杂线段计算问题的基础。
【难度系数】
0.9
探究2：观察下列线段和线段上的点，量一量，你能发现线段之间的倍分关系吗？
答案
解：(1) $AM=BM=\frac{1}{2}AB$；
(2) $AM=MN=NB=\frac{1}{3}AB$；
(3) $AM=MN=NP=PB=\frac{1}{4}AB$.
(2) $AM=MN=NB=\frac{1}{3}AB$；
(3) $AM=MN=NP=PB=\frac{1}{4}AB$.
解析
【分析】
解题时先观察每个图形中线段AB上除端点外的内部分点数量，判断AB被平均分成的等份数量，再通过测量验证各小段长度相等，即可推导得出各小段与总线段AB之间的倍分关系，以及各小段之间的等量关系。
【解析】
(1) 观察图(1)，线段AB上有1个内部分点M，经测量可知AM与BM长度相等，AB总长度相当于2份AM的长度，因此$AM=BM=\frac{1}{2}AB$；
(2) 观察图(2)，线段AB上有2个内部分点M、N，经测量可知AM、MN、NB长度均相等，AB总长度相当于3份AM的长度，因此$AM=MN=NB=\frac{1}{3}AB$；
(3) 观察图(3)，线段AB上有3个内部分点M、N、P，经测量可知AM、MN、NP、PB长度均相等，AB总长度相当于4份AM的长度，因此$AM=MN=NP=PB=\frac{1}{4}AB$。
【答案】
(1) $AM=BM=\frac{1}{2}AB$；
(2) $AM=MN=NB=\frac{1}{3}AB$；
(3) $AM=MN=NP=PB=\frac{1}{4}AB$.
【知识点】
线段的等分点；线段的倍分关系
【点评】
本题结合直观图形与动手测量，引导学生认识线段等分的特点，理解等分后各小段与总线段的数量关系，是线段运算的基础内容，通过观察操作即可轻松掌握。
【难度系数】
0.9
解题时先观察每个图形中线段AB上除端点外的内部分点数量，判断AB被平均分成的等份数量，再通过测量验证各小段长度相等，即可推导得出各小段与总线段AB之间的倍分关系，以及各小段之间的等量关系。
【解析】
(1) 观察图(1)，线段AB上有1个内部分点M，经测量可知AM与BM长度相等，AB总长度相当于2份AM的长度，因此$AM=BM=\frac{1}{2}AB$；
(2) 观察图(2)，线段AB上有2个内部分点M、N，经测量可知AM、MN、NB长度均相等，AB总长度相当于3份AM的长度，因此$AM=MN=NB=\frac{1}{3}AB$；
(3) 观察图(3)，线段AB上有3个内部分点M、N、P，经测量可知AM、MN、NP、PB长度均相等，AB总长度相当于4份AM的长度，因此$AM=MN=NP=PB=\frac{1}{4}AB$。
【答案】
(1) $AM=BM=\frac{1}{2}AB$；
(2) $AM=MN=NB=\frac{1}{3}AB$；
(3) $AM=MN=NP=PB=\frac{1}{4}AB$.
【知识点】
线段的等分点；线段的倍分关系
【点评】
本题结合直观图形与动手测量，引导学生认识线段等分的特点，理解等分后各小段与总线段的数量关系，是线段运算的基础内容，通过观察操作即可轻松掌握。
【难度系数】
0.9
如图，C为线段AB上一点，AB＝30 cm，AC＝$\frac{2}{5}$AB，点M，N分别为线段AB，BC的中点，求线段MN的长。
答案
MN=6 cm
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，第一步先根据AB的长度和AC与AB的数量关系求出AC、BC的长度；第二步利用线段中点的定义，分别求出线段MB、NB的长度；第三步根据线段的差的关系，用MB减去NB即可得到MN的长度。
【解析】
解：已知AB=30 cm，$AC=\frac{2}{5}AB$，
∴ $AC=\frac{2}{5}×30=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=AB-AC=30-12=18\ \mathrm{cm}$。
∵ 点M是AB的中点，
∴ $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×30=15\ \mathrm{cm}$。
∵ 点N是BC的中点，
∴ $NB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
∴ $MN=MB-NB=15-9=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
MN=6 cm
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段长度计算的基础题型，解题关键是熟练运用线段中点的性质，结合线段的和差关系逐步推导即可得出结果，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，第一步先根据AB的长度和AC与AB的数量关系求出AC、BC的长度；第二步利用线段中点的定义，分别求出线段MB、NB的长度；第三步根据线段的差的关系，用MB减去NB即可得到MN的长度。
【解析】
解：已知AB=30 cm，$AC=\frac{2}{5}AB$，
∴ $AC=\frac{2}{5}×30=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $BC=AB-AC=30-12=18\ \mathrm{cm}$。
∵ 点M是AB的中点，
∴ $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×30=15\ \mathrm{cm}$。
∵ 点N是BC的中点，
∴ $NB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
∴ $MN=MB-NB=15-9=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
MN=6 cm
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段长度计算的基础题型，解题关键是熟练运用线段中点的性质，结合线段的和差关系逐步推导即可得出结果，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
