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18. (12 分)一个不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种除颜色外其余都相同的球,其中白球有 2 个,黄球有 1 个. 已知从中任意摸出一个球是白球的概率为$\dfrac{1}{2}$.
(1) 试求袋中蓝球的个数.
(2) 若任意摸出两个球,请用画树状图或列表的方法表示摸到球的所有可能结果,并求摸到的球都是白球的概率.
(1) 试求袋中蓝球的个数.
(2) 若任意摸出两个球,请用画树状图或列表的方法表示摸到球的所有可能结果,并求摸到的球都是白球的概率.
答案
18.（1）设袋中蓝球的个数为 $x$. 由题意,得$\dfrac{2}{2+1+x}=\dfrac{1}{2}$,解得 $x=1$. 经检验,$x=1$ 是所列方程的解,且符合题意.
∴ 袋中蓝球的个数为 1. （2）画树状图如图所示. 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中摸到的球都是白球的有 2 种等可能结果,
∴ 摸到的球都是白球的概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
∴ 袋中蓝球的个数为 1. （2）画树状图如图所示. 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中摸到的球都是白球的有 2 种等可能结果,
∴ 摸到的球都是白球的概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
这道题分两小问求解：第一问我们可以利用概率的定义，也就是某事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以总情况数，设蓝球个数为未知数，结合已知的摸出白球的概率列分式方程，求解后检验即可得到蓝球数量。第二问是不放回摸两个球的概率计算，我们可以先给不同球编号，通过树状图或者列表把所有等可能的摸球结果全部枚举出来，统计出总结果数和“摸到两个都是白球”的结果数，再代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 设袋中蓝球的个数为$x$，已知白球有2个，黄球有1个，因此袋中总球数为$2+1+x$。
根据“任意摸出一个球是白球的概率为$\dfrac{1}{2}$”，由概率公式列方程：
$\dfrac{2}{2+1+x}=\dfrac{1}{2}$
交叉相乘得$4=3+x$，解得$x=1$。
经检验，$x=1$是原分式方程的解，且符合球的个数为正整数的实际意义。
因此袋中蓝球的个数为1。
(2) 由(1)可知袋中共有4个球，分别记为白$_1$、白$_2$、黄、蓝，画树状图枚举所有摸出两个球的等可能结果：
第一次摸球共有4种可能：白$_1$、白$_2$、黄、蓝；
第二次为不放回摸球，第一次摸走1个球后剩余3个球，对应每一种第一次的结果，第二次都有3种可选结果：
第一次摸白$_1$，第二次可摸白$_2$、黄、蓝；
第一次摸白$_2$，第二次可摸白$_1$、黄、蓝；
第一次摸黄，第二次可摸白$_1$、白$_2$、蓝；
第一次摸蓝，第二次可摸白$_1$、白$_2$、黄。
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中摸到的两个球都是白球的结果共2种：(白$_1$,白$_2$)、(白$_2$,白$_1$)。
因此摸到的球都是白球的概率为$P=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1) 袋中蓝球的个数为1；(2) 摸到的球都是白球的概率为$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
概率基本公式，树状图法求概率，分式方程应用
【点评】
本题是初中概率模块的常规基础题，第一问结合分式方程求解未知球数，第二问考察不放回抽样的概率计算，易错点是枚举摸球结果时容易忽略不放回的属性，错算总结果数，提醒学生用树状图/列表法枚举时要做到不重不漏，准确统计符合要求的结果数。
【难度系数】
0.7
这道题分两小问求解：第一问我们可以利用概率的定义，也就是某事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以总情况数，设蓝球个数为未知数，结合已知的摸出白球的概率列分式方程，求解后检验即可得到蓝球数量。第二问是不放回摸两个球的概率计算，我们可以先给不同球编号，通过树状图或者列表把所有等可能的摸球结果全部枚举出来，统计出总结果数和“摸到两个都是白球”的结果数，再代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 设袋中蓝球的个数为$x$，已知白球有2个，黄球有1个，因此袋中总球数为$2+1+x$。
根据“任意摸出一个球是白球的概率为$\dfrac{1}{2}$”，由概率公式列方程：
$\dfrac{2}{2+1+x}=\dfrac{1}{2}$
交叉相乘得$4=3+x$，解得$x=1$。
经检验，$x=1$是原分式方程的解，且符合球的个数为正整数的实际意义。
因此袋中蓝球的个数为1。
(2) 由(1)可知袋中共有4个球，分别记为白$_1$、白$_2$、黄、蓝，画树状图枚举所有摸出两个球的等可能结果：
第一次摸球共有4种可能：白$_1$、白$_2$、黄、蓝；
第二次为不放回摸球，第一次摸走1个球后剩余3个球，对应每一种第一次的结果，第二次都有3种可选结果：
第一次摸白$_1$，第二次可摸白$_2$、黄、蓝；
第一次摸白$_2$，第二次可摸白$_1$、黄、蓝；
第一次摸黄，第二次可摸白$_1$、白$_2$、蓝；
第一次摸蓝，第二次可摸白$_1$、白$_2$、黄。
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中摸到的两个球都是白球的结果共2种：(白$_1$,白$_2$)、(白$_2$,白$_1$)。
因此摸到的球都是白球的概率为$P=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1) 袋中蓝球的个数为1；(2) 摸到的球都是白球的概率为$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
概率基本公式，树状图法求概率，分式方程应用
【点评】
本题是初中概率模块的常规基础题，第一问结合分式方程求解未知球数，第二问考察不放回抽样的概率计算，易错点是枚举摸球结果时容易忽略不放回的属性，错算总结果数，提醒学生用树状图/列表法枚举时要做到不重不漏，准确统计符合要求的结果数。
【难度系数】
0.7
19. (14 分)某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事,传承红色基因”为主题的研学活动,策划了四条研学路线(A:彭雪枫纪念馆;B:淮海军政大礼堂;C:爱园烈士陵园;D:大王庄党性教育基地)供学生选择,每名学生只能任意选择一条路线.
(1) 小刚选择路线 A 的概率为
(2) 请用画树状图或列表的方法,求小刚和小红选择同一路线的概率.
(1) 小刚选择路线 A 的概率为
$\dfrac{1}{4}$
.(2) 请用画树状图或列表的方法,求小刚和小红选择同一路线的概率.
答案
19. (1) $\dfrac{1}{4}$. （2）列表如下：
| | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由上表可知,共有 16 种等可能的结果,其中小刚和小红选择同一路线的有 4 种等可能结果,
∴ 小刚和小红选择同一路线的概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.
| | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由上表可知,共有 16 种等可能的结果,其中小刚和小红选择同一路线的有 4 种等可能结果,
∴ 小刚和小红选择同一路线的概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】
先看第一小问：已知共有4条完全不同的研学路线，每名学生任选一条，选每条路线的可能性完全相等，属于等可能事件，直接用“目标事件的情况数÷总所有等可能情况数”就能算出小刚选A的概率。
再看第二小问：要计算小刚和小红两人选择同一路线的概率，属于两步独立选择的概率问题，我们可以用列表法把两人所有的路线选择组合全部枚举出来，保证不重不漏，先统计出所有等可能的总结果数，再从中数出两人选择同一路线的符合条件的结果数，最后代入概率公式就能算出结果。
【解析】
(1) 总共有A、B、C、D共4条路线，小刚任选一条，选择每条路线的可能性相等，其中选择路线A的情况只有1种，因此小刚选择路线A的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 用列表法枚举两人的所有选择组合如下：
| | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
从表格可以看出，总共有16种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一路线的结果为(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)，共4种，因此小刚和小红选择同一路线的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率，列表法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常规题型，结合红色研学的实际情境出题，第一问直接考察单事件的等可能概率计算，第二问考察两步独立事件的概率求解，核心是让学生掌握用列表/树状图枚举所有等可能结果的方法，避免出现漏数、重复计数的问题，整体难度低，是初中概率部分必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
先看第一小问：已知共有4条完全不同的研学路线，每名学生任选一条，选每条路线的可能性完全相等，属于等可能事件，直接用“目标事件的情况数÷总所有等可能情况数”就能算出小刚选A的概率。
再看第二小问：要计算小刚和小红两人选择同一路线的概率，属于两步独立选择的概率问题，我们可以用列表法把两人所有的路线选择组合全部枚举出来，保证不重不漏，先统计出所有等可能的总结果数，再从中数出两人选择同一路线的符合条件的结果数，最后代入概率公式就能算出结果。
【解析】
(1) 总共有A、B、C、D共4条路线，小刚任选一条，选择每条路线的可能性相等，其中选择路线A的情况只有1种，因此小刚选择路线A的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 用列表法枚举两人的所有选择组合如下：
| | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
从表格可以看出，总共有16种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一路线的结果为(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)，共4种，因此小刚和小红选择同一路线的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率，列表法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础常规题型，结合红色研学的实际情境出题，第一问直接考察单事件的等可能概率计算，第二问考察两步独立事件的概率求解，核心是让学生掌握用列表/树状图枚举所有等可能结果的方法，避免出现漏数、重复计数的问题，整体难度低，是初中概率部分必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
20. (16 分)一个不透明的口袋中装有 4 个分别标有数字 1,2,3,4 的球,它们除颜色外其余都相同.
小红先从口袋中随机摸出 1 个球,将球上的数字记作 $x$,小颖在剩下的 3 个球中随机摸出 1 个球,将球上的数字记作 $y$,这样确定了点 $P$ 的坐标 $(x,y)$.
(1) 求小红摸出的球上标的数字为方程 $x^2-5x+6=0$ 的根的概率.
(2) 请用画树状图或列表的方法,求点 $P(x,y)$ 在函数 $y=-x+5$ 的图象上的概率.
小红先从口袋中随机摸出 1 个球,将球上的数字记作 $x$,小颖在剩下的 3 个球中随机摸出 1 个球,将球上的数字记作 $y$,这样确定了点 $P$ 的坐标 $(x,y)$.
(1) 求小红摸出的球上标的数字为方程 $x^2-5x+6=0$ 的根的概率.
(2) 请用画树状图或列表的方法,求点 $P(x,y)$ 在函数 $y=-x+5$ 的图象上的概率.
答案
20.（1）小红从口袋中任意摸出 1 个球,共有 4 种等可能的结果. 解方程 $x^2-5x+6=0$,得 $x_1=2$,$x_2=3$.
∴ 事件“小红摸出的球上标的数字为方程 $x^2-5x+6=0$ 的根”包含 2 种等可能结果.
∴ 小红摸出的球上标的数字为方程 $x^2-5x+6=0$ 的根的概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$. （2）列表如下：
| $x\backslash y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
由上表可知,共有 12 种等可能的结果,其中事件“点 $P(x,y)$ 在函数 $y=-x+5$ 的图象上”包含 4 种等可能结果,
∴ 点 $P(x,y)$ 在函数 $y=-x+5$ 的图象上的概率为$\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
∴ 事件“小红摸出的球上标的数字为方程 $x^2-5x+6=0$ 的根”包含 2 种等可能结果.
∴ 小红摸出的球上标的数字为方程 $x^2-5x+6=0$ 的根的概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$. （2）列表如下：
| $x\backslash y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | |
由上表可知,共有 12 种等可能的结果,其中事件“点 $P(x,y)$ 在函数 $y=-x+5$ 的图象上”包含 4 种等可能结果,
∴ 点 $P(x,y)$ 在函数 $y=-x+5$ 的图象上的概率为$\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问：首先明确小红摸球的所有等可能结果总数，再求解给定的一元二次方程，找出方程的根中属于口袋内球标注数字的数量，最后根据古典概型的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
2. 第二问：本题是不放回摸球，x和y不可能相等，我们可以通过列表法把所有点P(x,y)的等可能结果全部枚举出来，统计总结果数，再筛选出满足一次函数y=-x+5的点的数量，再次代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 小红从装有4个球的口袋中随机摸出1个球，总共有4种等可能的结果。
解方程$x^2-5x+6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
口袋中标注的数字里，是该方程根的数字为2和3，共2种符合条件的结果。
因此所求概率为$P_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 采用列表法枚举所有点P(x,y)的可能结果：
| $x\backslash y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 无（不放回，x≠y） | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | 无（不放回，x≠y） | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | 无（不放回，x≠y） | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | 无（不放回，x≠y） |
由上表可知，所有等可能的结果共12种，其中满足$y=-x+5$即$x+y=5$的点为(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种符合条件的结果。
因此所求概率为$P_2=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，一元二次方程求解
【点评】
本题是概率模块的基础综合题，结合了一元二次方程求解、一次函数点的判定两个知识点，重点考察不放回抽样的概率计算，解题时要注意区分不放回摸球和放回摸球的差异，避免错误将总结果数算为16种，是中考概率解答题的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问：首先明确小红摸球的所有等可能结果总数，再求解给定的一元二次方程，找出方程的根中属于口袋内球标注数字的数量，最后根据古典概型的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
2. 第二问：本题是不放回摸球，x和y不可能相等，我们可以通过列表法把所有点P(x,y)的等可能结果全部枚举出来，统计总结果数，再筛选出满足一次函数y=-x+5的点的数量，再次代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 小红从装有4个球的口袋中随机摸出1个球，总共有4种等可能的结果。
解方程$x^2-5x+6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
口袋中标注的数字里，是该方程根的数字为2和3，共2种符合条件的结果。
因此所求概率为$P_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 采用列表法枚举所有点P(x,y)的可能结果：
| $x\backslash y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 无（不放回，x≠y） | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | 无（不放回，x≠y） | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | 无（不放回，x≠y） | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | 无（不放回，x≠y） |
由上表可知，所有等可能的结果共12种，其中满足$y=-x+5$即$x+y=5$的点为(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种符合条件的结果。
因此所求概率为$P_2=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，一元二次方程求解
【点评】
本题是概率模块的基础综合题，结合了一元二次方程求解、一次函数点的判定两个知识点，重点考察不放回抽样的概率计算，解题时要注意区分不放回摸球和放回摸球的差异，避免错误将总结果数算为16种，是中考概率解答题的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
