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1. [2025 盐城中考] 如图①所示为某博物馆屋顶的图片，屋顶铺设图②所示的瓦片，瓦片的横截面如图③所示，$\overset{\frown}{AB}$是以点$O$为圆心，18 cm 为半径的弧，弦$AB$的长为 18 cm，则$\overset{\frown}{AB}$的长是 （
A.$24π\ \mathrm{cm}$
B.$12π\ \mathrm{cm}$
C.$10π\ \mathrm{cm}$
D.$6π\ \mathrm{cm}$
D
）A.$24π\ \mathrm{cm}$
B.$12π\ \mathrm{cm}$
C.$10π\ \mathrm{cm}$
D.$6π\ \mathrm{cm}$
答案
1. D $\because OA=OB=18\ \mathrm{cm}$,且$AB=18\ \mathrm{cm}$,$\therefore △ OAB$ 是等边三角形.$\therefore ∠ AOB=60°$.$\therefore \overset{\frown}{AB}$ 的长为$\dfrac{60π×18}{180}=6π(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
我们的目标是求弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$，该公式需要两个已知量：弧对应的圆心角度数$n$、弧所在圆的半径$r$。题目已经直接给出半径$r=18\mathrm{cm}$，因此解题核心是求出圆心角$∠ AOB$的度数。观察已知条件：OA、OB都是该圆的半径，长度均为18cm，同时弦AB的长度也为18cm，三条边长度完全相等，可判定$△ OAB$为等边三角形，由此得到圆心角$∠ AOB=60°$，最后将n和r代入弧长公式即可算出结果。
【解析】
解：由题意可知，OA、OB是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径，
$\therefore OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，
又已知弦$AB=18\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OA=OB=AB$，
根据等边三角形的判定可得$△ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$，
将$n=60$，$r=18$代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{60π × 18}{180}=6π\ \mathrm{cm}$，
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形判定，弧长计算
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，解题的核心是利用三边相等的条件先得到圆心角的度数，再代入弧长公式完成计算，整体思路清晰，只要掌握基础的几何判定和弧长公式就可以顺利求解。
【难度系数】
0.9
我们的目标是求弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$，该公式需要两个已知量：弧对应的圆心角度数$n$、弧所在圆的半径$r$。题目已经直接给出半径$r=18\mathrm{cm}$，因此解题核心是求出圆心角$∠ AOB$的度数。观察已知条件：OA、OB都是该圆的半径，长度均为18cm，同时弦AB的长度也为18cm，三条边长度完全相等，可判定$△ OAB$为等边三角形，由此得到圆心角$∠ AOB=60°$，最后将n和r代入弧长公式即可算出结果。
【解析】
解：由题意可知，OA、OB是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径，
$\therefore OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，
又已知弦$AB=18\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OA=OB=AB$，
根据等边三角形的判定可得$△ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$，
将$n=60$，$r=18$代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{60π × 18}{180}=6π\ \mathrm{cm}$，
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形判定，弧长计算
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，解题的核心是利用三边相等的条件先得到圆心角的度数，再代入弧长公式完成计算，整体思路清晰，只要掌握基础的几何判定和弧长公式就可以顺利求解。
【难度系数】
0.9
2. [2025 湖南中考]如图,北京市某处 A 位于北纬 $40°$(即$∠ AOC=40°$),东经 $116°$,三沙市海域某处B 位于北纬 $15°$(即$∠ BOC=15°$),东经 $116°$. 设地球的半径约为 R 千米,则在东经 $116°$ 所在经线圈上的点 A 和点 B 之间的劣弧长约为（
A.$\dfrac{5}{72}π R$ 千米
B.$\dfrac{1}{12}π R$ 千米
C.$\dfrac{5}{36}π R$ 千米
D.$\dfrac{2}{9}π R$ 千米
C
）A.$\dfrac{5}{72}π R$ 千米
B.$\dfrac{1}{12}π R$ 千米
C.$\dfrac{5}{36}π R$ 千米
D.$\dfrac{2}{9}π R$ 千米
答案
2. C $\because ∠ AOC=40°$,$∠ BOC=15°$,$\therefore ∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=40°-15°=25°$,$\therefore \overset{\frown}{AB}$ 的长为$\dfrac{25}{360}×2π R=\dfrac{5}{36}π R$(千米).$\therefore$ 点 A 和点 B 之间的劣弧长约为$\dfrac{5}{36}π R$ 千米.
解析
【分析】
解题思路：首先明确A、B两点经度相同，都在东经116°对应的经线圈这个大圆上，要计算两点间的劣弧长，核心是先求出两点对应的地心圆心角∠AOB的度数，再代入圆的弧长公式计算即可。第一步：根据北纬的定义，北纬的度数就是对应点与地心连线和赤道平面的夹角，已知∠AOC=40°，∠BOC=15°，两个角共边OC，因此∠AOB就是两个角的差值，即40°-15°=25°；第二步：回忆弧长计算公式，半径为R的圆中，圆心角为n°的弧长是$\frac{nπ R}{180}$，把n=25代入公式计算，就能得到劣弧AB的长度，最后匹配选项得到答案。
【解析】
解：
1. 计算圆心角∠AOB的度数：
已知$∠AOC=40°$，$∠BOC=15°$，且点A、B、O、C在同一经线圈平面内，因此：
$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 40° - 15° = 25°$
2. 代入弧长公式计算劣弧长：
半径为R的圆中，圆心角为n°的弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，将n=25代入得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{25π R}{180}=\frac{5}{36}π R$（千米）
因此A、B两点间的劣弧长为$\frac{5}{36}π R$千米。
【答案】
C.$\dfrac{5}{36}π R$ 千米
【知识点】
弧长计算公式，经纬度与圆心角
【点评】
本题是数学与地理的跨学科基础题，解题关键是理解北纬的几何含义，快速求出两点对应的地心夹角，再直接套用弧长公式即可求解，难度较低，易错点是计算圆心角时误将两角相加，或者代入弧长公式时出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确A、B两点经度相同，都在东经116°对应的经线圈这个大圆上，要计算两点间的劣弧长，核心是先求出两点对应的地心圆心角∠AOB的度数，再代入圆的弧长公式计算即可。第一步：根据北纬的定义，北纬的度数就是对应点与地心连线和赤道平面的夹角，已知∠AOC=40°，∠BOC=15°，两个角共边OC，因此∠AOB就是两个角的差值，即40°-15°=25°；第二步：回忆弧长计算公式，半径为R的圆中，圆心角为n°的弧长是$\frac{nπ R}{180}$，把n=25代入公式计算，就能得到劣弧AB的长度，最后匹配选项得到答案。
【解析】
解：
1. 计算圆心角∠AOB的度数：
已知$∠AOC=40°$，$∠BOC=15°$，且点A、B、O、C在同一经线圈平面内，因此：
$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 40° - 15° = 25°$
2. 代入弧长公式计算劣弧长：
半径为R的圆中，圆心角为n°的弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，将n=25代入得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{25π R}{180}=\frac{5}{36}π R$（千米）
因此A、B两点间的劣弧长为$\frac{5}{36}π R$千米。
【答案】
C.$\dfrac{5}{36}π R$ 千米
【知识点】
弧长计算公式，经纬度与圆心角
【点评】
本题是数学与地理的跨学科基础题，解题关键是理解北纬的几何含义，快速求出两点对应的地心夹角，再直接套用弧长公式即可求解，难度较低，易错点是计算圆心角时误将两角相加，或者代入弧长公式时出现计算错误。
【难度系数】
0.7
3. [2025 苏州中考]“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有 28 个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示. 该摩天轮高 128 m（即最高点离水面平台 $MN$ 的距离），圆心 $O$ 到 $MN$ 的距离为 68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时 30 min. 某轿厢从点 $A$ 出发，10 min 后到达点 $B$，此过程中，该轿厢所经过的路径（即$\overset{\frown}{AB}$）长度为
40π
m（结果保留 $π$）.答案
3. 40π 由题意,得$∠ AOB=360°×\dfrac{10}{30}=120°$,$\odot O$ 的半径为$128-68=60(\mathrm{m})$,$\therefore$ 该轿厢所经过的路径(即$\overset{\frown}{AB}$)长度为$\dfrac{120π×60}{180}=40π(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
这是一道弧长的实际应用问题，解题思路可以拆分为三步：第一步先求摩天轮的半径，已知最高点离平台MN的总高度是128m，圆心O到MN的距离是68m，最高点到圆心的距离就是圆的半径，用总高度减去圆心到平台的距离就能算出半径；第二步计算轿厢10分钟转过的圆心角，摩天轮转完整圈360°需要30分钟，那么10分钟转过的角度就是整圈角度的10/30，由此得到∠AOB的度数；第三步直接代入弧长公式计算弧AB的长度即可。
【解析】
1. 计算摩天轮的半径：
已知摩天轮最高点离水面平台MN的距离为128m，圆心O到MN的距离为68m，因此⊙O的半径$r = 128 - 68 = 60\ \mathrm{m}$。
2. 计算圆心角∠AOB的度数：
摩天轮匀速旋转一圈（对应圆心角360°）用时30min，轿厢从点A出发运动10min，因此转过的圆心角为：
$∠ AOB = 360° × \dfrac{10}{30} = 120°$
3. 代入弧长公式计算路径长度：
弧长计算公式为$l=\dfrac{nπ r}{180}$，将$n=120$、$r=60$代入公式得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\dfrac{120π × 60}{180}=40π\ \mathrm{m}$
【答案】
$40π$
【知识点】
弧长公式，圆心角计算
【点评】
本题结合摩天轮的生活场景考查弧长的基础应用，整体难度较低，解题核心是先从题干给出的高度条件推导得到圆的半径，再根据旋转时长算出对应圆心角，最后代入公式求解，易错点是误把总高度直接当作半径计算，属于中考常见的基础送分题型。
【难度系数】
0.8
这是一道弧长的实际应用问题，解题思路可以拆分为三步：第一步先求摩天轮的半径，已知最高点离平台MN的总高度是128m，圆心O到MN的距离是68m，最高点到圆心的距离就是圆的半径，用总高度减去圆心到平台的距离就能算出半径；第二步计算轿厢10分钟转过的圆心角，摩天轮转完整圈360°需要30分钟，那么10分钟转过的角度就是整圈角度的10/30，由此得到∠AOB的度数；第三步直接代入弧长公式计算弧AB的长度即可。
【解析】
1. 计算摩天轮的半径：
已知摩天轮最高点离水面平台MN的距离为128m，圆心O到MN的距离为68m，因此⊙O的半径$r = 128 - 68 = 60\ \mathrm{m}$。
2. 计算圆心角∠AOB的度数：
摩天轮匀速旋转一圈（对应圆心角360°）用时30min，轿厢从点A出发运动10min，因此转过的圆心角为：
$∠ AOB = 360° × \dfrac{10}{30} = 120°$
3. 代入弧长公式计算路径长度：
弧长计算公式为$l=\dfrac{nπ r}{180}$，将$n=120$、$r=60$代入公式得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\dfrac{120π × 60}{180}=40π\ \mathrm{m}$
【答案】
$40π$
【知识点】
弧长公式，圆心角计算
【点评】
本题结合摩天轮的生活场景考查弧长的基础应用，整体难度较低，解题核心是先从题干给出的高度条件推导得到圆的半径，再根据旋转时长算出对应圆心角，最后代入公式求解，易错点是误把总高度直接当作半径计算，属于中考常见的基础送分题型。
【难度系数】
0.8
4. [2025 南京中考]某纸杯的尺寸(单位:cm)如图①所示,展开它的侧面得到扇环纸片 ABCD(可以看作扇形纸片 OAD 剪去扇形纸片 OBC 后剩余的部分).
(1) $\overset{\frown}{AD}$ 的长为
(2) 记 $a × b$ 表示两边长分别为 $a,b(a ≤ b$,单位:cm)的矩形纸片的大小.
① 图②是可以剪出扇环纸片 ABCD 的一张矩形纸片,它的一边与 $\overset{\frown}{AD}$ 相切,点 B,C 在同一条边上,点 A,D 分别在另外两边上,直接写出 a,b 的值.
② 用一张 $18.2 × 25.7\ \mathrm{cm}$ 的矩形纸片可以剪出扇环纸片 ABCD 吗? 请说明理由(参考数据:$\sqrt{3} \approx 1.732$).
③ 若一张 $15 × b\ \mathrm{cm}$ 的矩形纸片可以剪出扇环纸片 ABCD,写出求 b 的范围的思路(无需算出最终结果).
(1) $\overset{\frown}{AD}$ 的长为
9π
cm,$OB=$ 18
cm.(2) 记 $a × b$ 表示两边长分别为 $a,b(a ≤ b$,单位:cm)的矩形纸片的大小.
① 图②是可以剪出扇环纸片 ABCD 的一张矩形纸片,它的一边与 $\overset{\frown}{AD}$ 相切,点 B,C 在同一条边上,点 A,D 分别在另外两边上,直接写出 a,b 的值.
② 用一张 $18.2 × 25.7\ \mathrm{cm}$ 的矩形纸片可以剪出扇环纸片 ABCD 吗? 请说明理由(参考数据:$\sqrt{3} \approx 1.732$).
③ 若一张 $15 × b\ \mathrm{cm}$ 的矩形纸片可以剪出扇环纸片 ABCD,写出求 b 的范围的思路(无需算出最终结果).
答案
4.（1）9π;18. 由题意,得$\overset{\frown}{AD}$ 的长为 $9π\ \mathrm{cm}$,$\overset{\frown}{BC}$ 的长为 $6π\ \mathrm{cm}$. 设$∠ AOD=∠ BOC=n°$,$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$,则$OA=OD=(r+9)\ \mathrm{cm}$, $\therefore \begin{cases}\dfrac{nπ r}{180}=6π,\\\dfrac{nπ(r+9)}{180}=9π,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}n=60,\\r=18.\end{cases}$ $\therefore OB=18\ \mathrm{cm}$. （2）① 延长 $AB,DC$,交于点 $O$,设矩形的边与 $\overset{\frown}{AD}$ 相切于点 $E$,连接 $OE$,交 $BC$ 于点 $F$,如图①,则易得 $OE⊥ GN$. $\because$ 四边形 $GHMN$ 为矩形,$\therefore$ 四边形 $GHFE$,$MNEF$ 为矩形. $\therefore a=GH=EF$. 由(1),得$OB=OC=18\ \mathrm{cm}$,$OA=OD=OE=18+9=27(\mathrm{cm})$,$∠ AOD=∠ BOC=60°$,$AB=CD=9\ \mathrm{cm}$,$\therefore △ OBC$ 为等边三角形. $\therefore BC=OB=18\ \mathrm{cm}$,$OF=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$∠ OBC=∠ OCB=60°$. $\therefore ∠ ABH=∠ OBC=60°$,$∠ DCM=∠ OCB=60°$. $\therefore BH=\dfrac{1}{2}AB=4.5\ \mathrm{cm}$,$CM=\dfrac{1}{2}CD=4.5\ \mathrm{cm}$. $\therefore a=EF=OE-OF=(27-9\sqrt{3})\mathrm{cm}$,$b=GN=HM=HB+BC+CM=4.5+18+4.5=27(\mathrm{cm})$. ② 用一张 $18.2 × 25.7\ \mathrm{cm}$ 的矩形纸片可以剪出扇环纸片 $ABCD$. 理由:将扇环纸片 $ABCD$ 按如图②所示的方式放置,$AB$ 在矩形的边 $AG$ 上,延长 $AB,DC$,交于点 $O$,过点 $D$ 作 $DE⊥ AG$ 于点 $E$,过点 $C$ 作 $CF⊥ AG$ 于点 $F$,由题意,得$∠ O=60°$,$OB=OC=18\ \mathrm{cm}$,$OA=OD=18+9=27(\mathrm{cm})$,$AB=CD=9\ \mathrm{cm}$, $\therefore$ 易得 $DE=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}\approx23.38(\mathrm{cm})$,$OF=\dfrac{1}{2}OC=9\ \mathrm{cm}$. $\therefore AF=OA-OF=27-9=18(\mathrm{cm})$. $\because 18＜18.2$,$23.38＜25.7$,$\therefore AF＜AG$,$DE＜GH$. $\therefore$ 用一张 $18.2 × 25.7\ \mathrm{cm}$ 的矩形纸片可以剪出扇环纸片 $ABCD$. ③ 设 $15 × b\ \mathrm{cm}$ 的矩形纸片为矩形 $MNKS$,$MS=NK=15\ \mathrm{cm}$,将扇环纸片 $ABCD$ 按如图③所示的方式放置,使点 $A$ 在边 $MS$ 上,点 $B$ 在边 $KS$ 上,点 $D$ 在边 $NK$ 上,$\overset{\frown}{AD}$ 与边 $MN$ 相切于点 $P$,则此时 $b$ 的值最小. 若求 $b$ 的范围,则此时的 $MN$ 的长为 $b$ 的最小值. 延长 $AB,DC$,交于点 $O$,连接 $OP$,$OP$ 交 $SK$ 于点 $H$,过点 $D$ 作 $DE⊥ OP$ 于点 $E$,过点 $A$ 作 $AF⊥ OP$ 于点 $F$,设 $OD$ 交 $SK$ 于点 $G$. 由题意,得$∠ AOD=60°$,$OB=OC=18\ \mathrm{cm}$,$OP=OA=OD=18+9=27(\mathrm{cm})$,$AB=CD=9\ \mathrm{cm}$. $\because \overset{\frown}{AD}$ 与边 $MN$ 相切于点 $P$,$\therefore OP⊥ MN$. $\because DE⊥ OP$,$AF⊥ OP$,四边形 $MNKS$ 为矩形,$\therefore$ 易得四边形 $PNDE$,四边形 $AFPM$,四边形 $PNKH$ 为矩形. $\therefore PN=DE$,$MP=AF$,$PH=NK=15\ \mathrm{cm}$. $\therefore b=MN=MP+PN=AF+DE$,$OH=OP-PH=27-15=12(\mathrm{cm})$. $\therefore$ 求得 $AF$,$DE$ 的值,即可求得 $b$ 的最小值. 由于 $OA=OD=27\ \mathrm{cm}$,解 $\mathrm{Rt}△ OAF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ODE$ 即可求得结论.
[图1]
[图1]
解析
【分析】
这道题围绕纸杯侧面展开的扇环图形展开，解题思路分步梳理：
1. 第(1)问：扇环的外弧AD长度就是纸杯上底面的圆周长，直接代入圆周长公式即可算出；同理内弧BC是纸杯下底面的圆周长，也可直接得到对应弧长。接着设扇环对应的圆心角为n°，OB的长度为r，那么OA的长度就是r+9，代入弧长公式列出二元方程组，解方程组就能得到OB的长度和圆心角的度数。
2. 第(2)①问：先将扇环补全为两个同圆心的扇形OAD和OBC，利用第(1)问得到的圆心角60°、OA=27cm、OB=18cm的结论，结合图②的放置规则：弧AD和矩形上边相切，连接圆心和切点，利用矩形对边相等的性质，结合30°直角三角形的边长关系、等边三角形的性质，分别计算出矩形的两边a和b。
3. 第(2)②问：换一种更节省空间的放置方式，将AB边靠在矩形的一条边上，分别计算这种放置下扇环需要占用的横向最大长度和纵向最大长度，和给定的矩形边长18.2cm、25.7cm做比较，如果两个占用长度都小于矩形对应边长，就说明可以剪出。
4. 第(2)③问：当矩形短边固定为15cm时，要让长边b最小，就需要把扇环调整到刚好和矩形的三条边接触的临界位置，补全扇形后，利用切线性质、矩形性质把b转化为两条从A、D向圆心所在直线作垂线的线段长度之和，通过解直角三角形就能得到b的最小值，进而得到b的取值范围。
【解析】
(1) 纸杯上底面直径为9cm，因此$\overset{\frown}{AD}$的长等于上底面周长：$l_{AD}=π d_1=9π\ \mathrm{cm}$；纸杯下底面直径为6cm，$\overset{\frown}{BC}$的长等于下底面周长：$l_{BC}=π d_2=6π\ \mathrm{cm}$。
设$∠ AOD = n°$，$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，则$OA=OD=(r+9)\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$列方程组：
$\begin{cases}\frac{nπ r}{180}=6π \\\frac{nπ(r+9)}{180}=9π\end{cases}$
化简后两式相减解得$n=60$，代入得$r=18$，即$OB=18\ \mathrm{cm}$。
(2) ① 延长AB、DC交于点O，设$\overset{\frown}{AD}$与矩形上边相切于点E，连接OE交BC于点F：
由(1)得$OB=OC=18\ \mathrm{cm}$，$OA=OD=OE=27\ \mathrm{cm}$，$∠ AOD=60°$，$AB=CD=9\ \mathrm{cm}$。
因为$OB=OC$，$∠ BOC=60°$，所以$△ OBC$是等边三角形，$BC=OB=18\ \mathrm{cm}$，$OF⊥ BC$，$OF=OB·\cos30°=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由矩形性质得$a=EF=OE-OF=27-9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
又$∠ ABH=∠ OBC=60°$，在$Rt△ ABH$中，$BH=AB·\cos60°=4.5\ \mathrm{cm}$，同理$CM=4.5\ \mathrm{cm}$，因此$b=HB+BC+CM=27\ \mathrm{cm}$。
② 可以剪出，理由如下：
将扇环按AB边靠在矩形左侧边的方式放置，延长AB、DC交于点O，过D作$DE⊥ AB$所在直线于E，过C作$CF⊥ AB$所在直线于F：
由$∠ AOD=60°$，$OD=27\ \mathrm{cm}$，得$DE=OD·\sin60°=\frac{27\sqrt{3}}{2}\approx23.38\ \mathrm{cm}$；
由$OC=18\ \mathrm{cm}$，得$OF=OC·\cos60°=9\ \mathrm{cm}$，因此横向占用长度$AF=OA-OF=18\ \mathrm{cm}$。
因为$18＜18.2$，$23.38＜25.7$，扇环占用的两个方向的最大长度都小于给定矩形的边长，因此可以剪出。
③ 解题思路：
要得到$15× b$的矩形可容纳扇环时b的范围，先找到b的最小值：将扇环调整到临界放置状态，使点A在矩形的左侧边上，点B在矩形的下侧边上，点D在矩形的右侧边上，$\overset{\frown}{AD}$与矩形的上侧边相切。补全扇形OAD，连接圆心O和$\overset{\frown}{AD}$的切点P，OP交下侧边于点H，过A作$AF⊥ OP$于F，过D作$DE⊥ OP$于E。利用切线性质得$OP⊥$矩形上侧边，结合矩形性质得$PH=15\ \mathrm{cm}$，因此$OH=OP-PH=12\ \mathrm{cm}$，且$b=MN=AF+DE$。在$Rt△ OAF$和$Rt△ ODE$中，结合$OA=OD=27\ \mathrm{cm}$，$∠ AOD=60°$的条件，解两个直角三角形求出AF和DE的长度，即可得到b的最小值，b的取值范围为大于等于该最小值。
【答案】
(1) $9π$；$18$
(2) ① $a=(27-9\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$，$b=27\ \mathrm{cm}$；② 可以剪出，理由如上；③ 思路如上。
【知识点】
弧长公式，扇形性质，解直角三角形
【点评】
本题以生活中的纸杯侧面展开为实际背景，综合考察了弧长计算、扇形的基本性质、解直角三角形的应用，对学生的空间想象能力、几何转化能力有一定要求，需要结合不同放置方式分析图形的边界尺寸，是一道结合实际应用的几何综合题。
【难度系数】
0.3
这道题围绕纸杯侧面展开的扇环图形展开，解题思路分步梳理：
1. 第(1)问：扇环的外弧AD长度就是纸杯上底面的圆周长，直接代入圆周长公式即可算出；同理内弧BC是纸杯下底面的圆周长，也可直接得到对应弧长。接着设扇环对应的圆心角为n°，OB的长度为r，那么OA的长度就是r+9，代入弧长公式列出二元方程组，解方程组就能得到OB的长度和圆心角的度数。
2. 第(2)①问：先将扇环补全为两个同圆心的扇形OAD和OBC，利用第(1)问得到的圆心角60°、OA=27cm、OB=18cm的结论，结合图②的放置规则：弧AD和矩形上边相切，连接圆心和切点，利用矩形对边相等的性质，结合30°直角三角形的边长关系、等边三角形的性质，分别计算出矩形的两边a和b。
3. 第(2)②问：换一种更节省空间的放置方式，将AB边靠在矩形的一条边上，分别计算这种放置下扇环需要占用的横向最大长度和纵向最大长度，和给定的矩形边长18.2cm、25.7cm做比较，如果两个占用长度都小于矩形对应边长，就说明可以剪出。
4. 第(2)③问：当矩形短边固定为15cm时，要让长边b最小，就需要把扇环调整到刚好和矩形的三条边接触的临界位置，补全扇形后，利用切线性质、矩形性质把b转化为两条从A、D向圆心所在直线作垂线的线段长度之和，通过解直角三角形就能得到b的最小值，进而得到b的取值范围。
【解析】
(1) 纸杯上底面直径为9cm，因此$\overset{\frown}{AD}$的长等于上底面周长：$l_{AD}=π d_1=9π\ \mathrm{cm}$；纸杯下底面直径为6cm，$\overset{\frown}{BC}$的长等于下底面周长：$l_{BC}=π d_2=6π\ \mathrm{cm}$。
设$∠ AOD = n°$，$OB=OC=r\ \mathrm{cm}$，则$OA=OD=(r+9)\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$列方程组：
$\begin{cases}\frac{nπ r}{180}=6π \\\frac{nπ(r+9)}{180}=9π\end{cases}$
化简后两式相减解得$n=60$，代入得$r=18$，即$OB=18\ \mathrm{cm}$。
(2) ① 延长AB、DC交于点O，设$\overset{\frown}{AD}$与矩形上边相切于点E，连接OE交BC于点F：
由(1)得$OB=OC=18\ \mathrm{cm}$，$OA=OD=OE=27\ \mathrm{cm}$，$∠ AOD=60°$，$AB=CD=9\ \mathrm{cm}$。
因为$OB=OC$，$∠ BOC=60°$，所以$△ OBC$是等边三角形，$BC=OB=18\ \mathrm{cm}$，$OF⊥ BC$，$OF=OB·\cos30°=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由矩形性质得$a=EF=OE-OF=27-9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
又$∠ ABH=∠ OBC=60°$，在$Rt△ ABH$中，$BH=AB·\cos60°=4.5\ \mathrm{cm}$，同理$CM=4.5\ \mathrm{cm}$，因此$b=HB+BC+CM=27\ \mathrm{cm}$。
② 可以剪出，理由如下：
将扇环按AB边靠在矩形左侧边的方式放置，延长AB、DC交于点O，过D作$DE⊥ AB$所在直线于E，过C作$CF⊥ AB$所在直线于F：
由$∠ AOD=60°$，$OD=27\ \mathrm{cm}$，得$DE=OD·\sin60°=\frac{27\sqrt{3}}{2}\approx23.38\ \mathrm{cm}$；
由$OC=18\ \mathrm{cm}$，得$OF=OC·\cos60°=9\ \mathrm{cm}$，因此横向占用长度$AF=OA-OF=18\ \mathrm{cm}$。
因为$18＜18.2$，$23.38＜25.7$，扇环占用的两个方向的最大长度都小于给定矩形的边长，因此可以剪出。
③ 解题思路：
要得到$15× b$的矩形可容纳扇环时b的范围，先找到b的最小值：将扇环调整到临界放置状态，使点A在矩形的左侧边上，点B在矩形的下侧边上，点D在矩形的右侧边上，$\overset{\frown}{AD}$与矩形的上侧边相切。补全扇形OAD，连接圆心O和$\overset{\frown}{AD}$的切点P，OP交下侧边于点H，过A作$AF⊥ OP$于F，过D作$DE⊥ OP$于E。利用切线性质得$OP⊥$矩形上侧边，结合矩形性质得$PH=15\ \mathrm{cm}$，因此$OH=OP-PH=12\ \mathrm{cm}$，且$b=MN=AF+DE$。在$Rt△ OAF$和$Rt△ ODE$中，结合$OA=OD=27\ \mathrm{cm}$，$∠ AOD=60°$的条件，解两个直角三角形求出AF和DE的长度，即可得到b的最小值，b的取值范围为大于等于该最小值。
【答案】
(1) $9π$；$18$
(2) ① $a=(27-9\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$，$b=27\ \mathrm{cm}$；② 可以剪出，理由如上；③ 思路如上。
【知识点】
弧长公式，扇形性质，解直角三角形
【点评】
本题以生活中的纸杯侧面展开为实际背景，综合考察了弧长计算、扇形的基本性质、解直角三角形的应用，对学生的空间想象能力、几何转化能力有一定要求，需要结合不同放置方式分析图形的边界尺寸，是一道结合实际应用的几何综合题。
【难度系数】
0.3
