1. （2025·无锡经开区期末）【问题】我们已经学习了很多与直角三角形有关的结论，比如直角三角形两锐角互余、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等.三位同学在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半.于是三位同学都尝试进行了证明.
已知:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$.求证:$BC=\dfrac{1}{2}AB$.
小娟采用“截长法”(如图①):在$AB$上截取$BD=BC$，连接$CD$……
小丽采用“补短法”(如图②):延长$BC$到点$D$，使得$BC=CD$，连接$AD$……
小辉采用“中线法”(如图③):取$AB$中点$D$，连接$CD$……
(1)请你任选一位同学的方法完成证明；
【应用】(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CA=CB=2$，点$D$是平面内一点，满足$∠ CAD=30°$，$∠ ADC=90°$，连接$BD$，则$△ ABD$的面积为________；
【延伸】(3)如图④，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°$，$BC=\sqrt{3}$，点$D$是边$AC$上一动点，当$BD+\dfrac{1}{2}AD$的值最小时，$CD$的长为________.

1.(1)小娟采用的“截长法”:在AB上截取BD=BC,连接CD.
∵ ∠ACB=90°,∠A=30°,
∴ ∠B=90°−∠A=60°.
∵ BD=BC,
∴ △BCD为等边三角形,
∴ BD = BC = CD,∠BCD = 60°,
∴ ∠DCA=∠ACB−∠BCD=30°=∠A,
∴ CD=AD=BD=BC,
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB.小丽采用的“补短法”:延长BC到点D,使得
BC=CD,连接AD.
∵ ∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴ ∠ACD=
180°−∠ACB=90°=∠ACB.在△ACB和△ACD中,
$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACB=∠ACD, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴ △ACB ≌ △ACD (SAS),
∴ AB = AD,
∠DAC = ∠BAC = 30°,
∴ ∠BAD = ∠DAC + ∠BAC = 60°,
∴ △BAD为等边三角形,
∴ BD=AB=AD.
∵ BC=CD=$\frac{1}{2}$BD,
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB.小辉采用的“中线法”:取AB中点D,连接CD.
∵ ∠ACB=90°,∠A=30°,
∴ ∠B=90°−∠A=60°.
∵ 点D为AB
中点,
∴ CD=BD=AD,
∴ △BCD为等边三角形,
∴ BD=BC=
CD=AD,
∴ BC=$\frac{1}{2}$AB.(任选一个证明即可)
(2)$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ 解析:分两种情况讨论:
①当点D在AC右侧时,如图①,过点D作DE⊥BC于点E,
∵ CA=CB=2,∠CAD=30°,∠ADC=90°,
∴ CD=$\frac{1}{2}$AC=1,
∠ACD=90°−∠CAD=60°,
∴ AD=$\sqrt{AC^2−CD^2}=\sqrt{2^2−1^2}=\sqrt{3}$.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠DCE=∠ACB−∠ACD=30°,
∴ DE=
$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$,
∴ $S_{△ABD}=S_{△ACB}−S_{△ACD}−S_{△DCB}=\frac{1}{2}AC·BC−$
$\frac{1}{2}CD·AD−\frac{1}{2}BC·DE=\frac{1}{2}×2×2−\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}−\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}=$
$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$.
②当点D在AC左侧时,如图②,过点D作DF⊥BC,交BC延长线于点F,
∵ CA=CB=2,∠CAD=30°,∠ADC=90°,
∴ CD=
$\frac{1}{2}$AC=1,∠ACD=90°−∠CAD=60°,
∴ AD=$\sqrt{AC^2−CD^2}=$
$\sqrt{2^2−1^2}=\sqrt{3}$.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACF=180°−∠ACB=90°,
∴ ∠DCF=∠ACF−∠ACD=30°,
∴ DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$,
∴ $S_{△ABD}=$
$S_{△ACB}+S_{△ACD}−S_{△DCB}=\frac{1}{2}AC·BC+\frac{1}{2}CD·AD−\frac{1}{2}BC·DF=$
$\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}−\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.
综上所述,△ABD的面积为$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.

(3)1 解析:如图③,在AC右侧取一点E,使得∠DAE=30°,
∠AED=90°,则DE=$\frac{1}{2}$AD,
∴ BD+$\frac{1}{2}$AD=BD+DE,
∴ 当点B,
D,E在同一直线上时,BD+DE取最小值,即BD+$\frac{1}{2}$AD取最小
值.
∵ ∠DAE=30°,∠AED=90°,
∴ ∠ADE=90°−∠DAE=60°,
∴ ∠BDC=∠ADE=60°.
∵ ∠ACB=90°,BC=$\sqrt{3}$,
∴ ∠CBD=
90°−∠BDC=30°,
∴ BD=2CD.在Rt△BCD中,$BC^2+CD^2=$
$BD^2$,即$(\sqrt{3})^2+CD^2=(2CD)^2$,解得CD=1.

2. （2025·扬州广陵区期末）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=10$，$CD$平分$∠ ACB$交斜边$AB$于点$D$，动点$P$从点$C$出发，沿折线$CA-AD$向终点$D$运动.
（1）点$P$在$CA$上运动的过程中，当$CP=$时，$△ CPD$与$△ CBD$的面积相等；
（2）点$P$在折线$CA-AD$上运动的过程中，若$△ CPD$是等腰三角形，求$∠ CPD$的度数；
（3）若点$E$是斜边$AB$的中点，当动点$P$在$CA$上运动时，线段$CD$所在直线上存在另一动点$M$，使两线段$MP,ME$的长度之和，即$MP+ME$的值最小，则此时$CP=$.

2.(1)10 解析:当CP=10时,△CPD与△CBD的面积相等,
理由如下:
∵ BC=10,
∴ CP=BC.
∵ CD平分∠ACB,
∴ ∠PCD=
∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.在△PCD和△BCD中,
$\begin{cases} CP=CB, \\ ∠PCD=∠BCD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴ △PCD ≌ △BCD (SAS),
∴ △CPD 与
△CBD的面积相等.
(2)由(1)得∠PCD=45°,分两种情况:①点P在AC上,如图①所示.若PC=PD,则∠PDC=∠PCD=45°,
∴ ∠CPD=180°−45°−45°=90°.若DP=DC,则∠CPD=∠PCD=45°.若CP=CD,
∴ ∠CPD=∠CDP=$\frac{1}{2}$×(180°−45°)=67.5°.

②点P在AD上,如图②所示,存在DP=DC,
∴ ∠CPD=
∠PCD.
∵ ∠ACB=90°,∠A=30°,
∴ ∠B=60°,
∴ ∠CDP=
∠BCD+∠B=45°+60°=105°,
∴ ∠CPD=$\frac{1}{2}$×(180°−105°)=
37.5°.
综上所述,∠CPD的度数为45°或90°或67.5°或37.5°.
(3)5 解析:当M在CD上,且MP⊥AC时,MP最小,作MP'⊥BC于P',如图③所示,
则 MP' // AC.
∵ CD 平分∠ACB,
∴ ∠PCM = ∠P'CM.又
∵ ∠MPC=∠MP'C=90°,CM=CM,
∴ △PCM≌
△P'CM(AAS),
∴ MP=MP',CP=CP',当E,M,P'三点共线时,MP+ME的值最小,则EP' // AC,∠BEP' = ∠A = 30°.
∵ ∠ACB=90°,∠A=30°,BC=10,
∴ AB=2BC=20.
∵ 点E是斜边AB的中点,
∴ BE=$\frac{1}{2}$AB=10,
∴ BP'=$\frac{1}{2}$BE=5,
∴ CP=CP'=BC−BP'=5.