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1. 用因式分解法解下列方程：
(1)$4x^2 - 144x = 0$；
(2)$2(5x - 1)^2 = 3(1 - 5x)$；
(3)$2x + 6 = (3 + x)^2$；
(4)$(x - 2)^2 - 2x + 4 = 0$；
(5)$(x - 2)^2 = (2x + 1)^2$；
(6)$2(x - 3)^2 = 9 - x^2$；
(7)$x^2 - 6\sqrt{2}x + 18 = 0$；
(8)$4(2x + 1)^2 - 4(2x + 1) + 1 = 0$。
(1)$4x^2 - 144x = 0$；
(2)$2(5x - 1)^2 = 3(1 - 5x)$；
(3)$2x + 6 = (3 + x)^2$；
(4)$(x - 2)^2 - 2x + 4 = 0$；
(5)$(x - 2)^2 = (2x + 1)^2$；
(6)$2(x - 3)^2 = 9 - x^2$；
(7)$x^2 - 6\sqrt{2}x + 18 = 0$；
(8)$4(2x + 1)^2 - 4(2x + 1) + 1 = 0$。
答案
(1)$x_1=0,x_2=36$；
(2)$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$；
(3)$x_1=-3,x_2=-1$；
(4)$x_1=2,x_2=4$；
(5)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$；
(6)$x_1=3,x_2=1$；
(7)$x_1=x_2=3\sqrt{2}$；
(8)$x_1=x_2=-\frac{1}{4}$。
(2)$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$；
(3)$x_1=-3,x_2=-1$；
(4)$x_1=2,x_2=4$；
(5)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$；
(6)$x_1=3,x_2=1$；
(7)$x_1=x_2=3\sqrt{2}$；
(8)$x_1=x_2=-\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。解题时先观察方程特征选择合适的因式分解方法：①若方程两边有相同的多项式因式，优先考虑移项后提公因式；②若方程符合平方差或完全平方公式结构，优先用公式法分解；③相同的多项式可以看成整体简化计算，移项时注意不要出错符号。
各小题具体思路：(1)直接提取公因式4x即可分解；(2)将右边的项移到左边，把(5x-1)看成整体提取公因式；(3)左边先提公因式2，再移项提取公因式(x+3)；(4)将后两项变形为-2(x-2)，提取公因式(x-2)；(5)移项后用平方差公式分解；(6)右边变形为-(x²-9)=-(x-3)(x+3)，移项后提取公因式(x-3)；(7)左边符合完全平方公式结构，直接用公式分解；(8)把(2x+1)看成整体，左边符合完全平方公式结构，用公式分解。
【解析】
(1) 提取公因式，得$4x(x - 36) = 0$
∴ $4x = 0$ 或 $x - 36 = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 36$
(2) 移项，得$2(5x - 1)^2 + 3(5x - 1) = 0$
提取公因式$(5x - 1)$，得$(5x - 1)[2(5x - 1) + 3] = 0$
化简，得$(5x - 1)(10x + 1) = 0$
∴ $5x - 1 = 0$ 或 $10x + 1 = 0$
解得 $x_1 = \frac{1}{5}$，$x_2 = -\frac{1}{10}$
(3) 左边提公因式，得$2(x + 3) = (x + 3)^2$
移项，得$2(x + 3) - (x + 3)^2 = 0$
提取公因式$(x + 3)$，得$(x + 3)[2 - (x + 3)] = 0$
化简，得$(x + 3)(-x - 1) = 0$
∴ $x + 3 = 0$ 或 $-x - 1 = 0$
解得 $x_1 = -3$，$x_2 = -1$
(4) 原式变形，得$(x - 2)^2 - 2(x - 2) = 0$
提取公因式$(x - 2)$，得$(x - 2)(x - 2 - 2) = 0$
化简，得$(x - 2)(x - 4) = 0$
∴ $x - 2 = 0$ 或 $x - 4 = 0$
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 4$
(5) 移项，得$(x - 2)^2 - (2x + 1)^2 = 0$
用平方差公式分解，得$[(x - 2) + (2x + 1)][(x - 2) - (2x + 1)] = 0$
化简，得$(3x - 1)(-x - 3) = 0$
∴ $3x - 1 = 0$ 或 $-x - 3 = 0$
解得 $x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = -3$
(6) 右边变形，得$2(x - 3)^2 = -(x^2 - 9) = -(x - 3)(x + 3)$
移项，得$2(x - 3)^2 + (x - 3)(x + 3) = 0$
提取公因式$(x - 3)$，得$(x - 3)[2(x - 3) + x + 3] = 0$
化简，得$(x - 3)(3x - 3) = 0$
∴ $x - 3 = 0$ 或 $3x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = 1$
(7) 用完全平方公式分解，得$(x - 3\sqrt{2})^2 = 0$
∴ $x - 3\sqrt{2} = 0$
解得 $x_1 = x_2 = 3\sqrt{2}$
(8) 把$(2x + 1)$看成整体，用完全平方公式分解，得$[2(2x + 1) - 1]^2 = 0$
化简，得$(4x + 1)^2 = 0$
∴ $4x + 1 = 0$
解得 $x_1 = x_2 = -\frac{1}{4}$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=36$；
(2)$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$；
(3)$x_1=-3,x_2=-1$；
(4)$x_1=2,x_2=4$；
(5)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$；
(6)$x_1=3,x_2=1$；
(7)$x_1=x_2=3\sqrt{2}$；
(8)$x_1=x_2=-\frac{1}{4}$。
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法分解因式、公式法分解因式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，重点考查对因式分解方法的灵活运用，解题时要注意观察方程结构，巧用整体思想简化运算，移项时注意符号变化，避免因符号错误导致丢分。
【难度系数】
0.7
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。解题时先观察方程特征选择合适的因式分解方法：①若方程两边有相同的多项式因式，优先考虑移项后提公因式；②若方程符合平方差或完全平方公式结构，优先用公式法分解；③相同的多项式可以看成整体简化计算，移项时注意不要出错符号。
各小题具体思路：(1)直接提取公因式4x即可分解；(2)将右边的项移到左边，把(5x-1)看成整体提取公因式；(3)左边先提公因式2，再移项提取公因式(x+3)；(4)将后两项变形为-2(x-2)，提取公因式(x-2)；(5)移项后用平方差公式分解；(6)右边变形为-(x²-9)=-(x-3)(x+3)，移项后提取公因式(x-3)；(7)左边符合完全平方公式结构，直接用公式分解；(8)把(2x+1)看成整体，左边符合完全平方公式结构，用公式分解。
【解析】
(1) 提取公因式，得$4x(x - 36) = 0$
∴ $4x = 0$ 或 $x - 36 = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 36$
(2) 移项，得$2(5x - 1)^2 + 3(5x - 1) = 0$
提取公因式$(5x - 1)$，得$(5x - 1)[2(5x - 1) + 3] = 0$
化简，得$(5x - 1)(10x + 1) = 0$
∴ $5x - 1 = 0$ 或 $10x + 1 = 0$
解得 $x_1 = \frac{1}{5}$，$x_2 = -\frac{1}{10}$
(3) 左边提公因式，得$2(x + 3) = (x + 3)^2$
移项，得$2(x + 3) - (x + 3)^2 = 0$
提取公因式$(x + 3)$，得$(x + 3)[2 - (x + 3)] = 0$
化简，得$(x + 3)(-x - 1) = 0$
∴ $x + 3 = 0$ 或 $-x - 1 = 0$
解得 $x_1 = -3$，$x_2 = -1$
(4) 原式变形，得$(x - 2)^2 - 2(x - 2) = 0$
提取公因式$(x - 2)$，得$(x - 2)(x - 2 - 2) = 0$
化简，得$(x - 2)(x - 4) = 0$
∴ $x - 2 = 0$ 或 $x - 4 = 0$
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 4$
(5) 移项，得$(x - 2)^2 - (2x + 1)^2 = 0$
用平方差公式分解，得$[(x - 2) + (2x + 1)][(x - 2) - (2x + 1)] = 0$
化简，得$(3x - 1)(-x - 3) = 0$
∴ $3x - 1 = 0$ 或 $-x - 3 = 0$
解得 $x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = -3$
(6) 右边变形，得$2(x - 3)^2 = -(x^2 - 9) = -(x - 3)(x + 3)$
移项，得$2(x - 3)^2 + (x - 3)(x + 3) = 0$
提取公因式$(x - 3)$，得$(x - 3)[2(x - 3) + x + 3] = 0$
化简，得$(x - 3)(3x - 3) = 0$
∴ $x - 3 = 0$ 或 $3x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = 1$
(7) 用完全平方公式分解，得$(x - 3\sqrt{2})^2 = 0$
∴ $x - 3\sqrt{2} = 0$
解得 $x_1 = x_2 = 3\sqrt{2}$
(8) 把$(2x + 1)$看成整体，用完全平方公式分解，得$[2(2x + 1) - 1]^2 = 0$
化简，得$(4x + 1)^2 = 0$
∴ $4x + 1 = 0$
解得 $x_1 = x_2 = -\frac{1}{4}$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=36$；
(2)$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$；
(3)$x_1=-3,x_2=-1$；
(4)$x_1=2,x_2=4$；
(5)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$；
(6)$x_1=3,x_2=1$；
(7)$x_1=x_2=3\sqrt{2}$；
(8)$x_1=x_2=-\frac{1}{4}$。
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法分解因式、公式法分解因式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，重点考查对因式分解方法的灵活运用，解题时要注意观察方程结构，巧用整体思想简化运算，移项时注意符号变化，避免因符号错误导致丢分。
【难度系数】
0.7
2. 已知 $y_1=x^2+3,y_2=9-x$.
(1)当 $x$ 取何值时,$y_1$ 与 $y_2$ 相等?
(2)$y_1$ 与 $y_2$ 能互为相反数吗?如果能,求出 $x$ 的值;如果不能,请说明理由.
(1)当 $x$ 取何值时,$y_1$ 与 $y_2$ 相等?
(2)$y_1$ 与 $y_2$ 能互为相反数吗?如果能,求出 $x$ 的值;如果不能,请说明理由.
答案
(1)由题意,得 $x^2+3=9-x$,
整理,得 $x^2+x-6=0$,
则$(x-2)(x+3)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $x+3=0$,
解得 $x_1=2,x_2=-3$.
(2)$y_1$ 与 $y_2$ 不能互为相反数. 理由如下:
若 $y_1$ 与 $y_2$ 互为相反数,
则 $x^2+3+9-x=0$,即 $x^2-x+12=0$.
$\because \Delta=1-4×1×12=-47＜0$,
$\therefore$此方程无实数根,
$\therefore y_1$ 与 $y_2$ 不能互为相反数.
整理,得 $x^2+x-6=0$,
则$(x-2)(x+3)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $x+3=0$,
解得 $x_1=2,x_2=-3$.
(2)$y_1$ 与 $y_2$ 不能互为相反数. 理由如下:
若 $y_1$ 与 $y_2$ 互为相反数,
则 $x^2+3+9-x=0$,即 $x^2-x+12=0$.
$\because \Delta=1-4×1×12=-47＜0$,
$\therefore$此方程无实数根,
$\therefore y_1$ 与 $y_2$ 不能互为相反数.
解析
【分析】
(1) 若两个函数值相等，直接令两个表达式相等，即可得到关于x的一元二次方程，解这个方程就能得到对应的x值，选用因式分解法解方程更简便。
(2) 若两个数互为相反数，则两数之和为0，据此列出关于x的一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ的正负，判断方程是否有实数根，即可确定y₁与y₂能否互为相反数。
【解析】
(1) 由题意得，当$y_1=y_2$时：
$x^2+3=9-x$
移项整理得：$x^2+x-6=0$
因式分解得：$(x-2)(x+3)=0$
$\therefore x-2=0$或$x+3=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-3$
(2) $y_1$与$y_2$不能互为相反数，理由如下：
若$y_1$与$y_2$互为相反数，则$y_1+y_2=0$，代入表达式得：
$x^2+3 + 9 - x = 0$
整理得：$x^2 - x + 12 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×12 = 1 - 48 = -47 ＜ 0$
$\therefore$该一元二次方程无实数根，即不存在实数x使得$y_1$与$y_2$互为相反数。
【答案】
(1) $x=2$或$x=-3$；
(2) 不能，所得一元二次方程无实数根。
【知识点】
一元二次方程求解、根的判别式应用、相反数的性质
【点评】
本题结合函数值相等、相反数的性质列方程，主要考查一元二次方程的解法以及利用判别式判断方程实根存在性的能力，属于基础应用题，熟练掌握相关概念和方程解法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 若两个函数值相等，直接令两个表达式相等，即可得到关于x的一元二次方程，解这个方程就能得到对应的x值，选用因式分解法解方程更简便。
(2) 若两个数互为相反数，则两数之和为0，据此列出关于x的一元二次方程，再通过计算根的判别式Δ的正负，判断方程是否有实数根，即可确定y₁与y₂能否互为相反数。
【解析】
(1) 由题意得，当$y_1=y_2$时：
$x^2+3=9-x$
移项整理得：$x^2+x-6=0$
因式分解得：$(x-2)(x+3)=0$
$\therefore x-2=0$或$x+3=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-3$
(2) $y_1$与$y_2$不能互为相反数，理由如下：
若$y_1$与$y_2$互为相反数，则$y_1+y_2=0$，代入表达式得：
$x^2+3 + 9 - x = 0$
整理得：$x^2 - x + 12 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×12 = 1 - 48 = -47 ＜ 0$
$\therefore$该一元二次方程无实数根，即不存在实数x使得$y_1$与$y_2$互为相反数。
【答案】
(1) $x=2$或$x=-3$；
(2) 不能，所得一元二次方程无实数根。
【知识点】
一元二次方程求解、根的判别式应用、相反数的性质
【点评】
本题结合函数值相等、相反数的性质列方程，主要考查一元二次方程的解法以及利用判别式判断方程实根存在性的能力，属于基础应用题，熟练掌握相关概念和方程解法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
