8. (2025·凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，连接FG. 若AC=12，BD=16，则FG的长为.

8.5

9. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE//AC，AE//BD，OE与AB交于点F.
(1)求证：四边形AEBO为矩形；
(2)若OE=13，AC=24，求菱形ABCD的面积.

9.(1)证明:
∵BE//AC,AE//BD,
∴四边形AEBO为平行四边形.
∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴AC⊥BD,
∴∠AOB=90°.
∴平行四边形AEBO为矩形.
　(2)解:
∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=12.
　在矩形AEBO中,∠OAE=90°,OE=13,
∴AE=$\sqrt{13^{2}-12^{2}}$=5.
∴$S_{矩形AEBO}$=5×12=60.
∴$S_{菱形ABCD}$=2$S_{矩形AEBO}$=120.

10. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE=BF，DE，DF分别与AC交于点M，N.
求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)ME=NF.

10.证明:(1)
∵四边形ABCD是菱形，
　
∴∠DAB=∠DCB,AB=BC=CD=DA.
　
∵BE=BF,
∴BA−BE=BC−BF,即AE=CF;
　　在△ADE和△CDF中，$\{ \begin{array} { l } { A D = C D, } \\ { ∠ D A E = ∠ D C F, } \\ { A E = C F, } \end{array} $
　
∴△ADE≌△CDF(SAS).
　　(2)
∵△ADE≌△CDF,
　
∴∠AED=∠CFD,即∠AEM=∠CFN.
　
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,即∠EAM=∠FCN.又
∵AE=CF,
∴△AEM≌△CFN(ASA),
∴ME=NF.

11. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证：BG=DE；
(2)若E为AD的中点，FH=2，求菱形ABCD的周长.

11.(1)证明:
∵四边形EFGH是矩形,
　
∴EH=FG,EH//FG,
∴∠GFH=∠EHF.
　
∵∠BFG=180°−∠GFH,∠DHE=180°−∠EHF,
∴∠BFG=∠DHE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC.
∴∠GBF=∠EDH.
∴△BGF≌△DEH(AAS).
∴BG=DE.
　(2)解:如答图，连接EG.
　　　　　　　
∵四边形EFGH是矩形,
∴FH=EG.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC,AD//BC;
∵E为AD的中点,
∴AE=ED.
∵BG=DE,
∴AE=BG,
∵AE//BG,
∴四边形ABGE是平行四边形,
∴AB=EG.
∵EG=FH=2,
∴AB=2.
∴菱形ABCD的周长=8.