6[中]【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一,请根据以下问题,把你的感知填写出来:
(1)如图(1),△ABC为等边三角形,BD=CF,∠EDF=60°,则△BDE≌.
【模型应用】(2)如图(2),正方形ABCD的顶点B在直线l上,分别过点A,C作AE⊥l于E,CF⊥l于F.若AE=1,CF=2,则EF的长为.
【模型变式】(3)如图(3)所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,DE=4 cm,AD=6 cm,求BE的长.

6.【解】(1)因为 △ABC 是等边三角形, 所以 ∠B = ∠C = 60°. 因为 ∠EDC = ∠B + ∠BED = ∠EDF + ∠FDC, ∠EDF = 60°, 所以 ∠BED = ∠FDC. 又因为 BD = CF, 所以 △BDE ≌ △CFD (AAS). 故答案为 △CFD.
(2)因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AB = BC, ∠ABC = 90°. 因为 AE ⊥ EF, CF ⊥ EF, 所以 ∠AEB = ∠CFB = 90° = ∠ABC, 所以 ∠ABE + ∠BAE = 90° = ∠ABE + ∠CBF, 所以 ∠BAE = ∠CBF, 所以 △ABE ≌ △BCF (AAS), 所以 AE = BF = 1, BE = CF = 2, 所以 EF = 3. 故答案为 3.
(3)因为 AD ⊥ CE, BE ⊥ CE, 所以 ∠ADC = ∠BEC = 90°. 因为 ∠DCA + ∠BCE = 90°, ∠DCA + ∠DAC = 90°, 所以 ∠DAC = ∠BCE. 又因为 AC = BC, 所以 △ACD ≌ △CBE (AAS), 所以 CE = AD = 6 cm, CD = BE, 所以 BE = CD = CE - DE = 6 - 4 = 2(cm).

7[中]【问题背景】如图(1),在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
(1)小王同学探究此问题的方法如下:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是.
【探索延伸】(2)如图(2),若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
【学以致用】(3)如图(3),四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF的周长.

7.【解】(1)在△ABE和△ADG中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
所以 △ABE ≌ △ADG (SAS), 所以 AE = AG, ∠BAE = ∠DAG.
因为 ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD, 所以 ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF, 所以 ∠EAF = ∠GAF. 在 △AEF 和 △AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
所以 △AEF ≌ △AGF (SAS), 所以 EF = FG. 因为 FG = DG + DF = BE + DF, 所以 EF = BE + DF. 故答案为 EF = BE + DF.
(2)结论 EF = BE + DF 仍然成立. 理由:如图(1),延长 FD 到点 G, 使 DG = BE, 连接 AG. 因为 ∠B + ∠CDA = 180°, ∠ADG + ∠CDA = 180°, 所以 ∠B = ∠ADG. 在 △ABE 和 △ADG 中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
所以 △ABE ≌ △ADG (SAS), 所以 AE = AG, ∠BAE = ∠DAG. 因为 ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD, 所以 ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF, 所以 ∠EAF = ∠GAF. 在 △AEF 和 △AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
所以 △AEF ≌ △AGF (SAS), 所以 EF = FG. 因为 FG = DG + DF = BE + DF, 所以 EF = BE + DF.
(3)△DEF 的周长是 10. 如图(2),延长 DC 到点 G, 使 CG = AE, 连接 BG. 因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 ∠A = ∠ABC = ∠BCD = 90°, AB = BC, 所以 ∠BCG = 90°. 在 △AEB 与 △CGB 中,
$\begin{cases} AE=CG, \\ ∠A=∠BCG, \\ AB=CB, \end{cases}$
所以 △AEB ≌ △CGB (SAS), 所以 BE = BG, ∠ABE = ∠CBG. 因为 ∠EBF = 45°, ∠ABC = 90°, 所以 ∠ABE + ∠CBF = 45°, 所以 ∠CBF + ∠CBG = 45°. 在 △EBF 与 △GBF 中,
$\begin{cases} BE=BG, \\ ∠EBF=∠GBF, \\ BF=BF, \end{cases}$
所以 △EBF ≌ △GBF (SAS), 所以 EF = GF, 所以 △DEF 的周长为 EF + ED + DF = AE + CF + DE + DF = AD + CD = 5 + 5 = 10.
思路分析
(2)延长 FD 到点 G, 使 DG = BE, 连接 AG, 即可证明 △ABE ≌ △ADG, 可得 AE = AG, 再证明 △AEF ≌ △AGF, 可得 EF = FG, 即可解题.
(3)延长 DC 到 G, 使 CG = AE, 连接 BG, 根据“SAS”可证明 △AEB ≌ △CGB, 故可得出 BE = BG, ∠ABE = ∠CBG, 再由 ∠EBF = 45°, ∠ABC = 90° 可得出 ∠ABE + ∠CBF = 45°, 故 ∠CBF + ∠CBG = 45°, 由“SAS”可判定 △EBF ≌ △GBF, 得 EF = GF, 故 △DEF 的周长为 EF + ED + DF = AE + CF + DE + DF = AD + CD, 由此可得出结果.