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9.已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC＜BC$.求作:$△ ABC$内部的一点$P$,使得点$P$到$AB$的距离等于到$BC$的距离,且点$P$在$AB$边的高线上.请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
答案
9.解:如下图所示：
作$∠ABC$的平分线$BP$，过点$C$作直线$AB$的垂线，与射线$BP$交于点$P$，点$P$即为所求作的点.
解析
【分析】
解题时先拆解题目的两个要求：①点P到AB、BC的距离相等，根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此满足该条件的点都在∠ABC的角平分线上；②点P在AB边的高线上，AB边的高线是过点C向AB作的垂线段，因此满足该条件的点都在这条垂线上。同时满足两个要求的点就是两条线的交点，且交点要在△ABC内部，因此只需分别作出这两条线，取交点即可。
【解析】
1. 作∠ABC的角平分线：以B为圆心，适当长度为半径画弧，交BA、BC于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过B和该交点作射线，即为∠ABC的平分线；
2. 过点C作AB的垂线：将直尺与AB对齐，用三角板的直角边靠紧直尺，平移三角板使另一条直角边过点C，沿该直角边作直线，与AB交于一点，即为AB边上的高线所在直线；
3. 上述两条线在△ABC内部的交点即为所求的点P。
【答案】
如下图所示：
作$∠ABC$的平分线$BP$，过点$C$作直线$AB$的垂线，与射线$BP$交于点$P$，点$P$即为所求作的点.
【知识点】
角平分线的性质，三角形的高线，尺规作图
【点评】
本题将几何性质与尺规作图结合，需要学生将题目要求转化为已学的基本作图操作，既考查了对角平分线、三角形高线相关性质的理解，也考查了基础尺规作图的实践能力。
【难度系数】
0.7
解题时先拆解题目的两个要求：①点P到AB、BC的距离相等，根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此满足该条件的点都在∠ABC的角平分线上；②点P在AB边的高线上，AB边的高线是过点C向AB作的垂线段，因此满足该条件的点都在这条垂线上。同时满足两个要求的点就是两条线的交点，且交点要在△ABC内部，因此只需分别作出这两条线，取交点即可。
【解析】
1. 作∠ABC的角平分线：以B为圆心，适当长度为半径画弧，交BA、BC于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过B和该交点作射线，即为∠ABC的平分线；
2. 过点C作AB的垂线：将直尺与AB对齐，用三角板的直角边靠紧直尺，平移三角板使另一条直角边过点C，沿该直角边作直线，与AB交于一点，即为AB边上的高线所在直线；
3. 上述两条线在△ABC内部的交点即为所求的点P。
【答案】
如下图所示：
作$∠ABC$的平分线$BP$，过点$C$作直线$AB$的垂线，与射线$BP$交于点$P$，点$P$即为所求作的点.
【知识点】
角平分线的性质，三角形的高线，尺规作图
【点评】
本题将几何性质与尺规作图结合，需要学生将题目要求转化为已学的基本作图操作，既考查了对角平分线、三角形高线相关性质的理解，也考查了基础尺规作图的实践能力。
【难度系数】
0.7
10. 已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为$CA$延长线上一点,$DE ⊥ BC$,交线段$AB$于点$F$.
请找出一组相等的线段($AB=AC$除外)并加以证明.
请找出一组相等的线段($AB=AC$除外)并加以证明.
答案
10.解:$AD=AF$.证明如下：
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠B=∠C$.
$\because DE⊥BC$,
$\therefore ∠B+∠BFE=90°,∠C+∠D=90°$,
$\therefore ∠BFE=∠D$.
$\because ∠BFE=∠AFD$,
$\therefore ∠D=∠AFD$,
$\therefore AD=AF$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠B=∠C$.
$\because DE⊥BC$,
$\therefore ∠B+∠BFE=90°,∠C+∠D=90°$,
$\therefore ∠BFE=∠D$.
$\because ∠BFE=∠AFD$,
$\therefore ∠D=∠AFD$,
$\therefore AD=AF$.
解析
【分析】
要找出相等的线段，可先从已知条件出发推导角的关系，再利用等角对等边得到等边：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得底角∠B=∠C；再结合DE⊥BC的条件，利用直角三角形两锐角互余，可得到∠D和∠BFE都分别与∠C、∠B互余，进而推出∠D=∠BFE；再结合对顶角相等完成角的转化，即可得到△ADF中等角对等边的结论。
【解析】
我们找的相等线段为$AD=AF$，证明如下：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$（等边对等角）。
$\because DE⊥ BC$，
$\therefore ∠ DEB=∠ DEC=90°$，
$\therefore ∠ B+∠ BFE=90°$，$∠ C+∠ D=90°$（直角三角形两锐角互余）。
根据等角的余角相等，可得$∠ BFE=∠ D$。
又$\because ∠ BFE=∠ AFD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ D=∠ AFD$，
$\therefore AD=AF$（等角对等边）。
【答案】
$AD=AF$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余；对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心是通过角的等量关系推导边的关系，解题的关键是灵活运用等腰三角形性质、余角性质完成角的转化，是等腰三角形相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
要找出相等的线段，可先从已知条件出发推导角的关系，再利用等角对等边得到等边：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，可得底角∠B=∠C；再结合DE⊥BC的条件，利用直角三角形两锐角互余，可得到∠D和∠BFE都分别与∠C、∠B互余，进而推出∠D=∠BFE；再结合对顶角相等完成角的转化，即可得到△ADF中等角对等边的结论。
【解析】
我们找的相等线段为$AD=AF$，证明如下：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$（等边对等角）。
$\because DE⊥ BC$，
$\therefore ∠ DEB=∠ DEC=90°$，
$\therefore ∠ B+∠ BFE=90°$，$∠ C+∠ D=90°$（直角三角形两锐角互余）。
根据等角的余角相等，可得$∠ BFE=∠ D$。
又$\because ∠ BFE=∠ AFD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ D=∠ AFD$，
$\therefore AD=AF$（等角对等边）。
【答案】
$AD=AF$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余；对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心是通过角的等量关系推导边的关系，解题的关键是灵活运用等腰三角形性质、余角性质完成角的转化，是等腰三角形相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
11. 如图所示，$△ ACB$和$△ ECD$都是等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ ECD=90°$，D为AB边上一点.
(1)求证:$△ ACE ≌ △ BCD$；
(2)若$AD=5$，$BD=12$，求DE的长.
(1)求证:$△ ACE ≌ △ BCD$；
(2)若$AD=5$，$BD=12$，求DE的长.
答案
11.(1)证明:$\because △ACB$和$△ECD$都是等腰直角三角形，$∠ACB=∠ECD=90°$,
$\therefore AC=BC,EC=DC$.
$\because ∠ACE=∠DCE-∠DCA,∠BCD=∠ACB-∠DCA$,
$\therefore ∠ACE=∠BCD$,
$\therefore △ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$.
(2)解:$\because △ACB$和$△ECD$都是等腰直角三角形，
$\therefore ∠BAC=∠B=45°$.
$\because △ACE≌△BCD$,
$\therefore AE=BD=12,∠EAC=∠B=45°$,
$\therefore ∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°$,
$\therefore △EAD$是直角三角形，
$\therefore DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$.
$\therefore AC=BC,EC=DC$.
$\because ∠ACE=∠DCE-∠DCA,∠BCD=∠ACB-∠DCA$,
$\therefore ∠ACE=∠BCD$,
$\therefore △ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$.
(2)解:$\because △ACB$和$△ECD$都是等腰直角三角形，
$\therefore ∠BAC=∠B=45°$.
$\because △ACE≌△BCD$,
$\therefore AE=BD=12,∠EAC=∠B=45°$,
$\therefore ∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°$,
$\therefore △EAD$是直角三角形，
$\therefore DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$.
解析
【分析】
(1)要证明△ACE≌△BCD，首先根据两个三角形都是等腰直角三角形的性质，可得到两组对应边相等：AC=BC、EC=DC；接下来只需证明两组边的夹角相等，已知∠ACB和∠ECD都是90°，二者同时减去公共角∠DCA，即可得到∠ACE=∠BCD，最后用SAS判定定理即可证明全等。
(2)要求DE的长度，可先利用第一问的全等结论，得到对应边AE=BD=12，对应角∠EAC=∠B=45°；再结合等腰直角△ACB的底角∠BAC=45°，可推出∠EAD=90°，即△EAD是直角三角形，最后用勾股定理即可计算出DE的长度。
【解析】
(1)证明:$\because △ACB$和$△ECD$都是等腰直角三角形，$∠ACB=∠ECD=90°$,
$\therefore AC=BC,EC=DC$.
$\because ∠ACE=∠DCE-∠DCA,∠BCD=∠ACB-∠DCA$,
$\therefore ∠ACE=∠BCD$,
$\therefore △ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$.
(2)解:$\because △ACB$和$△ECD$都是等腰直角三角形，
$\therefore ∠BAC=∠B=45°$.
$\because △ACE≌△BCD$,
$\therefore AE=BD=12,∠EAC=∠B=45°$,
$\therefore ∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°$,
$\therefore △EAD$是直角三角形，
$\therefore DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$.
【答案】
(1)证明如上；(2)$DE=13$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先利用等腰直角三角形的边、角特征证明三角形全等，再通过全等的性质转化边和角的关系，最后结合勾股定理求解线段长度，熟练掌握全等判定和特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ACE≌△BCD，首先根据两个三角形都是等腰直角三角形的性质，可得到两组对应边相等：AC=BC、EC=DC；接下来只需证明两组边的夹角相等，已知∠ACB和∠ECD都是90°，二者同时减去公共角∠DCA，即可得到∠ACE=∠BCD，最后用SAS判定定理即可证明全等。
(2)要求DE的长度，可先利用第一问的全等结论，得到对应边AE=BD=12，对应角∠EAC=∠B=45°；再结合等腰直角△ACB的底角∠BAC=45°，可推出∠EAD=90°，即△EAD是直角三角形，最后用勾股定理即可计算出DE的长度。
【解析】
(1)证明:$\because △ACB$和$△ECD$都是等腰直角三角形，$∠ACB=∠ECD=90°$,
$\therefore AC=BC,EC=DC$.
$\because ∠ACE=∠DCE-∠DCA,∠BCD=∠ACB-∠DCA$,
$\therefore ∠ACE=∠BCD$,
$\therefore △ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$.
(2)解:$\because △ACB$和$△ECD$都是等腰直角三角形，
$\therefore ∠BAC=∠B=45°$.
$\because △ACE≌△BCD$,
$\therefore AE=BD=12,∠EAC=∠B=45°$,
$\therefore ∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°$,
$\therefore △EAD$是直角三角形，
$\therefore DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$.
【答案】
(1)证明如上；(2)$DE=13$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先利用等腰直角三角形的边、角特征证明三角形全等，再通过全等的性质转化边和角的关系，最后结合勾股定理求解线段长度，熟练掌握全等判定和特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
