新趋势 项目式学习 根据以下素材,回答问题:
素材1:在魏晋时期,数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积,进而求得较为精确的圆周率.刘徽形容"割圆术":"割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣."
素材 2: “调日法” 是程序化寻求精确分数来表示数值的算法, 其理论依据: 设实数 $x$ 的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$ (即有 $\frac{b}{a}＜x＜\frac{d}{c}$, 其中 $a, b, c, d$ 为正整数), 则 $\frac{b+d}{a+c}$ 是 $x$ 的更为精确的近似值.
例如: 已知 $\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$, 则利用一次 “调日法” 后可得到 $\sqrt{2}$ 的一个更为精确的近似分数为 $\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}$; 由于$\frac{10}{7}＞\sqrt{2}$, 可得 $\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7}$, 之后可以再次使用 “调日法” 得到 $\sqrt{2}$ 的更为精确的近似分数.
素材 3: 在日常生活中, 我们也可以估计 $π$ 的值, 如通过卷尺量得一个圆形平台直径为 2 m, 周长为6.3 m, 则可利用圆的周长公式估计 $π$ 的值.
任务1:(1)①如图①,已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形,每个三角形的边长均为圆的半径$R$.若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,则可得$π$的估计值为.

②如图②,已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形,且等腰三角形的顶角为$30°$.若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积,则可得$π$的估计值为.
任务 2:(2)约公元前 240 年, 阿基米德算得 $3\dfrac{10}{71}＜π＜3\dfrac{1}{7}$, 已知 $\dfrac{245}{78}＜π$, 请在此基础上使用两次“调日法”得到 $π$ 的更为精确的近似分数.
任务 3:(3)①利用素材 3, 可估计 $π$ 的值为.
②已知球的体积公式是 $V=\dfrac{4}{3}π R^3$, 其中 $R$ 是球的半径.小华量得一个球形空心容器的半径为 60 cm(忽略容器厚度),往其中注入 $0.9\ \mathrm{m}^3$ 的水可将该容器注满,则可估计 $π$ 的值为.

(1)①3 解析:此时圆内接正六边形的周长为6R,由$2π R=6R$可得π的估计值为3.
②3 解析:如图,AB是正十二边形的一条边,点O是正十二边形的中心,设圆O的半径为R,过A作$AM⊥ OB$于点M,由题意可得$∠ AOB=30°,\therefore AM=\frac{1}{2}OA=$$\frac{1}{2}R,\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB· AM=\frac{1}{2}× R×\frac{1}{2}R=$$\frac{1}{4}R^{2},\therefore$ 正十二边形的面积为$12×\frac{1}{4}R^{2}=3R^{2},\therefore 3R^{2}=R^{2}×π,\thereforeπ=$$3,\thereforeπ$的估计值为3.
(2)$\because3\frac{10}{71}＜π＜3\frac{1}{7}$,即$\frac{223}{71}＜π＜\frac{22}{7},\therefore$ 使用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{223+22}{71+7}=\frac{245}{78}.\because\frac{245}{78}＜π,$可得$\frac{245}{78}＜π＜\frac{22}{7}$,之后可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数为$\frac{245+22}{78+7}=\frac{267}{85}$,故在此基础上使用两次“调日法”得到π的更为精确的近似分数为$\frac{267}{85}.$
(3)①3.15 解析:一个圆形平台直径为2 m,周长为6.3 m,则$π=6.3÷2=3.15.$
②3.125 解析:$60\ \mathrm{cm}=0.6\ \mathrm{m}$,则$\frac{4}{3}π×(0.6)^{3}=0.9$,可得$π=$$\frac{0.9}{0.288}=3.125.$